高中數(shù)學(xué)北師大版4第二章參數(shù)方程 第2節(jié)3

第二講第二節(jié)第三課時(shí)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．θ取一切實(shí)數(shù)時(shí)，連接A(4sinθ，6cosθ)和B(－4cosθ，6sinθ)兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)軌跡是()A．圓 B．橢圓C．直線 D．線段解析：設(shè)中點(diǎn)M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得x＝2sinθ－2cosθ，y＝3cosθ＋3sinθ，即eq\f(x,2)＝sinθ－cosθ，eq\f(y,3)＝sinθ＋cosθ，兩式平方相加，得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝2，是橢圓．答案：B2．橢圓eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ,y＝bsinθ))，(θ為參數(shù))，若θ∈[0,2π]，則橢圓上的(－a,0)對應(yīng)的θ＝()A．π B．eq\f(π,2)C．2π D．eq\f(3,2)π解析：∵點(diǎn)(－a,0)中x＝－a，∴－a＝acosθ，∴cosθ＝－1，∴θ＝π.答案：A3．曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5cosθ,y＝3sinθ))上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2，N是MF1的中點(diǎn)，則|ON|等于()A．2 B．4C．8 D．eq\f(3,2)解析：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1如圖所示．|MF1|＝2，|MF1|＋|MF2|＝2a∴|MF2|＝8，∴|NO|＝eq\f(1,2)|MF2|＝4.答案：B4．設(shè)P(x，y)為橢圓(x－1)2＋eq\f(2y2,3)＝1上的一點(diǎn)，則x＋y的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(10),2)，1＋\f(\r(10),2))) B．RC．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)－1，\f(\r(10),2)＋1)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1－\f(\r(6),2)，1＋\f(\r(6),2)))解析：設(shè)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosθ,y＝\f(\r(6),2)sinθ))則x＋y＝1＋cosθ＋eq\f(\r(6),2)sinθ＝1＋eq\f(\r(10),2)sin(θ＋φ)；∴1－eq\f(\r(10),2)≤x＋y≤1＋eq\f(\r(10),2).答案：A二、填空題(每小題5分，共10分)5．設(shè)橢圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(0≤θ≤π)，M(x1，y1)，N(x2，y2)是橢圓上兩點(diǎn)．M，N對應(yīng)的參數(shù)為θ1，θ2且x1<x2，則θ1，θ2大小關(guān)系是__________________.解析：因?yàn)閤＝acosθ且x1<x2，由余弦函數(shù)性質(zhì)，在0≤θ≤π上單調(diào)遞減，所以θ1>θ2.答案：θ1>θ26．對于任意實(shí)數(shù)，直線y＝x＋b與橢圓eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,y＝4sinθ))(0≤θ＜2π)恒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是__________________.解析：橢圓eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,y＝4sinθ))可化為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1把y＝x＋b代入得5x2＋2bx＋b2－16＝0Δ＝4b2－20(b2－16)≥0解之得：－2eq\r(5)≤b≤2eq\r(5).答案：[－2eq\r(5)，2eq\r(5)]三、解答題(每小題10分，共20分)7．已知直線l：x－y＋9＝0和橢圓C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2\r(3)cosθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ為參數(shù))．(1)求橢圓C的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)；(2)求以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)且與直線l有公共點(diǎn)M的橢圓中長軸最短的橢圓的方程．解析：(1)由橢圓的參數(shù)方程消去參數(shù)θ得橢圓的普通方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1，所以a2＝12，b2＝3，c2＝a2－b2＝9.所以c＝3.故F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)．(2)因?yàn)?a＝|MF1|＋|MF2所以只需在直線l：x－y＋9＝0上找到點(diǎn)M使得|MF1|＋|MF2|最小即可．點(diǎn)F1(－3,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)是F1′(－9,6)，|MF1|＋|MF2|＝|MF1′|＋|MF2|＝|F1′F2|＝eq\r(－9－32＋6－02)＝6eq\r(5)，故a＝3eq\r(5).又c＝3，b2＝a2－c2＝36.此時(shí)橢圓方程為eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1.8．點(diǎn)P(x，y)在橢圓4x2＋y2＝4上，求x＋y的最值．解析：因?yàn)镻點(diǎn)在橢圓x2＋eq\f(y2,4)＝1上，所以可以設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(cosθ，2sinθ)，即x＝cosθ，y＝2sinθ，所以x＋y＝cosθ＋2sinθ＝eq\r(5)sin(θ＋φ)，其中，tanφ＝eq\f(1,2).因?yàn)閟in(θ＋φ)∈[－1,1]，所以x＋y的最大值為eq\r(5)，最小值為－eq\r(5).eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)如圖所示，已知點(diǎn)M是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的第一象限的點(diǎn)，A(a,0)和B(0，b)是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，O為原來，求四邊形MAOB的面積的最大值．解析：方法一：M是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上在第一象限的點(diǎn)，由橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ,y＝bsinφ))(φ為參數(shù))，故可設(shè)M(acosφ，bsinφ)，其中0＜φ＜eq\f(π,2)，因此，S四邊形MAOB＝S△MAO＋S△MOB＝eq\f(1,2)OA·yM＋eq\f(1,2)OB·xM＝eq\f(1,2)ab(sinφ＋cosφ)＝eq\f(\r(2),2)absineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(π,4))).所以，當(dāng)φ＝eq\f(π,4)時(shí)，四邊形MAOB面積的最大值為eq\f(\r(2),2)ab.方法二：設(shè)M(xM，yM)，xM＞0，yM＞0，則yM＝beq\r(1－\f(x\o\al(2,M),a2))，S四邊形MAOB＝S△MAO＋S△MOB＝eq\f(1,2)OA·yM＋eq\f(1,2)OB·xM＝eq\f(1,2)abeq\r(1－\f(x\o\al(2,M),a2))＋eq\f(1,2)bxM＝eq\f(1,2)b(eq\r(a2－x\o\al(2,M))＋xM)＝eq\f(1,2)beq\r(a2－