高中數(shù)學(xué)北師大版第二章函數(shù)二次函數(shù)性質(zhì)的再研究 第2章

第二章§4A級基礎(chǔ)鞏固1．若函數(shù)y＝(3－t)xt2－3t＋2＋tx＋1是關(guān)于x的二次函數(shù)，則t的值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814352)(B)A．3 B．0C．0或3 D．1或2[解析]由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2－3t＋2＝2,3－t≠0))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝0或3,t≠3))所以t＝0，故選B．2．拋物線y＝x2＋2x－2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814353)(D)A．(2，－2) B．(1，－2)C．(1，－3) D．(－1，－3)[解析]因?yàn)閥＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－3)．3．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(－3,2)，頂點(diǎn)是(－2,3)，則拋物線的解析式是eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814354)(A)A．y＝－x2－4x－1 B．y＝x2－4x－1C．y＝x2＋4x－1 D．y＝－x2－4x＋1[解析]設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋2)2＋3.將點(diǎn)(－3,2)代入，得2＝a(－3＋2)2＋3，即a＝－1.所以y＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.4．將函數(shù)y＝x2圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍后，(橫坐標(biāo)不變)，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814355)(A)A．y＝2x2 B．y＝4x2C．y＝eq\f(1,2)x2 D．y＝eq\f(1,4)x2[解析]由圖像變換可知選A．5．將函數(shù)y＝2(x＋1)2－3的圖像向左平移1個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單調(diào)長度所得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814356)(D)A．y＝2x2 B．y＝2(x＋2)2－6C．y＝2x2－6 D．y＝2(x＋2)2[解析]將y＝2(x＋1)2－3的圖像向左平移1個(gè)單位后，得到y(tǒng)＝2(x＋2)2－3的圖像，再將它向上平移3個(gè)單位長度得到y(tǒng)＝2(x＋2)2的圖像，故選D．6．已知f(x)＝2(x－1)2和g(x)＝eq\f(1,2)(x－1)2，h(x)＝(x－1)2的圖像都是開口向上的拋物線，在同一坐標(biāo)系中，哪個(gè)開口最開闊eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814357)(A)A．g(x) B．f(x)C．h(x) D．不確定[解析]因二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的|a|越小，則二次函數(shù)開口越開闊．7．二次函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(1,1)\x(導(dǎo)學(xué)號00814358)[解析]f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)(x2－2x＋3)＝eq\f(1,2)(x－1)2＋1，所以其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)．8．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,4)，且與x軸的交點(diǎn)為(－1,0)和(3,0)，則該函數(shù)的解析式是_f(x)＝－x2＋2x＋\x(導(dǎo)學(xué)號00814359)[解析]設(shè)函數(shù)的解析式為f(x)＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)，將點(diǎn)(1,4)代入，得a＝－1.則f(x)＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.9．已知二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，－3)，且經(jīng)過點(diǎn)P(2,0)，求這個(gè)函數(shù)的解析式.eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814360)[解析]解法1：設(shè)所求函數(shù)的解析式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝－3，,4a＋2b＋c＝0，,－\f(b,2a)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－6，,c＝0.))∴函數(shù)的解析式為y＝3x2－6x.解法2：設(shè)所求函數(shù)的解析式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝0，,－\f(b,2a)＝1，,\f(4ac－b2,4a)＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－6，,c＝0.))∴函數(shù)的解析式為y＝3x2－6x.解法3：設(shè)所求函數(shù)的解析式為y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－h(huán)，k)，已知頂點(diǎn)為(1，－3)，∴h＝－1，k＝－3，即所求的二次函數(shù)y＝a(x－1)2－3.又∵圖像經(jīng)過點(diǎn)P(2,0)，∴0＝a×(2－1)2－3，∴a＝3，∴函數(shù)的解析式為y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x.解法4：設(shè)解析式為y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是拋物線與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)P(2,0)，對稱軸是x＝1，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(0,0)，∴x1＝0，x2＝2，∴所求的解析式為y＝a(x－0)(x－2)，又∵頂點(diǎn)為(1，－3)，∴－3＝a×1×(1－2)，∴a＝3，∴所求函數(shù)的解析式為y＝3x2－6x.10．已知二次函數(shù)滿足f(x－2)＝f(－x－2)，且其圖像在y軸上的截距為1，在x軸上截得的線段長為2eq\r(2)，求f(x)的表達(dá)式.eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814361)[解析]設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(x－2)＝f(－x－2)得對稱軸為x＝－eq\f(b,2a)＝－2，∴b＝4a∵圖像在y軸上的截距為1，∴c＝1，又|x1－x2|＝eq\f(\r(b2－4ac),|a|)＝2eq\r(2)，∴b＝2或b＝0(舍去)，a＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋1.B級素養(yǎng)提升1．如圖所示的是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像，則|OA|·|OB|等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814362)(B)A．eq\f(c,a) B．－eq\f(c,a)C．±eq\f(c,a) D．以上都不對[解析]∵f(x)＝ax2＋bx＋c，∴f(0)＝c>0，a<0，設(shè)ax2＋bx＋c＝0的兩根為x1，x2，則x1·x2＝eq\f(c,a)，∴|OA|＝－x1，|OB|＝x2，∴|OA|·|OB|＝－eq\f(c,a).故正確答案為B．2．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c滿足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么它的圖像是下圖中的eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814363)(A)[解析]因?yàn)閍>b>c且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0.故排除B、C，又因?yàn)楫?dāng)x＝1時(shí)，y＝a＋b＋c＝0，只有A正確．3．把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單位長度，所得圖像的解析式為y＝x2－2x＋1，則b＝_－6__，c＝\x(導(dǎo)學(xué)號00814364)[解析]由題意知y＝x2＋bx＋c的圖像可由y＝x2－2x＋1＝(x－1)2先向下平移3個(gè)單位長度，再向右平移2個(gè)單位長度得到，即y＝x2＋bx＋c＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6.所以b＝－6，c＝6.4．如圖拋物線y＝－x2＋2(m＋1)x＋m＋3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且OA＝3OB，則m的值為\x(導(dǎo)學(xué)號00814365)[解析]設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，則x1＝－3x2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2m＋2，,x1x2＝－m－3，,x1＝－3x2，))得3m2＋5m＝0，即m＝0或m＝－eq\f(5,3).由圖象知，對稱軸x＝m＋1>0，即m>－1，因此m＝－eq\f(5,3)，不合題意，故m＝0.5．已知二次函數(shù)g(x)滿足g(1)＝1，g(－1)＝5，圖像過原點(diǎn)，求g(x)的解析式.eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814366)[解析]由題意設(shè)g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖像過原點(diǎn)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,a－b＋c＝5，,c＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－2，,c＝0.))∴g(x)＝3x2－2x.6．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖所示，試判斷點(diǎn)(eq\f(a＋b,b2－4ac)，eq\f(ac,b))所在的象限.eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814367)[解析]由拋物線開口向上知a>0，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)(0，c)在y軸負(fù)半軸，∴c<0.又∵對稱軸x＝－eq\f(b,2a)在y軸左邊，∴－eq\f(b,2a)<0.∴eq\f(b,a)>0.∴a，b同號．∵a>0，∴b>0.又∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2－4ac>0.∴eq\f(a＋b,b2－4ac)>0，eq\f(ac,b)<0.∴點(diǎn)(eq\f(a＋b,b2－4ac)，eq\f(ac,b))在第四象限．C級能力拔高已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A(x1,0)、B(x2,0)且xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝eq\f(26,9)，試問該拋物線由y＝－3(x－1)2的圖像向上平移幾個(gè)單位得到？eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814368)[解析]由題意可設(shè)所求拋物線的解析式為y＝－3(x－1)2＋k，展開得y＝－3x2＋6x－3＋k，由題意得x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(