高中數(shù)學(xué)北師大版2第一章統(tǒng)計回歸分析 學(xué)業(yè)分層測評

學(xué)業(yè)分層測評(一)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．為了考查兩個變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩名同學(xué)各自獨(dú)立地做了10次試驗(yàn)和15次試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為l1和l2.已知兩個人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對變量x的觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為s，對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為t，那么下列說法中正確的是()A．直線l1和l2都過點(diǎn)(s，t)B．直線l1和l2相交，但交點(diǎn)不一定是(s，t)C．直線l1和l2必平行D．直線l1和l2必重合【解析】線性回歸方程y＝bx＋a恒過點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，故直線l1和l2都過點(diǎn)(s，t)．【答案】A2．已知人的年齡x與人體脂肪含量的百分?jǐn)?shù)y的回歸方程為y＝－，如果某人36歲，那么這個人的脂肪含量()A．一定是%B．在%附近的可能性比較大C．無任何參考數(shù)據(jù)D．以上解釋都無道理【解析】將x＝36代入回歸方程得y＝×36－≈.由回歸分析的意義知，這個人的脂肪含量在%附近的可能性較大，故選B．【答案】B3．關(guān)于回歸分析，下列說法錯誤的是()A．回歸分析是研究兩個具有相關(guān)關(guān)系的變量的方法B．線性相關(guān)系數(shù)可以是正的或負(fù)的C．回歸模型中一定存在隨機(jī)誤差D．散點(diǎn)圖反映變量間的確定關(guān)系【解析】用散點(diǎn)圖反映兩個變量間的關(guān)系時，存在誤差，故D錯誤．【答案】D4．某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動，某同學(xué)獲得一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：x34y12對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出下列擬合曲線，其中擬合程度最好的是()A．y＝2x－2 B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xC．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)【解析】代入檢驗(yàn)，當(dāng)x取相應(yīng)的值時，所得y值與已知數(shù)據(jù)差的平方和最小的便是擬合程度最高的．【答案】D5．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都有直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A．－1 B．0C．eq\f(1,2) D．1【解析】所有點(diǎn)均在直線上，則樣本相關(guān)系數(shù)最大即為1，故選D．【答案】D二、填空題6．回歸分析是處理變量之間________關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計方法．【解析】回歸分析是處理變量之間相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計方法．【答案】相關(guān)7．已知某個樣本點(diǎn)中的變量x，y線性相關(guān)，相關(guān)系數(shù)r＜0，則在以(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系下的散點(diǎn)圖中，大多數(shù)的點(diǎn)都落在第________象限．【解析】∵r＜0時b＜0，∴大多數(shù)點(diǎn)落在第二、四象限．【答案】二、四8．某中學(xué)期中考試后，對成績進(jìn)行分析，從某班中選出5名學(xué)生的總成績和外語成績?nèi)缦卤恚簩W(xué)生學(xué)科12345總成績(x)482383421364362外語成績(y)7865716461則外語成績對總成績的回歸直線方程是________.【解析】∵eq\x\to(x)＝eq\f(482＋383＋421＋364＋362,5)＝，eq\x\to(y)＝eq\f(78＋65＋71＋64＋61,5)＝，∴b＝eq\f(482－78－＋…＋362－61－,482－2＋…＋362－2)≈，∴a＝－×＝，∴方程為y＝＋.【答案】y＝＋三、解答題9．(2023·包頭高二檢測)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)，有如下的統(tǒng)計資料：x23456y若由資料可知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系．試求：(1)線性回歸方程；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＝\x\to(y)－b\o(x,\s\up6(－))，b＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)))(2)估計使用年限為10年時，維修費(fèi)用是多少？【解】(1)eq\x\to(x)＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝5，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝，b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f－5×4×5,90－5×42)＝.于是a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝5－×4＝.所以線性回歸方程為y＝＋.(2)當(dāng)x＝10時，y＝×10＋＝(萬元)，即估計使用10年時維修費(fèi)用是萬元．10．某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表.氣溫/℃261813104－1杯數(shù)202434385064畫出散點(diǎn)圖并判斷熱茶銷售量與氣溫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系．【解】畫出散點(diǎn)圖如圖所示．eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)(26＋18＋13＋10＋4－1)≈，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)(20＋24＋34＋38＋50＋64)≈，eq\o(∑,\s\up6(

6,eq\o(,\s\do4(i＝1))))xiyi＝26×20＋18×24＋13×34＋10×38＋4×50－1×64＝1910，eq\o(∑,\s\up6(

6,eq\o(,\s\do4(i＝1))))xeq\o\al(2,i)＝262＋182＋132＋102＋42＋(－1)2＝1286，eq\o(∑,\s\up6(

6,eq\o(,\s\do4(i＝1))))yeq\o\al(2,i)＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10172，eq\o(∑,\s\up6(

n,eq\o(,\s\do4(i＝1))))由r＝eq\f(\o(eq\o(∑,\s\up6(

n,eq\o(,\s\do4(i＝1)))))\o(,\s\do4())xiyi－n\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\r(\o(eq\o(∑,\s\up6(

n,eq\o(,\s\do4(i＝1)))))\o(,\s\do4())x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)\r(\o(eq\o(∑,\s\up6(

n,eq\o(,\s\do4(i＝1)))))\o(,\s\do4())y\o\al(2,i)－n\x\to(y)2))，可得r≈.由于r的值接近于1，所以x與y具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．[能力提升]1．(2023·安徽皖南八校聯(lián)考)某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，收集到某制藥廠今年前5個月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量(單位：萬盒)的數(shù)據(jù)如下表所示：x(月份)12345y(萬盒)55668若x，y線性相關(guān)，線性回歸方程為y＝＋a，則估計該制藥廠6月份生產(chǎn)甲膠囊產(chǎn)量為()A．萬盒 B．萬盒C．萬盒 D．萬盒【解析】由題意知eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝6，則a＝eq\x\to(y)－\x\to(x)＝，∴x＝6時，y＝.【答案】A2．已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為y＝bx＋a.若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是()【導(dǎo)學(xué)號：67720002】A．b>b′，a>a′ B．b>b′，a<a′C．b<b′，a>a′ D．b<b′，a<a′【解析】由(1,0)，(2,2)求b′，a′.b′＝eq\f(2－0,2－1)＝2，a′＝0－2×1＝－2.求b，a時，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝eq\f(13,6)，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴b＝eq\f(58－6××\f(13,6),91－6×＝eq\f(5,7)，a＝eq\f(13,6)－eq\f(5,7)×＝eq\f(13,6)－eq\f(5,2)＝－eq\f(1,3)，∴b<b′，a>a′.【答案】C3．(2023·江西吉安高二檢測)已知x，y的取值如下表所示，由散點(diǎn)圖分析可知y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為y＝＋，那么表格中的數(shù)據(jù)m的值為________.x0134ym【解析】eq\x\to(x)＝eq\f(0＋1＋3＋4,4)＝2，eq\x\to(y)＝eq\f＋＋＋m,4)＝eq\f＋m,4)，把(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))代入回歸方程得eq\f＋m,4)＝×2＋，解得m＝.【答案】4．某商店各個時期的商品流通率y(%)和商品零售額x(萬元)資料如下：xy64xy散點(diǎn)圖顯示出x與y的變動關(guān)系為一條遞減的曲線．經(jīng)濟(jì)理論和實(shí)際經(jīng)驗(yàn)都證明，流通率y決定于商品的零售額x，體現(xiàn)著經(jīng)營規(guī)模效益，假定它們之間存在關(guān)系式：y＝a＋eq\f(b,x).試根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出a與b的估計值，并估計商品零售額為30萬元時的商品流通率．【解】設(shè)u＝eq\f(1,x)，則y≈a＋bu，得下表數(shù)據(jù)：u30151y64u35624y進(jìn)而可得n＝10，eq\x\to(u)≈4，eq\x\to(y)＝，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))ueq\o