第二講抽樣分布與分位數(shù)

第二講抽樣分布與分位數(shù)P135一c2

分布(卡方分布)二t分布(student分布)三F分布四抽樣分布五大定理五單側(cè)分位數(shù)統(tǒng)計(jì)量g(X1,X2,…,Xn)既然是依賴于樣本的，而后者又是隨機(jī)變量，故統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量，因而就有一定的分布，這個(gè)分布叫做統(tǒng)計(jì)量的“抽樣分布”

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由阿貝(Abbe)于1863年首先給出,海爾墨特(Hermert)和皮爾遜(K.Person)分別于1875和1900年導(dǎo)出的

一c2分布(卡方分布)P135

(k.Pearson,1857-1933)英國著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家1879年畢業(yè)于劍橋大學(xué)，1901年，他與高爾頓、韋爾登創(chuàng)辦的生物統(tǒng)計(jì)學(xué)雜志《biometrika》,使數(shù)理統(tǒng)計(jì)有了自己的陣地。他發(fā)展了一系列頻率曲線，將復(fù)相關(guān)和回歸理論擴(kuò)展到許多領(lǐng)域，并為大樣本理論奠定了基礎(chǔ)。皮爾遜的最大貢獻(xiàn)是在1900年發(fā)表的一篇文章中引進(jìn)的擬合優(yōu)度的卡方檢驗(yàn)。不少人把這視為近代統(tǒng)計(jì)學(xué)的開端。12

分布的定義設(shè)令...相互獨(dú)立則Y的概率密度函數(shù)為稱Y服從自由度為n的2分布記為:Y~2(n)

2不同自由度的c2-分布密度曲線c2n=1n=4n=10n=20分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不對(duì)稱的正偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對(duì)稱二t分布(student分布)P137

t分布是高塞特于1908年在一篇以“學(xué)生”（student為筆名的論文中首先提到的

高塞特（W、S、Cosset，1876-1937）美國人，t分布的發(fā)現(xiàn)者，年輕時(shí)在美國牛津大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與化學(xué)，1899年在一家釀酒廠任釀酒技師，從事實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)分析工作。這項(xiàng)工作中進(jìn)行的小樣本實(shí)驗(yàn)的結(jié)果使他懷疑存在一個(gè)不屬于正態(tài)分布曲線的其它分布,經(jīng)過研究，終于得到新的密度曲線,并與1908年以筆名“student”發(fā)表此次結(jié)果。故后人稱次分布為“學(xué)生氏分布”或“t分布”。

Cosset的t分布打開了人們的思路,開創(chuàng)了小樣本方法的研究。1t分布分布的定義設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且X

~N(0,1)

Y~c2(n)，令稱T服從有n個(gè)自由度的t分布

記為:T~t(n)則T的概率密度函數(shù)為:2不同自由度的t分布密度曲線xt

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t(n=13)t(n=5)zt分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個(gè)特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布三F分布P138

F分布是以統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇（R.A.Fisher）姓氏的第一個(gè)字母命名的費(fèi)歇(R.A.Fisher,1890-1962),英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家,遺傳學(xué)家,現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要奠基人之一。他是使統(tǒng)計(jì)成為一門有堅(jiān)實(shí)理論基礎(chǔ)并獲得廣泛應(yīng)用的主要統(tǒng)計(jì)學(xué)家。對(duì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)有眾多貢獻(xiàn),內(nèi)容涉及估計(jì)理論,假設(shè)檢驗(yàn),實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和方差分析等重要領(lǐng)域，他還是一位舉世聞名的遺傳學(xué)家，優(yōu)生學(xué)家，他用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)這些領(lǐng)域進(jìn)行研究，作出了許多重要貢獻(xiàn)。由于他的成就，他曾多次獲得美國和許多國家的榮譽(yù)。1F分布的定義設(shè)X

~c2(n1),Y

~c2(n2),X與Y獨(dú)立稱F服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布則F的概率密度函數(shù)為:簡(jiǎn)記為F~F(n1,n2)2不同自由度的F分布密度曲線F(1,10)(5,10)(10,10)定理1(樣本均值的分布)P140四抽樣分布五大定理設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本，則有即3在總體求樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值大于1的概率中隨機(jī)抽取容量為5的樣本，解=0.2628

6設(shè)總體則容量n應(yīng)取多大,才能使得是X的樣本,解所以n最小為35定理2(樣本方差的分布)P140設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有(2)與相互獨(dú)立定理3設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有定理4(兩總體均值差的分布)分別是這兩個(gè)樣本的且X與Y獨(dú)立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差,均值,則有Y1,Y2,…,是樣本定理5(兩總體方差比的分布)P140分別是這兩個(gè)樣本的且X與Y獨(dú)立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差,均值，則有Y1,Y2,…,是樣本設(shè)0<<1,對(duì)隨機(jī)變量X，稱滿足1定義：的點(diǎn)為X關(guān)于

的單側(cè)分位數(shù).五單側(cè)分位數(shù)2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)的求法問題倒查1-α的求法是:例倒查0.975=1.96倒查0.95=1.64P301例如:分布的上分位數(shù)3自由度為n的P304例