第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法

30/4/200906/ec/C180/黃山學(xué)院信息工程學(xué)院自動控制第五章頻率分析法第五章頻率分析法

在工程實際中，人們常運用頻率特性法來分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的性能。

頻率特性法是一種圖解分析法，主要是通過系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的圖形來分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能，因而可避免繁瑣復(fù)雜的運算。來分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的性能。第一節(jié)頻率特性

頻率分析法的數(shù)學(xué)模型是頻率特性。通過對系統(tǒng)頻率特性的分析來分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的性能。一、頻率特性的定義二、頻率特性的幾何表示法第五章頻率分析法G(S)R(s)C(s)

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖:

一頻率特性的定義設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為第一節(jié)頻率特性特征方程的根G(s)=(s-s1)(s-s2)···(s-sn)U(s)C(s)=G(s)R(s)R(s)=As2+ω2ωr(t)=Asinωt·=(s-s1)(s-s2)···(s-sn)U(s)As2+ω2ω=A1s+jBis–si∑ni=1+ωA2s-j+ω拉氏反變換得:c(t)=A1e-jtωejtω+A2∑ni=1esit+Bi系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為cs(t)=limc(t)

t→∞e-jtωejtω+A2=A1求待定系數(shù):A1=G(s)(s+js=-jAs2+ω2ωω)ω=G(-j-2jAω)同理:-jG(jω)G(-jω)=|G(jω)|e根據(jù)-2j-jG(jω)A|G(jω)|e==2jA|G(jω)|ejG(jω)G(j2jAω)A2=-2jcs(t)=A|G(jej[G(jω)]ωt+e-j[G(jω)]ωt+ω)|[G(jωt+cs(t)=A|G(jω)|sinω)]

系統(tǒng)正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦信號，輸出與輸入的幅值之比為|G(jω)|,穩(wěn)態(tài)輸出與輸入間的相位差為∠G(jω)。

系統(tǒng)輸入輸出曲線r(t)t0c(t)AAG(jω)r(t)=AsinωtG(jωt+cs(t)=A|G(jω)|sin[ω)]G(jω)定義頻率特性為:)G(jωjG(jω)=|G(jω)|e)ejφ(ω)=A(ω幅頻特性：)=|G(jω)|A(ω相頻特性：G(jω)φ(ω)=

頻率特性表征了系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系，故可由頻率特性來分析系統(tǒng)性能。第一節(jié)頻率特性例求圖所示RC電路的頻率特性，并求該電路正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)。解:傳遞函數(shù)為G(s)=Ts+11T=RC頻率特性電路的穩(wěn)態(tài)輸出:+-ucur+-CiRur(t)=AsinωtT+11)=G(jωjω=1+(ωT)2-j1ω1+(T)2TωωT)t-tg-1

Asin(cs(t)=

ω1+(T)2ω√幅頻特性和相頻特性)=|G(jω)|A(ω=1+(T)21ω√G(jω)φ(ω)=ωT=-tg-1

第一節(jié)頻率特性ω0-80-60-40-200Φ(ω)12345TTTTTRC電路的頻率特性曲線

ω1A00.2A0.4A0.6A0.8AA(ω)12345TTTTT

頻率特性可表示為：)G(jω)ejφ(ω)=A(ω=P(ω)+jQ(ω))=tg-1(ωQ(P(ω)ω)φ+Q2(√)=A(ωP2(ω)ω)第一節(jié)頻率特性0Reω∞Imωω=0二頻率特性的幾何表示法

頻域分析法是一種圖解分析法，常見的頻率特性曲線有以下兩種。

1．幅相頻率特性曲線

幅相頻率特性曲線又稱奈魁斯特曲線

幅相頻率特性曲線

也稱極坐標(biāo)圖第一節(jié)頻率特性-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-400-202040-1800-901100.1ω1100.1ω2．對數(shù)頻率特性曲線

對數(shù)頻率特性曲線又稱伯德圖.

對數(shù)幅頻特性十倍頻程縱坐標(biāo)表示為：橫坐標(biāo)表示為：dB

L(ω)=20lgA(ω)

lgω-101dec為方便只表示ωL(ω)=20lgA(ω)單位為dB斜率

對數(shù)相頻特性)

(ωφ第一節(jié)頻率特性第五章頻率分析法第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)頻率特性

頻率特性法是一種圖解分析法，它是通過系統(tǒng)的頻率特性來分析系統(tǒng)的性能,因而可避免繁雜的求解運算。與其他方法比較,它具有一些明顯的優(yōu)點.一、典型環(huán)節(jié)及其頻率特性二、控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性三、傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒灤_定第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性一、典型環(huán)節(jié)及其頻率特性1．典型環(huán)節(jié)（1）最小相位系統(tǒng)環(huán)節(jié)1）比例環(huán)節(jié)2）慣性環(huán)節(jié)3）一階微分環(huán)節(jié)4）振蕩環(huán)節(jié)5）二階微分環(huán)節(jié)6）積分環(huán)節(jié)7）微分環(huán)節(jié)第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性（2）非最小相位系統(tǒng)環(huán)節(jié)1）比例環(huán)節(jié)2）慣性環(huán)節(jié)3）一階微分環(huán)節(jié)4）振蕩環(huán)節(jié)5）二階微分環(huán)節(jié)

除了比例環(huán)節(jié)外，非最小相位環(huán)節(jié)和與之相對應(yīng)的最小相位環(huán)節(jié)的區(qū)別在于開環(huán)零極點的位置。

由于開環(huán)傳遞函數(shù)的分子分母多項式的系數(shù)皆為實數(shù)，可以將其分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式，

即

第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性設(shè)典型環(huán)節(jié)的頻率特性為則系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性為結(jié)論：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性表現(xiàn)為組成開環(huán)系統(tǒng)的諸典型環(huán)節(jié)頻率特性的合成；而系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性，則表現(xiàn)為諸典型環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性的疊加這一更為簡單的形式。2.典型環(huán)節(jié)的頻率特性1)．比例環(huán)節(jié)0KReIm(1)奈氏圖

G(s)=K第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性=K)G(jωK)=A(ω0oφ(ω)=(2)伯德圖

對數(shù)幅頻特性：=20lgKL(ω)=20lgA(ω)20lgK010.1ωdB

L(ω)對數(shù)相頻特性：=0o)=tg-1(ωQ(P(ω)ω)φ010.1ω)

(ωφ2)．積分環(huán)節(jié)

(1)

奈氏圖ReIm0ω=0∞G(s)=1s1j)=G(jωω1ω)=A(ω-90oφ(ω)=(2)

伯德圖對數(shù)幅頻特性：

=-20lgωL(ω)=20lgA(ω)

對數(shù)相頻特性：10.1100-9010.110-20dB/dec-90oφ(ω)=ωωω=1L(ω)=-20lg1=0dBω=0.1L(ω)=-20lg0.1=20dB)

(ωφdB

L(ω)020-20第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性3)．微分環(huán)節(jié)

(1)

奈氏圖

G(s)=sω)=A(ω90oφ(ω)=j)=G(jωωReIm0ω=0∞(2)伯德圖

對數(shù)幅頻特性：

L(ω)=20lgA(ω)=20lgω

對數(shù)相頻特性：10.11010.11020dB/dec90oφ(ω)=ωωω=1L(ω)=20lg1=0dBω=0.1L(ω)=20lg0.1=-20dB)

(ωφdB

L(ω)020-20090第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性4)．慣性環(huán)節(jié)G(s)=1Ts+11T+1j)=G(jωωT)211+(ω)=A(ωωT-tg-1

φ(ω)=(1)

奈氏圖

根據(jù)幅頻特性和相頻特性求出特殊點，然后將它們平滑連接起來。取特殊點：ω=0)=1A(ω0oφ(ω)=ω=∞-90oφ(ω)=-0)=A(ω1ω=T)=0.707A(ω-45oφ(ω)=繪制奈氏圖近似方法:

ReIm0ω=011ω=T-45ω∞0.707可以證明：

慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖是以(1/2,jo)為圓心，以1/2為半徑的半圓。第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性(2)伯德圖對數(shù)幅頻特性：

轉(zhuǎn)折頻率-20dB/decT110TωdB

L(ω)T)211+(ω)=20lgL(ω<<ω1T(ωT)2<<1=0dB20lg1~~L(ω)ω<1/T頻段,可用0dB漸近線近似代替-20020ω1T

>>(ωT)2>>120lgT1~~L(ω)ω=-20lgωT

ω>1/T頻段，可用-20dB/dec漸近線近似代替兩漸近線相交點的為轉(zhuǎn)折頻率ω=1/T。漸近線漸近線漸近線產(chǎn)生的最大誤差值為：21L=20lg=-3.03dB精確曲線為精確曲線相頻特性曲線：ωT-tg-1

φ(ω)=ω0-45-90)

(ωφω=00oφ(ω)=1ω=T-90oφ(ω)=--45oφ(ω)=ω→∞第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性5)．一階微分環(huán)節(jié)G(s)=1+Ts(1)

奈氏圖1∞ω=0ω=∞1)=A(ω0oφ(ω)=∞)=A(ω90oφ(ω)=T)21+(ω)=A(ωωTtg-1

φ(ω)=T+1j)=G(jωωReIm0ω=0第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性(2)

伯德圖

一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性與慣性環(huán)節(jié)成反比,所以它們的伯德圖對稱于橫軸。20dB/decT110TωdB

L(ω)-20020ω)

(ωφ對數(shù)幅頻特性：

T)21+(ω)=20lgL(ω漸近線相頻特性曲線：ωTtg-1

φ(ω)=45090ω=00oφ(ω)=1ω=T45oφ(ω)=90oφ(ω)=ω→∞第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性6)．振蕩環(huán)節(jié)

n=(1-ωω2ω1)222n)2+(ζωG(s)=ωnωnζs2+2s+ωn22ωnωnζωωn22)=G(jωω-2+j2)2(ωnωnζωωn22)=A(ωω-2)2+(2(1)

奈氏圖1ω=01)=A(ω0oφ(ω)=ReIm0-90oφ(ω)=21)=A(ωζω=ωnω=∞0)=A(ω-180oφ(ω)=ω=0ω∞ω=ωn

將特殊點平滑連接起來，可得近似幅相頻率特性曲線。ζ=0.4

幅相頻率特性曲線因ζ值的不同而異。ζ=0.6ζ=0.8ωnζωωn22ω-2φ(ω)=-tg-1第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性(2)伯德圖

對數(shù)幅頻特性：)2(ωnωnζωωn22ω-2)2+(2)=20lgL(ωωn<<ωω

>>ωn=0dBL(ω)≈20lg1ωdB

L(ω)ωn(ω2L(ω)≈20lg)ωnω=-40lgωn-20020-40ωn10

精確曲線與漸近線之間存在的誤差與ζ值有關(guān)，ζ較小，幅值出現(xiàn)了峰值。ωd=0)dA(ω可求得Mr=11-

ζ22

ζωrω=1-2

ζ2n諧振頻率諧振峰值精確曲線ζ=0.1ζ=0.3ζ=0.5相頻特性曲線：ω0-90-180)

(ωφωnζωωn22ω-2φ(ω)=-tg-1ω=00oφ(ω)=-90oφ(ω)=ω=ωnω=∞-180oφ(ω)=ζ不同，相頻特性曲線的形狀有所不同：ζ=0.1ζ=0.３ζ=0.５-40dB/decζ=0.7第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性因為實際對數(shù)幅頻曲線與阻尼比有關(guān)，誤差曲線為一曲線簇，如下圖，據(jù)此修正漸進(jìn)曲線而獲得準(zhǔn)確曲線。第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性注意：在實際分析對數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線時，常用的半對數(shù)坐標(biāo)系中的直線方程為：其中和為直線上的兩點，為直線斜率。7)．時滯環(huán)節(jié)奈氏圖是一單位圓(1)

奈氏圖1ω=0G(s)=e-τsjG(jωω)=e-τωτφ(ω)=-1)=A(ωReIm0ω=01)=A(ω0oφ(ω)=ω=∞1)=A(ω-φ(ω)=∞(2)伯德圖L(ω)=20lg1=0dBωdB

L(ω)020ωτφ(ω)=-ω)

(ωφ0-100-200-300第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性

8．非最小相位環(huán)節(jié)最小相位環(huán)節(jié):

最小相位環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性與對數(shù)相頻特性之間存在著唯一的對應(yīng)關(guān)系。對非最小相位環(huán)節(jié)來說，不存在這種關(guān)系。

開環(huán)傳遞函數(shù)中沒有s右半平面上的極點和零點。

開環(huán)傳遞函數(shù)中含有s右半平面上的極點或零點。非最小相位環(huán)節(jié):第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)

斜率dB/dec

特殊點φ(ω)0o1s1Ts+11s2KL(ω)=0ω=1,L(ω)=20lgKT1ω=轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率1ω=τ轉(zhuǎn)折頻率ω=ωn-90o-180o0o～-90o0o～90o0o～-180o比例積分重積分慣性比例微分振蕩常用典型環(huán)節(jié)伯德圖特征表

00,-20-20-400,200,-40L(ω)=0ω=1,s2+2ωnζωns+22ωn1+τs第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性二、控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性

頻率特性法的最大特點是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線分析系統(tǒng)的閉環(huán)性能,這樣可以簡化分析過程。所以繪制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線就顯得尤為重要。下面介紹開環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線和對數(shù)頻率特性曲線的繪制。第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性1．系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性曲線

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)一般是由典型環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的：積分環(huán)節(jié)的個數(shù)時間常數(shù)系統(tǒng)的階次開環(huán)增益n>m幅頻特性:相頻特性:

近似繪制系統(tǒng)的奈氏圖:先把特殊點找出來，然后用平滑曲線將它們連接起來。Tj)21+(ω)=A(ωωi)21+(ωτmj=1υKΠi=1Πn-υυυ90o+m∑n-j=1∑i=1φ(ω)=-ωτ

tg-1

ωTj

tg-1

imG(s)=sj=1υ(Tjs+1)n-υKΠ(i=1τis+1)Π第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性

繪制概略開環(huán)幅相曲線的方法。反映開環(huán)頻率特性的三個重要因素：（1）確定開環(huán)幅相曲線的起點和終點（2）確定開環(huán)幅相曲線與實軸的交點或為穿越頻率，開環(huán)幅相曲線曲線與實軸交點為（3）開環(huán)幅相曲線的變化范圍（象限和單調(diào)性）。

(1)0型系統(tǒng)υ=0特殊點:系統(tǒng)起點和終點Kυ=0n-m=2n-m=1n-m=3Tj)21+(ω)=A(ωi)21+(ωτmj=1KΠi=1Πnm∑nj=1∑i=1φ(ω)=ωτ

tg-1

ωTj

tg-1

iReIm0ω=0)=KA(ω0oφ(ω)=ω=∞0)=A(ω-(n-m)90oφ(ω)=ω=0ω=∞幅頻和相頻特性:第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性(2)

Ｉ型系統(tǒng)υ=1系統(tǒng)起點和終點n-m=2n-m=1n-m=3ω=∞Tj)21+(ω)=A(ωωi)21+(ωτmj=1KΠi=1Πn-190o+m∑n-1j=1∑i=1φ(ω)=-ωτ

tg-1

ωTj

tg-1

iReIm0ω=0ω=∞幅頻和相頻特性:υ=1特殊點:ω=0)=∞A(ω-90oφ(ω)=0)=A(ω-(n-m)90oφ(ω)=第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性(3)II型系統(tǒng)υ=2n-m=2n-m=1n-m=3系統(tǒng)起點和終點ω=0ω=∞mTj)21+(ω)=A(ωωi)21+(ωτj=12KΠi=1Πn-2180o+m∑n-2j=1∑i=1φ(ω)=-ωτ

tg-1

ωTj

tg-1

i幅頻和相頻特性:ReIm0ω=0ω=∞υ=2特殊點:)=∞A(ω-180oφ(ω)=0)=A(ω-(n-m)90oφ(ω)=第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性

開環(huán)系統(tǒng)奈氏曲線起點和終點的綜合情況如圖:υ=1υ=0υ=3υ=2奈氏曲線的起點

奈氏曲線的終點n-m=2n-m=1n-m=3ReIm0ReIm0ω=∞第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性

例1試?yán)L制系統(tǒng)的奈氏圖系統(tǒng)的奈氏圖解：n-m=2I型系統(tǒng)G(s)=Ks(Ts+1)特殊點:ω=0ω=∞T)2K1+(ω)=A(ωωωTφ(ω)=-90o-tg-1ReIm0ω=0ω=∞)=∞A(ω-90oφ(ω)=-180oφ(ω)=0)=A(ω第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性

例2已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),試畫出該系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線。解：

1)

τ>Tω=0ω>0ω=∞K0型，n=mG(s)=K(1+1+Tsτs)T)21+(ω)=A(ω)21+(ωτKφ(ω)=ωτ

tg-1

ωTtg-1

ReIm00oφ(ω)=)=KA(ω)>KA(ω0oφ(ω)>)=A(ωKTτ

KTτ

0oφ(ω)=ω=0ω=∞

1)

τ<Tω=0ω>0ω=∞0oφ(ω)=)=KA(ω)<KA(ω0oφ(ω)<)=A(ωKTτ

0oφ(ω)=Kω=0KTτ

ω=∞第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性2．系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般由典型環(huán)節(jié)串聯(lián)而成：開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性：

G(s)=G1(s)·G2(s)·G3(s)…Gn(s)=ΠGi(s)ni=1對數(shù)幅頻特性：對數(shù)相頻特性：n)=ΠGi(ji=1G(jωω)=ΠAi(ni=1)ejφi(ω)ω)=20lgΠAi(ni=1L(ωω)=Σ20lgAi(ni=1ω)=ΣLi(ni=1ω))=Σφ(ωφi(ni=1ω)

將各環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線相加，即為開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線。第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性

繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的一般步驟：1)

將開環(huán)傳遞函數(shù)化成典型環(huán)節(jié)的乘積。3)將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻、相頻曲線相加。2）畫出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻特性曲線；第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性

例已知開環(huán)傳遞函數(shù)，試畫出系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。解：G(s)=(s+10)s(2s+1)G(s)=10(0.1s+1)s(2s+1)畫出各環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線G1(s)=10ω-20dB\decφ3φ1φ4φ2L1L3L2L41100.5-20020400-180-9090-40dB/decωG2(s)=1sG3(s)=0.1s+1G4(s)=2s+11

各環(huán)節(jié)曲線相加，即為開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線。dB

L(ω)-20dB/dec)

(ωφ可知：

低頻段幅頻特性可近似表示為：)≈A(ωυωKυ)=20lgK-20lgL(ωω低頻段曲線的斜率-20υdB/dec低頻段曲線的高度L(1)=20lgK第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性

根據(jù)對數(shù)幅頻特性曲線的低頻段和各轉(zhuǎn)折頻率即可確定系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線。實際的作圖過程可簡化為：1)

將開環(huán)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化；2)在坐標(biāo)中標(biāo)出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率；3)過ω=1，L(ω)=20lgK這點，作斜率為-20υdB/dec的低頻漸近線；4)每到某一環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處，根據(jù)該環(huán)節(jié)的特性改變一次漸近線的斜率。5)畫出對數(shù)相頻特性的近似曲線。第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性

例試畫出系統(tǒng)的伯德圖

解：G(s)=100(s+2)s(s+1)(s+20)G(s)=10(0.5s+1)s(s+1)(0.05s+1)將式子標(biāo)準(zhǔn)化各轉(zhuǎn)折頻率為：ω1-20dB/dec202-40dB/dec-20dB/decω0-180-90-40dB/dec-2002040低頻段曲線：20lgK=20lg10=20dB相頻特性曲線：ω=0ω=∞dB

L(ω))

(ωφω1=1ω2=2ω3=20-90oφ(ω)=-180oφ(ω)=第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性三、傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒灤_定

頻率特性具有明確的物理意義，可用實驗的方法來確定它.這對于難以列寫其微分方程的元件或系統(tǒng)來說,具有很重要的實際意義。1、用實驗法確定系統(tǒng)的伯德圖2、根據(jù)伯德圖確定傳遞函數(shù)第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性1、用實驗法確定系統(tǒng)的伯德圖

給系統(tǒng)加不同頻率的正弦信號，測量出系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線。2.

用標(biāo)準(zhǔn)斜率的直線近似被測對數(shù)幅頻特性曲線，得曲線的漸近線。ωω-20020400-180-90-270dB

L(ω))

(ωφ2-20dB/dec10-40dB/dec-60dB/dec第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性2、根據(jù)伯德圖確定傳遞函數(shù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為：

根據(jù)伯得圖確定傳遞函數(shù)主要是確定增益K，轉(zhuǎn)折頻率及相應(yīng)的時間常數(shù)等參數(shù)則可從圖上直接確定。mG(s)=sj=1υ(Tjs+1)n-υKΠ(i=1τis+1)Π第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性1.υ=0低頻漸近線為系統(tǒng)的伯德圖：20lgK-40dB/dec0-20dB/dec=20lgK=χK=1020χ即ωdB

L(ω)ωcL(ω)=20lgA(ω)A(ω)=Kω1ω2χ第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性0ωdB

L(ω)1-20dB/dec-40dB/dec低頻段的曲線與橫軸相交點的頻率為:

2.

υ=120lgKω=1系統(tǒng)的伯德圖：因為故ω1ωcL(ω)=20lgKω0lg20lgK=20ω0-lg120lgK=20lgω0K=0ω第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性

-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec13.

υ=2系統(tǒng)的伯德圖：ω=120lgK低頻段的曲線與橫軸相交點的頻率為:因為故ωdB

L(ω)0ω1ωcω2L(ω)=20lgKω0lg20lgK=40ω0-lg120lgK=40lgω02K=0ω第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性ωrω=1-2

ζ2n例由實測數(shù)據(jù)作出系統(tǒng)的伯德圖如圖所示，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。0.5ω-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec24020-2003dBω0-180-90-270解:由圖可得：20lgMr=3dBMr=1.41得：根據(jù)0≤ζ≤0.707得dB

L(ω))

(ωφ=11-

ζ22

ζω01=±0.92ζ2=±0.38ζ=0.38ζ由頻率曲線得s210G(s)=(0.25s2+0.38s+1)(2s+1)=3.162=100ω2K==2nω2Tζ=0.381)2

T2=(=0.25nω第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性例已知采用積分控制液位系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和對數(shù)頻率特性曲線,試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。K1sTs+1-hr(t)h(t)解:將測得的對數(shù)曲線近似成漸近線:1-20dB/dec4-40dB/decφ(s)=1(s+1)(0.25s+1)=10.25s2+1.25s+1ω-2000-180-90ωdB

L(ω))

(ωφ第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法

1932年，乃奎斯特(Nyquist)提出了另一種判定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，稱為乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，簡稱乃氏判據(jù)。這個判據(jù)的主要特點是利用開環(huán)頻率特性判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此外，乃氏穩(wěn)定判據(jù)還能夠指出穩(wěn)定的程度，揭示改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。因此，乃氏穩(wěn)定判據(jù)在頻率域控制理論中有著重要的地位。

第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)一、奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1、輻角原理

設(shè)有一復(fù)變函數(shù)為

式中，s＝σ+jω為復(fù)變量，F(xiàn)(s)為復(fù)變函數(shù),記F(s)=U+jV。

如果在s平面畫一條封閉曲線,并使其不通過F(s)的任一零、極點,則在F(s)平面上必有一條對應(yīng)的映射曲線,如圖所示。圖：s平面與F(s)平面的映射關(guān)系第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)

若在s平面上的封閉曲線是沿著順時針方向運動的,則在F(s)平面上的映射曲線的運動方向可能是順時針的,也可能是逆時針的,這取決于F(s)函數(shù)的特性。我們感興趣的不是映射曲線的形狀,而是它包圍坐標(biāo)原點的次數(shù)和運動方向,因為這兩者與系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關(guān)。根據(jù)式(1)，復(fù)變函數(shù)F(s)的相角可表示為

第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)圖：封閉曲線包圍z1時的映射情況

同理：若s平面上的封閉曲線包圍了F(s)的P個極點,則當(dāng)s沿著s平面上的封閉曲線順時針移動一周時,在F(s)平面上的映射曲線將按逆時針方向圍繞著原點旋轉(zhuǎn)P周。幅角原理

設(shè)s平面上的封閉曲線包圍了復(fù)變函數(shù)F(s)的P個極點和Z個零點,并且此曲線不經(jīng)過F(s)的任一零點和極點,則當(dāng)復(fù)變量s

沿封閉曲線順時針方向移動一周時,在F(s)平面上的映射曲線按逆時針方向包圍坐標(biāo)原點(P-Z)周。第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)2、復(fù)變函數(shù)F(s)的選擇設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

m≤n

則系統(tǒng)的特征方程為

結(jié)論：*（1）輔助函數(shù)的零點是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點輔助函數(shù)的極點是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點（2）輔助函數(shù)的零、極點個數(shù)相同（3）F(s)與G(s)H(s)在復(fù)平面上的幾何關(guān)系第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)

為了判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,需要檢驗F(s)是否有位于s平面右半部的零點。為此可以選擇一條包圍整個s平面右半部的按順時針方向運動的封閉曲線,通常稱為奈奎斯特回線,

簡稱奈氏回線,如圖所示。3、s平面閉合曲線的選擇

圖奈氏回線

第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)?？扇∠聢D所示的兩種形式圖：G(s)H(s)無虛軸上的極點

圖：G(s)H(s)無虛軸上的極點

第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)4、G(s)H(s)閉合曲線的繪制第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)5)、閉合曲線包圍原點圈數(shù)R的計算根據(jù)半閉合曲線可獲得包圍原點的圈數(shù)R。設(shè)N為穿越點左側(cè)負(fù)實軸的次數(shù)，表示正穿越的次數(shù)和（從上向下穿越），表示負(fù)穿越的次數(shù)和（從下向上穿越），則第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)（圖a）（圖b）（圖c）（圖d）（圖e）二、奈氏判據(jù)第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)

如果在s平面上,s沿著奈氏回線順時針方向移動一周時,在F(s)平面上的映射曲線ΓF圍繞坐標(biāo)原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)圈數(shù)R=P-Z=0周（P為開環(huán)傳函位于s平面右半部極點的個數(shù)，Z為閉環(huán)極點個數(shù)）時,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程：G(s)H(s)=F(s)-1F(s)的映射曲線ΓF圍繞原點運動的情況,相當(dāng)于系統(tǒng)開環(huán)傳函G(s)H(s)的封閉曲線ΓGH圍繞著(－1,j0)點的運動情況,結(jié)論：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Z=P-R=0，即R=P。即：ΓGH逆時針包圍（-1,j0）點的圈數(shù)=右半s平面開環(huán)極點數(shù)。第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)例5－8已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時K值的范圍。解:如圖所示，開環(huán)幅相曲線與負(fù)實軸有三個交點，設(shè)交點處穿越頻率分別為，第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳函由題設(shè)條件知，和當(dāng)取時若令，可得對應(yīng)的K值對應(yīng)地，分別取和時，開環(huán)幅相曲線分別如圖所示，圖中按補作虛圓弧得半閉合曲線。第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)曲線計算包圍次數(shù)，并判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。綜上可得,系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時的K值范圍為和。當(dāng)K等于和20時，穿過臨界點，且在這三個值的鄰域，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定或不穩(wěn)定，因此系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定。第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)三、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)可以推廣運用奈氏判據(jù)，其關(guān)鍵問題是需要根據(jù)半對數(shù)坐標(biāo)下的曲線確定穿越次數(shù)或和開環(huán)幅相曲線和開環(huán)系統(tǒng)存在積分環(huán)節(jié)和等幅振蕩環(huán)節(jié)時所補作的半徑為無窮大的虛圓弧。的確定取決于穿越負(fù)實軸的次數(shù)，建立如下對應(yīng)關(guān)系：時（1）穿越點確定設(shè)時為截止頻率。

稱第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)對于復(fù)平面的負(fù)實軸和開環(huán)對數(shù)相頻特性，當(dāng)取頻率為穿越頻率時第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)對應(yīng)地，需從對數(shù)相頻特性曲線點起向上補作的虛直線至處，曲線和補作的虛直線構(gòu)成（3）穿越次數(shù)計算正穿越負(fù)穿越半次正穿越半次負(fù)穿越第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)設(shè)P為開環(huán)系統(tǒng)正實部的極點數(shù)，反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是和時，曲線穿越線的次數(shù)

滿足對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)和奈氏判據(jù)本質(zhì)相同，其區(qū)別僅在于前者在的頻率范圍內(nèi)依曲線確定穿越次數(shù)N。第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試用對數(shù)判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性如圖。

由開環(huán)傳遞函數(shù)可知P=0。所以閉環(huán)穩(wěn)定第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試用對數(shù)判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性如圖在處振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻值為閉環(huán)不穩(wěn)定。閉環(huán)特征方程的正根數(shù)為第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法

第四節(jié)、穩(wěn)定裕度

——衡量閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定程度的指標(biāo)。一、相角裕度系統(tǒng)開環(huán)頻率特性上幅值為1時所對應(yīng)的角頻率稱幅值穿越頻率或截止頻率，記為，即定義相位裕度為相角裕度的含義是，對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)相頻特性再滯后度，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。第四節(jié)穩(wěn)定裕度二、幅值裕度系統(tǒng)開環(huán)頻率特性上相位等于-1800時所對應(yīng)的角頻率稱為相位穿越頻率，記為，即定義幅值裕度為幅值裕度的含義是，對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性再增大h倍則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。對數(shù)坐標(biāo)下，幅值裕度按下式定義：

第四節(jié)穩(wěn)定裕度第四節(jié)穩(wěn)定裕度例5－12已知單位反饋系統(tǒng)設(shè)K分別為4和10時，試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。解：

可得K=4時第四節(jié)穩(wěn)定裕度K=10時分別作出K=4和K=10的開環(huán)幅相曲線即閉合曲線，如圖所示。由奈氏判據(jù)知：

K=4時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，；

K=10時，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，。

第四節(jié)穩(wěn)定裕度例5－14

單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試確定系統(tǒng)開環(huán)增益K＝5和K＝20時的相位裕度和幅值裕度。解：由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)知，轉(zhuǎn)折頻率為，。按分段區(qū)間描述方法，寫出對數(shù)幅頻漸近特性曲線的表達(dá)式為第四節(jié)穩(wěn)定裕度本例的伯德圖如左。第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系一、開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系二、閉環(huán)頻率特性與時域指標(biāo)的關(guān)系第五章頻率特性法

常將開環(huán)頻率特性分成低、中、高三個頻段。一、開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系-40dB/dec-40dB/dec-20dB/dec低頻段高頻段中頻段0第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系ωdB

L(ω)ωcω1ω2

三個頻段分別與系統(tǒng)性能有對應(yīng)關(guān)系，下面具體討論。1．低頻段低頻段由積分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)構(gòu)成：

G(s)=sKυ對數(shù)幅頻特性為：ω0KKνKυ=0υ=1υ=2-20υKυG(jωω)=)(jL(ω)=20lgA()ωK=20lgυω=20lgK-v20lgω根據(jù)分析可得如圖所示的結(jié)果：

可知：

曲線位置越高，K值越大；低頻段斜率越負(fù)，積分環(huán)節(jié)數(shù)越多。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能越好。dB

L(ω)第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系2.中頻段

穿越頻率ωc附近的區(qū)段為中頻段。它反映了系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性和快速性。(1)穿越頻率ωc與動態(tài)性能的關(guān)系

可近似認(rèn)為整個曲線是一條斜率為

-20dB/dec的直線。設(shè)系統(tǒng)如圖:-20dB/dec0+20-20開環(huán)傳遞函數(shù)：G(s)≈

sK閉環(huán)傳遞函數(shù)為：ts≈3T穿越頻率ωc

反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快速性。s=ωcss1+ωc(s)=φωc1s+11=ωc=3ωcωdB

L(ω)ωc第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系(2)中頻段的斜率與動態(tài)性能的關(guān)系設(shè)系統(tǒng)如圖:-40dB/dec0+20-20開環(huán)傳遞函數(shù)：G(s)≈

s2K閉環(huán)傳遞函數(shù)為：處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)

中頻段斜率為-40dB/dec

，所占頻率區(qū)間不能過寬，否則系統(tǒng)平穩(wěn)性難以滿足要求。通常，取中頻段斜率為-20dB/dec

。

可近似認(rèn)為整個曲線是一條斜率為

-40dB/dec的直線。s2=ω2c1+(s)=φs2ω2cs2ω2cs2+

=cω2cω2ωdB

L(ω)ωc第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系例試分析中頻段與相對穩(wěn)定性的關(guān)系。ω1-20dB/dec0ω2-40dB/decω3-40dB/dec(1)曲線如圖對應(yīng)的頻率特性:γ=72o～54o設(shè)：G(jK(1+j)(1+j))(1+jωωωωω1ω2ω3ωj)=)=-90o-tg-1cc+tg-1c-tg-1(ωφcω1ωω2ωω3ωc==33c2ωωωωc2ωωtg-1=tg-13=72o13c3ωωtg-1=tg-1=18o=-126o)(ωφcωdB

L(ω)ωc可求得:=0

ω1=-108o)(ωφcω1=ω1ω2ω1-20dB/decω1第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系ω1-20dB/decω2-60dB/decω3-20dB/dec(2)曲線如圖-40dB/dec對應(yīng)的頻率特性:同樣的方法可得:γ=72o～36o=-108o～-144o)(ωφcωdB

L(ω)ωcω2G(jK(1+j)(1+j))(1+jωωωω1ω2ω3ωj)=2第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系(3)曲線如圖ω1-20dB/dec0ω2-60dB/dec-40dB/dec對應(yīng)的頻率特性:同樣的方法可得:γ=18o～-18oω2G(jK(1+j)(1+j)ωωω1ω2ωj)=ωdB

L(ω)ωc=-162o～-198o)(ωφc

上述計算表明，中頻段的斜率反映了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系3．高頻段

高頻段反映了系統(tǒng)對高頻干擾信號的抑制能力。高頻段的分貝值越低，系統(tǒng)的抗干擾能力越強。高頻段對應(yīng)系統(tǒng)的小時間常數(shù)，對系統(tǒng)動態(tài)性能影響不大。一般即L(ω)=20lg|G(j)|<<0ω|G(j)|<<1ω≈|G(j)|ω)|=(jωφ|1+G(j)|ω|G(j)|ω|第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系4．二階系統(tǒng)開環(huán)頻率特性與動態(tài)性能的關(guān)系開環(huán)傳遞函數(shù)：ωdB

L(ω)020-20-20dB/decωn2ζ-40dB/decω0-90-180)

(ωφγ平穩(wěn)性:σ%γ快速性:

ts

G(s)=2s(s+2)ζnωnω)=(jjωnω2G(j+2)ζnωωω)=ω2A(2+(2)ζnωωωnω2)=-90o-tg-12nω(ωφζωcωωc第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系(1)相位裕量γ和超調(diào)量σ%之間的關(guān)系得0<ζ<0.707近似為0.20.40.60.81.010203040506070800204060801001201400ζσ%γγσ%)=ω2A(2+(2)ζnωωωnω2cc=1cω42ζnω2cω2nω4+4-=0

=tg-1-22+14ζ4ζ2ζcωnω-2=+14ζ4ζ22=tg-1ζnωcω=180o-90o-tg-12ζnωcωγ=180o+)

(ωφcσ%=100%e-ζζπ1-2=100ζγ)

(ωcγ越大，σ%越?。环粗嗳?。ζ與γ、σ%之間的關(guān)系曲線第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系根據(jù)：

調(diào)節(jié)時間

ts

與ωc以及γ有關(guān)。γ不變時，穿越頻率ωc

越大，調(diào)節(jié)時間越短。得得(2)cω、γ與ts

之間的關(guān)系ts=3ζnωcωnω-2=+14ζ4ζ2ts·3=cωζ-2+14ζ4ζ2ts·tg6γcω=

=tg-12γ-2+14ζ4ζ2ζ再根據(jù)：第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能