第7章采樣控制系統(tǒng)

第7章線性離散控制系統(tǒng)內(nèi)容提要

采樣控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)的根本區(qū)別在于采樣系統(tǒng)中既包含有連續(xù)信號，又包含有離散信號，是一個混和信號系統(tǒng)。分析和設計采樣系統(tǒng)的數(shù)學工具是Z變換，采用的數(shù)學模型是差分方程、脈沖傳遞函數(shù)。知識要點

采樣控制系統(tǒng)的特點，連續(xù)信號的離散化，采樣定理，信號的恢復，保持器，Z變換，差分方程，脈沖傳遞函數(shù)，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，采樣系統(tǒng)的分析，采樣系統(tǒng)的校正，最少拍控制器。

本章介紹采樣控制系統(tǒng)即線性離散控制系統(tǒng)理論與前幾章討論的連續(xù)控制系統(tǒng)的控制理論不同。離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)間的根本區(qū)別在于：連續(xù)系統(tǒng)中的控制信號、反饋信號以及偏差信號都是連續(xù)型的時間函數(shù)(模擬信號），而在離散系統(tǒng)中則不然，在一般情況下，控制系統(tǒng)中至少有一處或幾處信號在時間上為離散的脈沖或數(shù)字信號。7-1基本概念.

爐溫自動控制系統(tǒng)原理圖當爐溫偏離給定值時，熱敏電阻的阻值發(fā)生變化，使電橋失去平衡，檢流計指針發(fā)生偏移，轉(zhuǎn)角為S，同步電機帶動凸輪使檢流計指針上下周期性地運動，檢流計指針每隔T秒與電信號接觸一次，每次接觸時間為τ秒。此時電位器輸出是一串寬度為，周期為T的脈沖電壓信號，用表示。信號僅僅在檢流計指針與電位器接觸時才能通過，它經(jīng)過放大器，電動機，減速器控制爐門角度來改變氣體的進氣量，使爐溫趨于給定值。當檢流計離開電位器時，有誤差信號，但執(zhí)行電機不動作，相當于開關斷開。爐溫采樣控制系統(tǒng)示意圖檢流計的輸出是連續(xù)偏差信號，而通過指針、電位器的輸出為離散信號。即連續(xù)信號，經(jīng)采樣周期為T的采樣開關變?yōu)橐幌盗忻}沖信號。數(shù)字控制系統(tǒng)結構圖數(shù)字控制系統(tǒng)

數(shù)字控制系統(tǒng)是一種離散型的控制系統(tǒng)，只不過是通過數(shù)字計算機來完成。因此，它包括工作于離散狀態(tài)下的數(shù)字計算機(或?qū)Ｓ玫臄?shù)字控制器)和具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對象兩大部分，有用于控制目的的數(shù)字計算機，或數(shù)字控制器，它構成控制系統(tǒng)的數(shù)字部分，通過這部分的信號均以離散形式出現(xiàn)。被控對象G(s)是系統(tǒng)的不可變部分，它是構成連續(xù)部分的主要部分。

在數(shù)字控制系統(tǒng)中，具有連續(xù)時間函數(shù)形式的被控信號c(t)(模擬量)受控于具有離散時間函數(shù)形式的控制信號(數(shù)字量)。既然模擬量需要反應數(shù)字量，這中間便需要有數(shù)-模D/A轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)。連續(xù)的被控制信號c(t)經(jīng)反饋環(huán)節(jié)反饋到輸入端與參考輸入相比較，從而得到e(t)并經(jīng)A／D得到偏差信號。

離散的偏差信號經(jīng)數(shù)字計算機的加工處理變換成數(shù)字信號，再經(jīng)D／A轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號饋送到連續(xù)部分的執(zhí)行元件去控制系統(tǒng)的被控制信號c(t)。復雜的計算機控制系統(tǒng)目前的大型控制系統(tǒng)(或稱大系統(tǒng))的發(fā)展趨勢，是將許多獨立的控制系統(tǒng)(稱為子系統(tǒng))結合成單一的最優(yōu)控制工程。在工業(yè)過程控制系統(tǒng)中，要使系統(tǒng)在長時間內(nèi)工作在穩(wěn)態(tài)，通常是不現(xiàn)實的。這是因為在產(chǎn)品要求、原料、經(jīng)濟因素、加工設備和加工工藝中，總會發(fā)生變化。因此，就有必要考慮工業(yè)過程中的暫態(tài)過程。又由于過程變量中存在著相互影響，所以在每一個控制系統(tǒng)中，只考慮一個過程變量，將系統(tǒng)作為單輸入-單輸出系統(tǒng)來分析、設計，對于全面的控制系統(tǒng)來說是不適當?shù)摹?/p>

為了實現(xiàn)工業(yè)過程的最優(yōu)控制，就必須考慮全部的過程變量，即需將系統(tǒng)作為具有多輸入—多輸出形式的多變量系統(tǒng)來研究。同時還要考慮到經(jīng)濟因素、產(chǎn)品和設備性能等方面的要求。還需指出，大系統(tǒng)對過程的控制能力越完善，也就越需要求解復雜的方程，也就越需要了解和利用工作變量間的正確關系。大系統(tǒng)還必須具備能夠在短時間內(nèi)實時地控制其子系統(tǒng)工作狀態(tài)的能力。顯然，根據(jù)上述要求構成的大系統(tǒng)，如果不采用數(shù)字計算機來控制．是根本無法完成既定任務的。這樣的大系統(tǒng)是離散系統(tǒng)的一種高級形式。分析離散系統(tǒng)可以采用Z變換法，或狀態(tài)空間法。Z變換法和線性定常離散系統(tǒng)的關系，恰似拉氏變換法和線性定常連續(xù)系統(tǒng)的關系；因此，Z變換法是分析單輸入-單輸出線性定常離散系統(tǒng)的有力工具，它是本章的重點內(nèi)容。狀態(tài)空間法特別適用于多輸入—多輸出線性離散系統(tǒng)的分析。§7-2采樣過程與采樣定理7.2.1采樣過程

實現(xiàn)采樣控制首先遇到的問題，就是如何把連續(xù)信號變換為脈沖序列的問題。

按一定的時間間隔對連續(xù)信號進行采樣，將其轉(zhuǎn)換為相應的脈沖序列的過程稱為采樣過程。實現(xiàn)采樣過程的裝置叫采樣器或采樣開關。

采樣器可以用一個周期性閉合的開關來表示，其閉合周期為T，每次閉合時間為τ。實際上，由于采樣持續(xù)時間τ通常遠小于采樣周期T，也遠小于系統(tǒng)連續(xù)部分的時間常數(shù)，因此，在分析采樣系統(tǒng)時，可近似認為τ趨近于0。在這種條件下，當采樣開關的輸入信號為連續(xù)信號e(t)時，其輸出信號e*(t)是一個脈沖序列，采樣瞬時e*(t)的幅值等于相應瞬時e(t)的幅值，即e(0T)、e(T)、e(2T)……e(nT)，如圖所示。

采樣過程

采樣過程可以看成是一個脈沖調(diào)制過程。理想的采樣開關相當于一個單位理想脈沖序列發(fā)生器，它能夠產(chǎn)生一系列單位脈沖。

采樣開關相當于一個單位脈沖發(fā)生器，采樣信號的調(diào)制過程如圖所示。采樣信號的調(diào)制過程脈沖序列的拉普拉斯變換表達式若用jω代替s，得脈沖序列的頻域表達式2.采樣過程的數(shù)學描述另外，還可得脈沖序列的另一種表示形式。單位脈沖序列是周期為T的周期函數(shù)，其采樣頻率，可展開成富里葉級數(shù)脈沖序列的另一種拉普拉斯變換表達式若用jω代替s，得的頻域表達式

上式看到，如果si是連續(xù)信號的極點，那么si-jkωk都是離散信號的極點，有無限多個。

采樣定理(shannon采樣定理)，給出了從采樣的離散信號恢復到原連續(xù)信號所必需的最低采樣頻率，所以在設計離散系統(tǒng)時是很重要的。7.2.2采樣定理從采樣過程及信號頻譜的變化，給出采樣定理。

上式表明，采樣函數(shù)的拉氏變換式E*(s)是以ωs為周期的周期函數(shù)。另外，上式還表示了采樣函數(shù)的拉氏變換式E*(s)與連續(xù)函數(shù)拉氏變換式E(s)之間的關系。連續(xù)信號e(t)經(jīng)采樣后的脈沖信號表達式

通常E*(s)的全部極點均位于S平面的左半部，因此可用jω代替上式中的復變量s，直接求得采樣信號的頻率特性：

上式即為采樣信號的頻譜函數(shù)。它反映了離散信號頻譜和連續(xù)信號頻譜之間的關系。

一般說來，連續(xù)函數(shù)的頻譜是孤立的，其帶寬是有限的，即上限頻率為有限值。連續(xù)函數(shù)的頻譜而離散函數(shù)e*(t)則具有以ωs

為周期的無限多個頻譜。在離散函數(shù)的頻譜中、n=0的部分E(jω)／T稱為主頻譜。它對應于連續(xù)信號的頻譜。除了主頻譜外，E*(jω)還包含無限多個附加的高頻頻譜。1.若時，采樣信號頻譜的各頻譜分量彼此不發(fā)生重疊。2.若時，采樣信號頻譜的各頻譜分量彼此相互重疊。

為了準確復現(xiàn)采樣的連續(xù)信號，必須使采樣后的離散信號的頻譜彼此不重疊，這樣就可以用一個比較理想的低通濾波器，濾掉全部附加的高頻頻譜分量，保留主頻譜。由圖可見，相鄰兩頻譜互不重迭的條件是

如果滿足條件，采樣后的離散信號e*(t)經(jīng)理想濾波器上，則在濾波器的輸出端將不失真地復現(xiàn)原連續(xù)信號(幅值相差l／T倍)。倘若ωs<2ωmax,則會出現(xiàn)相鄰頻譜的重疊現(xiàn)象，這時，即使用理想濾波器也不能將主頻譜分離出來，因而就難以準確復現(xiàn)原有的連續(xù)信號。

對一個具有有限頻譜為的連續(xù)信號采樣，當采樣頻率

的條件下，采樣后的離散信號e*(t)才有可能無失真地恢復到原來的連續(xù)信號。由于它給出了無失真地恢復原有連續(xù)信號的條件，所以成為設計采樣系統(tǒng)的一條重要依據(jù)。香農(nóng)(Shannon)采樣定理：實際中應注意兩點：（1）如果是以非周期連續(xù)函數(shù)的信號，即頻譜中的最高頻率是無限的，采用信號損失允許值來近似處理。（2）采樣定理給出了采樣頻率的最低限度，但采樣頻率也不能過大，實現(xiàn)有困難，同時干擾影響也增大?！?-3采樣信號保持器

實現(xiàn)采樣控制遇到的另一個重要問題，是如何把采樣信號恢復為連續(xù)信號。

根據(jù)采樣定理，在滿足ωs≥2ωmax的條件下，離散信號的頻譜彼此互不重疊。這時，就可以用理想濾波器濾去高頻頻譜分量，保留主頻譜，從而無失真地恢復原有的連續(xù)信號。理想濾波器頻率特性

理想濾波器實際上是不能實現(xiàn)的。因此，必須尋找在特性上接近理想濾波器，而且在物理上又是可以實現(xiàn)的濾波器。在采樣系統(tǒng)中廣泛采用的保持器就是這樣一種實際的濾波器。

保持器是一種時域的外推裝置，即根據(jù)過去或現(xiàn)在的采樣值進行外推。

通常把具有恒值、線性和拋物線外推規(guī)律的保持器分別稱為零階、一階和二階保持器。其中最簡單、最常用的是零階保持器。7.3.1零階保持器

零階保持器是一種按照恒值規(guī)律外推的保持器。它把前一采樣時刻nT的采樣值e(nT)恒定不變保持到下一采樣時刻(n+1)T，其輸入信號和輸出信號的關系如圖。

零階保持器的輸出信號是階梯信號。它與要恢復的連續(xù)信號是有區(qū)別的，包含有高次諧波。若將階梯信號的各中點連接起來，可以得到比連續(xù)信號滯后T／2的曲線。這反映了零階保持器的相位滯后特性。零階保持器的傳遞函數(shù)零階保持器頻率特性零階保持器具有如下特性：低通特性：由于幅頻特性的幅值隨頻率值的增大而迅速衰減，說明零階保持器基本上是一個低通濾波器，但與理想濾波器特性相比：在ω=ωs/2，其幅值只有初值的63.7%，且截止頻率不止一個，所以零階保持器允許主要頻譜分量通過外，還允許部分高頻分量通過，從而造成數(shù)字控制系統(tǒng)的輸出中存在紋波。相角特性：由相頻特性可見，零階保持器要產(chǎn)生相角遲后，且隨ω的增大而加大，在ω=ωs/2時，相角遲后可達－180°，從而使閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。時間遲后：零階保持器的輸出為階梯信號eh(t)其平均響應為e[t－(T/2)],表明輸出比輸入在時間上要遲后T/2，相當于給系統(tǒng)增加一個延遲時間為T/2的延遲環(huán)節(jié)，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利。2.一階保持器

一階保持器是種按線性規(guī)律外推的保持器，其外推關系為

一階保持器的單位脈沖函數(shù)的拉氏變換式可用下式表示，

一階保持器的頻率特性如圖。圖中的虛線表示零階保持器的頻率特性。一階保持器的頻率特性一階保持器的幅頻特性比零階保持器高一些，且相位滯后比零階保持器更大，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性更不利，因此實際中廣泛采用零階保持器?！?-4Z變換線性連續(xù)系統(tǒng)用線性微分方程來描述，可以應用拉氏變換的方法來分析其動態(tài)及穩(wěn)態(tài)過程。線性采樣系統(tǒng)中包含離散信號，用差分方程來描述，同樣可以應用一種Z變換的方法來進行分析。Z變換是由拉氏變換引伸出來的一種變形。8.4.1Z變換定義

設連續(xù)時間函數(shù)f(t)的拉氏變換為F(s)。連續(xù)時間函數(shù)f(t)經(jīng)采樣周期為T的采樣開關后，變成離散信號f*(t)離散信號的拉氏變換為

上式中各項均含有e-kTs因子，為便于計算定義一個新變量z=esT

，其中T為采樣周期，z是復數(shù)平面上定義的一個復變量。通常稱為z變換算子。得到以z為自變量的函數(shù)F(z)

是相互補充的兩種變換形式，前者表示s平面上的函數(shù)關系，后者表示z平面上的函數(shù)關系。若所示級數(shù)收斂，則稱F(z)是f*(t)的z變換。記為

Z[f*(t)]=F(z)

應該指出，式所表示的z變換只適用于離散函數(shù)，或者說只能表征連續(xù)函數(shù)在采樣時刻的特性，而不能反映其在采樣時刻之間的特性。人們習慣上稱F(z)是f(t)的z變換,指的是經(jīng)過采樣后f*(t)的z變換。采樣函數(shù)f*(t)所對應的z變換F(z)是唯一的，但是，一個離散函數(shù)f*(t)所對應的連續(xù)函數(shù)卻不是唯一的，而是有無窮多個。7.4.2Z變換方法求離散函數(shù)的z變換方法有很多，介紹其中三種。1)

級數(shù)求和法由離散函數(shù)及其拉氏變換，根據(jù)z變換的定義有：

已知函數(shù)在采樣時刻kT(k=0,1,2,3,4,…..)的采樣值便可求取離散函數(shù)z變換的級數(shù)展開式。對常用離散函數(shù)的z變換應寫成級數(shù)的閉合形式。例1：試求函數(shù)f(t)=1(t)的z變換。解:f(kT)=1(kT)=1(k=0,1,2,3….)例2：試求函數(shù)f(t)=e-at的z變換。

級數(shù)求和法求取已知函數(shù)Z變換，需要將無窮級數(shù)寫成閉式。這在某些情況下要求很高的技巧。但函數(shù)Z變換的無窮級數(shù)形式卻具有鮮明的物理含義，這又是Z變換無窮級數(shù)表達形式的優(yōu)點。Z變換本身便包含著時間概念，函數(shù)Z變換的無窮級數(shù)形式清楚地看出原連續(xù)函數(shù)采樣脈沖序列的分布情況。

2)部分分式法

設連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換式為有理函數(shù)，可以展開成部分分式的形式，即式中pi為F（s）的極點，

Ai為常系數(shù)。對應的時間函數(shù)為其Z變換為可見，f（t）的Z變換為：

利用部分分式法求z變換時，先求出已知連續(xù)時間函數(shù)f（t）的拉氏變換F(s)，然后將有理分式函數(shù)F(s)展成部分分式之和的形式，最后求出（或查表）給出每一項相應的z變換。例3：求的Z變換。例4：求f(t)=sinωt的Z變換。解：的原函數(shù)為，其Z變換為3)留數(shù)計算法

已知連續(xù)信號f(t)的拉氏變換F(s)及它的全部極點,可用下列的留數(shù)計算公式求F(z)。函數(shù)在極點處的留數(shù)計算方法若Si

為ri重極點，則若Si為單極點，則解：F(s)的極點為單極點例5已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，應用留數(shù)計算法求F(z)。例6：求(t>0)的Z變換.解：F(s)有兩個s=0的極點，即

若對于任意常數(shù)a和b，則有7.4.3Z變換的基本定理1)線性定理證明：由Z變換定義若連續(xù)函數(shù)X(t),當t<0時,X(t)=0,且2）實數(shù)位移定理又稱平移定理則有及定理表明，原函數(shù)在時域中延遲n個采樣周期，相當于其z變換乘以.3）復域位移定理若則有：定理的含義是：函數(shù)x(t)乘以指數(shù)e±at的Z變換，等于在x(t)的Z變換表達式X(z)中，以取代原算子z。證明：由Z變換定義例：試用復數(shù)位移定理計算函數(shù)te-at的Z變換解：令x(t)=t，查附表知根據(jù)復數(shù)位移定理，有4）復數(shù)微分定理若Z[x(t)]=X(z)，則5）初值定理若Z[x(t)]=X(z)

，且當t<0時，x(t)＝0

則6）終值定理

若Z[x(t)]=X(z)

，且(z－1)X(z)的全部極點位于Z平面的單位圓內(nèi)，則例：設Z變換函數(shù)為試用終值定理確定穩(wěn)態(tài)值解：由終值定理得7）卷積定理若則有：證明：根據(jù)Z變換的定義：7.4.4Z

反變換與拉氏反變換類似，z反變換可表示為：下面介紹三種常用的z反變換法:1.長除法；2.部分分式法；3.留數(shù)法1）綜合長除法

這種方法是用F(z)的分母除分子。求出z-1按升冪排列的級數(shù)展開式，然后用反變換求出相應的采樣函數(shù)的脈沖序列。

通過對上式直接作綜合除法，得到按z-1升冪排列的冪級數(shù)展開式如果得到的無窮級數(shù)是收斂的，則按Z變換定義可知上式中的系數(shù)fk

（k=0，1，…）就是采樣脈沖序列f*(t)的脈沖強度f(kT）。因此可直接寫出f*(t)的脈沖序列表達式

上式就是我們要求的通過z反變換得到的離散信號f*(t)。

注意：①在進行綜合除法之前，必須先將F(z)的分子，分母多項式按z的降冪形式排列。②實際應用中，常常只需計算有限的幾項就夠了。因此用這種方法計算f*(t)最簡便，這是這一方法優(yōu)點之一。③要從一組f(kT)值中求出通項表達式，一般是比較困難的。例7：已知，試用冪級數(shù)法求F(z)的z反變換。解：用綜合除法得到因為2)部分分式展開法

在z變換表中，所有z變換函數(shù)F(z)在其分子上都普遍含有因子z，所以應將F(z)/z展開為部分分式，然后將所得結果每一項都乘以z，即得F(z)的部分分式展開式,查找z變換表得z反變換f(kT)。例8

設,試求f(kT)。解：經(jīng)計算有A=1，B=－1所以有查z變換表得或3）留數(shù)計算法根據(jù)z變換定義有根據(jù)柯西留數(shù)定理有式中表示F(z)zk-1在極點zi

處的留數(shù)。關于函數(shù)F(z)zk-1在極點處的留數(shù)計算方法若zi為單極點，則若F(z)zk-1有ri階重極點Zi，則例9：設試用留數(shù)法求z反變換。解：因為函數(shù)有z1=－1，z2=－2兩個極點，極點處的留數(shù)所以有或§7-5離散系統(tǒng)的數(shù)學模型

線性離散系統(tǒng)的數(shù)學模型有差分方程、脈沖傳遞函數(shù)和離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式三種。8.5.1線性常系數(shù)差分方程1.差分的定義一階前向差分的定義為二階前向差分定義為n階前向差分定義為同理一階后向差分為n階后向差分為

一個方程中除含有函數(shù)本身外，還有函數(shù)的差分，此方程為差分方程，即2.差分方程對于輸入為r(t)，輸出為c(t)的線性定常離散系統(tǒng)，其差分方程為3.差分方程的解1）迭代法

2）z變換法用z變換法解差分方程，類似拉斯變換解微分方程，z變換將差分方程變?yōu)閦變量的代數(shù)方程，通過z反變換，就可求出差分方程的解。例：系統(tǒng)的差分方程為

c(k+2)-3c(k+1)+2c(k)=0

初始條件c(0)=0，c(1)=1，試求c(k).解：迭代法，由差分方程得

c(k+2)=-3c(k+1)-2c(k)當k=0時，c(2)=-3c(1)-2c(0)=-3

k=1時，c(3)=-3c(2)-2c(1)=7

k=2時，c(4)=-3c(3)-2c(2)=-15………Z變換法，方程兩邊取z變換得代入初始條件并整理得Z反變換得k=0時，c(0)=0k=1時，c(1)=1k=2時，c(2)=-3k=3時，c(3)=7k=4時，c(4)=-15…….

7.5.3脈沖傳遞函數(shù)（z傳遞函數(shù)）

在線性連續(xù)系統(tǒng)中，我們把初始條件為零下系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變拉之比，定義為系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，并用它來描述系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的特性。

與此相類似，在線性離散系統(tǒng)中，把初始條件為零的條件下系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的輸出離散信號的Z變換與輸入離散信號的z變換之比，定義為系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)，又稱為z傳遞函數(shù)。脈沖傳遞函數(shù)是離散系統(tǒng)的一個重要概念，是分析離散系統(tǒng)的有力工具。1）脈沖傳遞函數(shù)的定義在零初始條件下，線性定常離散系統(tǒng)的離散輸出信號z變換C(z)與離散輸入信號z變換R(Z）之比，稱為該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)（或z傳遞函數(shù)）。

應該指出，多數(shù)實際采樣系統(tǒng)的輸出信號是連續(xù)信號，如圖所示，在這種情況下，可以在輸出端虛設一個采樣開關，并設它與輸入采樣開關以相同的采樣周期T同步工作。這樣就可以沿用脈沖傳遞函數(shù)的概念。在連續(xù)系統(tǒng)中，傳遞函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應的拉普拉斯變換。同樣，對離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應的z變換。

2)脈沖傳遞函數(shù)的求法

1）根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義，若已知系統(tǒng)連續(xù)傳遞函數(shù)G(s)，或系統(tǒng)脈沖響應g(t),則脈沖傳遞函數(shù)G(z)為：

2）若已知系統(tǒng)的差分方程，在零初始條件下，差分方程式兩邊求z變換，輸出的z變換和輸入的z變換之比即為系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)，即

例12:若采樣系統(tǒng)的差分方程為試求其脈沖傳遞函數(shù)。解：對差分方程兩邊進行z變換，并令初始條件為零，有例13系統(tǒng)如圖，其中連續(xù)部分的傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。解：由z變換公式得3）采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)（1）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關??！串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關時，等效開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之積的z變換。（2）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關??！串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關時，等效開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之積。（3）帶有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

設有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)如圖（a）所示,經(jīng)簡單變換為如圖（b）所示等效開環(huán)系統(tǒng)。有零階保持器時，開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)例14

設離散系統(tǒng)為具有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)，解：求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。

4）采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

在采樣系統(tǒng)中，由于設置采樣器方式是多種多樣的，所以閉環(huán)系統(tǒng)的結構形式也不是統(tǒng)一的。下圖是比較常見的閉環(huán)系統(tǒng)結構圖。圖中輸出端的采樣開關是為了方便于分析而虛設的，另一虛線開關是等效的。典型離散閉環(huán)系統(tǒng)結構圖由圖中信號關系得閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)：與連續(xù)系統(tǒng)類似，令或的分母多項式為零，便可得到離散系統(tǒng)的特征方程：需要指出，離散閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)不能從和直接求Z變換得來，即

通過與上面類似的方法可以導出采樣器為不同配置形式的其它閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。但只要誤差信號e(t)處沒有采樣開關，則輸入采樣信號r*(t)就不存在，此時不能寫出閉環(huán)系統(tǒng)對于輸入量的脈沖傳遞函數(shù)，而只能求出輸出采樣信號的Z變換函數(shù)C(z)。例14設閉環(huán)離散系統(tǒng)結構如圖所示，試證其閉環(huán)脈沖傳函為離散系統(tǒng)結構證明：例15

設閉環(huán)離散系統(tǒng)結構如圖,試求其輸出采樣信號的z變換函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)結構圖解：由圖可得離散化有取Z變換有§7-6采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析7.6.1采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定條件

在線性連續(xù)系統(tǒng)中，判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性是根據(jù)特征方程的根在s平面的位置。若系統(tǒng)特征方程的所有根均在s平面左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。對線性離散系統(tǒng)進行了Z變換以后，對系統(tǒng)的分析要采用Z平面，因此需要弄清這兩個復平面的相互關系。1）s域到z域的映射:復變量s和z的相互關系為z=esT

，式中T為采樣周期

s域中的任意點可表示為，映射到z域則為于是，s域到z域的基本映射關系式為

設復變量s在S平面上沿虛軸移動，這時s＝jω，對應的復變量。后者是Z平面上的一個向量，其模等于1，與頻率ω無關；其相角為ωT，隨頻率ω而改變。

可見，S平面上的虛軸映射到Z平面上，為以原點為圓心的單位圓。

當s位于S平面虛軸的左邊時，σ為負數(shù)，小于1。反之，當s位于s平面虛軸的右半平面時，為正數(shù)，大于1。s平面的左、右半平面在z平面上的映像為單位圓的內(nèi)、外部區(qū)域。Z平面和W平面的對應關系

線性采樣系統(tǒng)結構圖2）線性采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件線性采樣系統(tǒng)的特征方程為

閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根λ1、λ2、…λn，即閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點。

在z域中，離散系統(tǒng)穩(wěn)定充分必要條件是：

當且僅當離散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的單位圓內(nèi)，或者所有特征根的模均小于1，相應的線性定常離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。7.6.2勞斯穩(wěn)定判據(jù)

對于線性連續(xù)系統(tǒng)，可以應用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但是，對于線性采樣系統(tǒng)，直接應用勞斯判據(jù)是不行的，因為勞斯判據(jù)只能判別特征方程的根是否在復變量s平面虛軸的左半部。對于離散系統(tǒng)，必須采用一種新的變換，使z平面上的單位圓，在新的坐標系中的映象為虛軸。這種新的坐標變換，稱為雙線性變換，又稱為W變換。復變函數(shù)z與w雙線性變換公式，令或式中z和w均為復變量，分別把它們表示成實部和虛部相加的形式，即對應關系1.對于w平面上的虛軸，即u=0，則對應z平面以原點為圓心的單位圓上。

2.z平面上單位圓內(nèi)，對應于w平面u為負，即虛軸的左半平面。3.Z平面上單位圓外，對應于w平面u為正，即虛軸的右半平面。

對于線性采樣系統(tǒng)經(jīng)過雙線性變換后，可以使用勞斯判據(jù)了。

例16

設閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖所示，其中采樣周期T=0.1s，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時K的變化范圍。解：求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)代入上式，得系統(tǒng)特征方程為閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為化簡后，得W域特征方程列勞斯表從勞斯表第一列系數(shù)可以看出，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使K>0，2.736-0.632K>0，即0<K<4.33。7.6.3采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響例18

設有零階保持器的離散系統(tǒng)如圖所示，試求：（1）當采樣周期T分別為1s，0.5s時，系統(tǒng)的臨界開環(huán)增益Kc。（2）當r(t)=1(t)，K=1，T分別為0.1，1，2，4s時，系統(tǒng)的輸出響應c(kT)。解：由勞斯判據(jù)KC=2.4T=0.5s時：T=1s時：由勞斯判據(jù)KC=4.37且由

，可求得C(z)表達式

取K=1，T=0.1,1,2,4s，可由C(z)求Z反變換得到c(kT)，見圖：不同T時系統(tǒng)的響應§7-7采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

線性連續(xù)系統(tǒng)的計算穩(wěn)態(tài)誤差方法都可以推廣到采樣系統(tǒng)中來。設單位反饋采樣系統(tǒng)如圖所示：系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為G(z)由圖可得給定信號r(t)作用下誤差的z域表達式利用z變換的終值定理求出采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差上式表明，離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與G(z)及輸入信號的形式有關。

與線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析類似引出離散系統(tǒng)型別的概念，由于的關系，線性連續(xù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)在s=0處極點的個數(shù)v作為劃分系統(tǒng)型別的標準，可推廣為將離散系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)在z=1處極點的數(shù)目v作為離散系統(tǒng)的型別,稱v=0,1,2,…..的系統(tǒng)為0型、I型、II型離散系統(tǒng)。典型輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。(1)單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差式中稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。

對0型離散系統(tǒng)（沒有z=1的極點），則Kp≠∞,從而ess(∞)≠0；對I型、II型以上的離散系統(tǒng)（有一個或一個以上z=1的極點），則Kp=∞，從而ess(∞)=0。

因此，在單位階躍函數(shù)作用下，0型離散系統(tǒng)在采樣瞬時存在位置誤差；I型或II型以上的離散系統(tǒng)，在采樣瞬時沒有位置誤差。這與連續(xù)系統(tǒng)十分相似。（2）單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差式中稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。

對于0型系統(tǒng)的kv=0，I型系統(tǒng)的為有限值kv=常數(shù)

，II型和II型以上系統(tǒng)的kv=∞，有如下結論：0型離散系統(tǒng)不能承受單位斜坡函數(shù)作用，I型離散系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)作用下存在速度誤差，II型和II型以上離散系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差。（3）單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差式中稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。

由于0型及I型系統(tǒng)的ka=0，II型系統(tǒng)的為常值，III型及III型以上系統(tǒng)ka=∞,因此有如下結論成立：

0型及I型離散系統(tǒng)不能承受單位加速度函數(shù)作用，II型離散系統(tǒng)在單位加速度函數(shù)作用于下存在加速度誤差，只有III型及III型以上的離散系統(tǒng)在單位加速度函數(shù)作用下，才不存在采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)位置誤差。在三種典型輸入信號作用下，離散系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)的計算與連續(xù)系統(tǒng)非常相似，但離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差除了與系統(tǒng)的結構和參數(shù)有關外，還與系統(tǒng)的采樣周期T有關?！?-8采樣系統(tǒng)的暫態(tài)響應與脈沖傳遞函數(shù)零、極點分布的關系一.閉環(huán)零、極點分布與瞬態(tài)響應的關系

在線性連續(xù)系統(tǒng)中，閉環(huán)傳遞函數(shù)零、極點在S平面的分布對系統(tǒng)的暫態(tài)響應有非常大的影響。與此類似，采樣系統(tǒng)的暫態(tài)響應與閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)零、極點在z平面的分布也有密切的關系。設閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為式中zj(j=0,1,2…)為系統(tǒng)閉環(huán)零點；

pi(i=0,1,2,…)為系統(tǒng)閉環(huán)極點；且m<n。采樣系統(tǒng)的單位階躍響應

A0=1，上式中第一項為系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量，第二項為輸出的暫態(tài)分量。顯然，隨著極點在z平面位置的變化，它所對應的暫態(tài)分量也就不同。Z反變換得輸出信號的脈沖序列c*(t)或c(kT)1.閉環(huán)極點為實根時

(1)若隨k增大而增大，即暫態(tài)響應是單調(diào)發(fā)散；（2）若為常量，即暫態(tài)響應是等幅振蕩；(3)若隨k增大而單調(diào)減小，即暫態(tài)響應是單調(diào)衰減，越靠近原點，衰減越快；(4)若隨k變化出現(xiàn)正負交替衰減，即暫態(tài)響應是正負交替衰減；(5)若暫態(tài)響應是正負交替的等幅振蕩；(6)若暫態(tài)響應是正負交替發(fā)散；

閉環(huán)實極點分布與相應動態(tài)響應形式的關系，如圖所示2）閉環(huán)共軛復數(shù)極點時

設為一對共軛復數(shù)極點，pk

、pk+1對應的暫態(tài)項為

若|pk|>1，閉環(huán)復數(shù)極點位于z平面上的單位圓外，瞬態(tài)響應為振蕩發(fā)散；若|pk|=1，閉環(huán)復數(shù)極點位于z平面上的單位圓上，瞬態(tài)響應為等幅振蕩；若|pk|<1，閉環(huán)復數(shù)極點位于z平面上的單位圓內(nèi)，瞬態(tài)響應為衰減振蕩,且|pk

|越小,即復極點越靠近原點,衰減越快；

閉環(huán)復數(shù)極點分布與相應動態(tài)響應形式關系

當閉環(huán)極點位于單位圓內(nèi)時，其對應的暫態(tài)分量是衰減的。極點離原點越近衰減越快。若極點位于正實軸上，暫態(tài)分量按指數(shù)衰減。一對共扼復數(shù)極點的暫態(tài)分量為振蕩衰減。為了使采樣系統(tǒng)具有較為滿意的暫態(tài)響應，其z傳遞函數(shù)的極點最好分布在單位圓內(nèi)的右半部分靠近原點的位置。

閉環(huán)零點影響暫態(tài)分量的系數(shù)Ai，即影響響應的起始值。

線性連續(xù)系統(tǒng)中主導極點的概念，對采樣系統(tǒng)主導極點定義為，若系統(tǒng)的一對極點靠近單位圓，而其它零極點均在原點附近，離這對極點相當遠，那么系統(tǒng)的瞬態(tài)響應主要由這一對極點來決定，稱為主導極點。2.主導極點例19：若系統(tǒng)結構如圖所示，試求其單位階躍響應的離散值，并分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。采樣周期T=0.2秒。當輸入量r(t)=1(t)時，R(z)=z/(z－1)，輸出量的z變換為：解：系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為求得系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的輸出序列y(kT)為§7-9采樣系統(tǒng)的校正

在設計采樣控制系統(tǒng)的過程中，為了滿足性能指標的要求，常常需要對系統(tǒng)進行校正。與連續(xù)系統(tǒng)相類似，采樣系統(tǒng)中的校正裝置按其在系統(tǒng)中的位置可分為串聯(lián)校正裝置和反饋校正裝置；按其作用可分為超前校正，滯后校正和滯后—超前校正。與連續(xù)系統(tǒng)所不同的是，采樣系統(tǒng)中就校正裝置的信號而言分連續(xù)校正和斷續(xù)校正（數(shù)字校正）。

離散系統(tǒng)數(shù)字校正的目的，是在使系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎上進一步提高系統(tǒng)的控制性能，如滿足一些典型控制信號作用下，經(jīng)過最少個采樣周期（通常一個采樣周期也稱一拍），使系統(tǒng)輸出在采樣時刻上無穩(wěn)態(tài)誤差，達到完全跟蹤的系統(tǒng)，稱為最少拍控制系統(tǒng)或最快響應系統(tǒng)。7.9.1數(shù)字校正（斷續(xù)校正）

線性離散系統(tǒng)中，設反饋通道的傳遞函數(shù)H(s)＝1，以及連續(xù)部分(包括保持器)G(s)的z變換為G(z)，則求得單位反饋線性離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

根據(jù)線性離散系統(tǒng)連續(xù)部分的脈沖傳遞函數(shù)G(z)及系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)或Φe(z)便可確定出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)。數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)的一般形式為式中ai

(i＝1，2，…，n)及bj(j＝0，1，2，…，m)為常系數(shù)。

為使數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)具有物理實現(xiàn)性，需要有n≥m。

對系統(tǒng)控制性能的要求，由閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)或Φe(z)來反映。因此，在閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和系統(tǒng)性能指標間的聯(lián)系便是需要討論的一個重要問題。7.9.2最少拍系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

將在典型控制信號作用下，經(jīng)過最少個采樣周期（通常一個采樣周期也稱一拍），使系統(tǒng)輸出在采樣時刻上無穩(wěn)態(tài)誤差，達到完全跟蹤的系統(tǒng)，稱為最少拍控制系統(tǒng)或最快響應系統(tǒng)。

最少拍系統(tǒng)設計根據(jù)以上性能指標的要求及典型輸入信號和其他約束條件，確定期望的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)或Φe(z)

，再由等式確定控制器D(z).

1)典型輸入信號分別為單位階躍信號、單位速度信號和單位加速度信號時，其z變換分別為：可見典型輸入信號的Z變換可寫為其中A(z)是不包含因子

的多項式。

由系統(tǒng)在典型輸入信號下的穩(wěn)態(tài)誤差為有2)從準確性看φ(z)為使穩(wěn)態(tài)誤差為零，中應包含因子。F(z)是不包含因子

的多項式。2)從快速性要求看Φ(z)

為了使采樣系統(tǒng)在最少采樣周期內(nèi)結束過渡過程，需使系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)中所含項最少。

為此，最好取F(z)=1，采樣系統(tǒng)的暫態(tài)響應過程可在最少個采樣周期內(nèi)結束。得

它是既保證在典型輸入信號下無穩(wěn)態(tài)誤差，又同時使過渡過程最快結束的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和誤差脈沖傳遞函數(shù)。

為保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和D(z)的物理上可實現(xiàn)，對閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)提出附加要求。4）從穩(wěn)定性角度考慮（1）的零點應能補償G(z)中所含單位圓外或圓上的極點；（2）的零點去抵消G(z)中所含單位圓外或圓上的零點；（3）為保證D(z)的分母階次大于或等于分子階次，（G(z)常含有因子）要求包含有因子；又考慮，應為包含常數(shù)項為1的多項式。

根據(jù)系統(tǒng)在典型輸入信號（單位階躍信號、單位速度信號和單位加速度信號），以及系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的情況(單位圓上或單位圓外的零極點），求得最少拍采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)和Φe(z)，再由得最小拍控制器D(z)，及E(z)和C(z)。例20設單位反饋線性離散系統(tǒng)的連續(xù)部分及零階保持器的傳遞函數(shù)分別為其中T＝1秒，試求取在等速度輸入信號r(t)=t作用下，能使給定系統(tǒng)成為最少拍系統(tǒng)的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)。解

根據(jù)給定的傳遞函數(shù)G0(s)及Gh(s)求取系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)，即當r(t)＝t時，從最少拍考慮系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

再從穩(wěn)定性和可實現(xiàn)性來看，G(z)包含一個單位圓上的極點，該極點應由Φe(z)的零點來抵消，恰好已包含在內(nèi)。G(z)含有因子，而也已包含因子。數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)，即系統(tǒng)的輸出為

系統(tǒng)在典型輸入r(t)=t的過渡過程c*(t)如圖所示。過渡過程在兩個采樣周期就可結束。

若上述最少拍系統(tǒng)的輸入信號變?yōu)殡A躍輸入，D(z)不變，則系統(tǒng)的過渡過程為對應的過渡過程c*(t)如圖。從圖可見，反應階躍輸入的過渡過程時間ts仍為兩個采樣周期，穩(wěn)態(tài)誤差仍為零，但在t=T＝1秒時卻出現(xiàn)一個100%的超調(diào)。

當?shù)燃铀俣容斎胱饔糜谏鲜鲎钌倥南到y(tǒng)時，其輸出函數(shù)的Z變換C(z)

從圖可見，反應等加速度輸入時過渡過程的持續(xù)時間ts仍為兩個采樣周期，但出現(xiàn)了數(shù)值為1的常值穩(wěn)態(tài)誤差。

從上面分析看到，如果線性離散系統(tǒng)是對等速度輸入信號設計的最少拍系統(tǒng)，則反應階躍輸入信號(其時間冪次低于等速信號)時的過渡過程會出現(xiàn)100％的超調(diào)，而反應等加速度輸入信號(其時間冪次高于等速信號)的過渡過程雖無超調(diào)現(xiàn)象，但系統(tǒng)將具有不為零的穩(wěn)態(tài)誤差。這說明，最少拍系統(tǒng)對輸入信號的適應性較差。例21

設單位反饋線性離散系統(tǒng)的連續(xù)部分及零階保持器的傳遞函數(shù)分別為（采樣周期T=0.2秒）試設計系統(tǒng)對單位階躍函數(shù)的過渡過程具有最短可能時間的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)。解給定系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳送函數(shù)G(z)，即

G(z)具有一個位于單位圓外的零點，一個單位圓上的極點及因子。為此，根據(jù)輸入信號，從穩(wěn)定性，準確性，最少拍及D(z)可實現(xiàn)等考慮閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)及Φe(z),設又考慮Φ(z)=1－Φe(z)比較求得解得：系統(tǒng)經(jīng)數(shù)字校正后系統(tǒng)的輸出可見，采樣系統(tǒng)的單位階躍響應在兩個采樣周期結束,較無單位圓外的零點給出的暫態(tài)響應時間延長了一個周期，這是由于G(z)含有一個單位圓外的零點之故。一般說來，最少拍系統(tǒng)暫態(tài)響應時間的增長與G(z)包含的單位圓上或圓外的零極點個數(shù)成正比。

上面介紹了最少拍采樣系統(tǒng)的設計方法。最少拍系統(tǒng)設計方法簡便，系統(tǒng)結構簡單，但在實際應用上存在一些問題。前面已經(jīng)指出，最少拍系統(tǒng)對于各種不同典型信號的適應性差。對于一種典型輸入信號設計的最少拍系統(tǒng)用于其它典型信號時性能并不理想。雖然可以考慮根據(jù)不同典型信號自動切換程序，但應用仍舊不便。最少拍系統(tǒng)對參數(shù)變化較敏感。當系統(tǒng)的參數(shù)受各種因素的影響發(fā)生變化時，會導致系統(tǒng)暫態(tài)響應時間的延長。需要強調(diào)指出的是，按照上述方法設計最少拍系統(tǒng)只能保證在采樣點上穩(wěn)態(tài)誤差為零，而在采樣點之間系統(tǒng)的輸出有可能會產(chǎn)生波動(圍繞給定輸入)，這種系統(tǒng)稱為有紋波系統(tǒng)。紋波的存在不僅引起誤差，而且增加功耗和機械摩損，這是許多快速系統(tǒng)所不容許的。適當增長系統(tǒng)暫態(tài)響應的時間(增加響應的拍數(shù))，是能設計出既使輸出無紋波又使暫態(tài)響應為最少拍采樣周期的系統(tǒng)?！?-10MATLAB在離散系統(tǒng)中的應用