量子力學(xué)課件：03講-Schrodinger Equation

1量子力學(xué)波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋粒子的動(dòng)量分布不確定度關(guān)系——進(jìn)一步討論21、自由粒子的波函數(shù)既然粒子具有波動(dòng)性，那么就應(yīng)該用一個(gè)反映波動(dòng)的函數(shù)來加以描述。由平面波公式借助德布羅意公式：v=E/h，λ=h/p和得到也可以寫作簡(jiǎn)短回顧32、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義當(dāng)粒子受到外力的作用時(shí)，其能量和動(dòng)量不再是常量，也就無法用這樣簡(jiǎn)單的函數(shù)來描述，但總可以用某個(gè)波函數(shù)來描述這個(gè)粒子的特性。問題是，該如何理解波函數(shù)所代表的物理意義呢？

任意粒子的波函數(shù)可以看作無限多個(gè)平面波的疊加4如何理解粒子的波動(dòng)性？對(duì)實(shí)物粒子的波動(dòng)性有兩種誤解：（1）認(rèn)為粒子是一個(gè)物質(zhì)波包；波包會(huì)擴(kuò)展（2）認(rèn)為粒子的衍射行為是大量粒子相互作用或疏密分布而產(chǎn)生的行為。單個(gè)電子具有波動(dòng)性波函數(shù)的玻恩（MaxBorn,1926年）幾率詮釋幾率波描述粒子波動(dòng)性的函數(shù)稱為波函數(shù)該如何理解波函數(shù)的物理意義？為此，人們提出了波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋來作為對(duì)波函數(shù)物理意義的一種理解。5量子力學(xué)的基本假定之一基本假定Ⅰ：波函數(shù)假定微觀粒子的狀態(tài)可以被一個(gè)波函數(shù)完全描述，從這個(gè)波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。波函數(shù)一般滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個(gè)條件。說明：波函數(shù)一般是粒子坐標(biāo)和時(shí)間的復(fù)函數(shù)，波函數(shù)的模方代表粒子空間分布的概率密度。6

動(dòng)量分布概率（1）設(shè)，則表示粒子出現(xiàn)在點(diǎn)附近的概率。設(shè)為粒子的動(dòng)量，那么粒子具有動(dòng)量的概率如何表示？平面波的波函數(shù)為任意粒子的波函數(shù)可以按此平面波做傅立葉展開7

動(dòng)量分布概率（2）其中，可見，代表中含有平面波的成分，因此，應(yīng)該代表粒子具有動(dòng)量的概率。8嚴(yán)格證明表明，對(duì)一般粒子，有物理意義：粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不可能同時(shí)被準(zhǔn)確測(cè)量?；蛘哒f，微觀粒子的位置（坐標(biāo)）和動(dòng)量不能同時(shí)具有完全確定的值。不確定度關(guān)系9不確定度關(guān)系是微觀粒子波粒二象性所帶來的必然結(jié)果。這是因?yàn)?，?duì)波動(dòng)而言，不能提“空間某一點(diǎn)x的波長(zhǎng)”。從而，對(duì)微觀粒子，只要承認(rèn)其具有波粒二象性，“微觀粒子在空間某一點(diǎn)x的動(dòng)量”，這樣的提法也沒有意義。所以，對(duì)一個(gè)給定點(diǎn)x，動(dòng)量只能是不確定的，這就是不確定度關(guān)系。六、不確定度關(guān)系10量子力學(xué)中的力學(xué)量力學(xué)量的平均值

算符薛定諤方程量子力學(xué)的基本假設(shè)11不確定度關(guān)系與力學(xué)量的平均值通過舉例得到，由此得知一般情況下x和p不能同時(shí)確定。這樣可以提出一個(gè)問題:x和p的平均值可否確定？

由此引申出：力學(xué)量的平均值12

二、力學(xué)量的平均值——坐標(biāo)(1)既然表示粒子出現(xiàn)在點(diǎn)附近的概率，那么粒子坐標(biāo)的平均值，例如的平均值，由概率論，有又如，勢(shì)能V是的函數(shù)：，其平均值由概率論，可表示為13

動(dòng)量的平均值與動(dòng)量分布概率（1）設(shè)，則表示粒子出現(xiàn)在點(diǎn)附近的概率。設(shè)為粒子的動(dòng)量，那么粒子具有動(dòng)量的概率如何表示？平面波的波函數(shù)為任意粒子的波函數(shù)可以按此平面波做傅立葉展開14

動(dòng)量的平均值與動(dòng)量分布概率（2）其中，可見，代表中含有平面波的成分，因此，應(yīng)該代表粒子具有動(dòng)量的概率。15二、力學(xué)量的平均值(2)——?jiǎng)恿吭偃纾瑒?dòng)量的平均值為：對(duì)比和提出兩個(gè)問題：1、為什么不能寫成2、能否用以坐標(biāo)為自變量的波函數(shù)計(jì)算動(dòng)量的平均值？由此引申出量子力學(xué)中特有的概念：力學(xué)量的算符16三、力學(xué)量用算符表示(1)當(dāng)算符

作用到平面波波函數(shù)上，有算符：對(duì)波函數(shù)的一種運(yùn)算17三、力學(xué)量用算符表示(2)動(dòng)量的平均值以坐標(biāo)和動(dòng)量為自變量的波函數(shù)之間的關(guān)系為18三、力學(xué)量用算符表示(3)動(dòng)量的平均值，用以動(dòng)量為自變量的波函數(shù)表示用以坐標(biāo)為自變量的波函數(shù)表示其中，為動(dòng)量的算符，即：動(dòng)量算符記??！19三、力學(xué)量用算符表示(4)動(dòng)能，動(dòng)能算符動(dòng)能平均值角動(dòng)量，角動(dòng)量算符角動(dòng)量平均值20波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋坐標(biāo)以及動(dòng)量平均值的計(jì)算動(dòng)量算符力學(xué)量用算符表示21三、力學(xué)量用算符表示(5)力學(xué)量的平均值為其中，為力學(xué)量的算符。問題：坐標(biāo)的平均值可否表示為可以，其中平均值與坐標(biāo)（表象）的選擇無關(guān)算符的形式與坐標(biāo)（表象）的選擇有關(guān)22

三、力學(xué)量用算符表示(6)描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)，可以由平面波的疊加來表示對(duì)這個(gè)波函數(shù)關(guān)于時(shí)間做偏微商，有因此，

能量算符利用能量算符，可以從形式上給出量子力學(xué)中的基本方程：薛定諤方程23四、薛定諤方程（1）粒子的能量?jī)蛇呁肆Ｗ拥牟ê瘮?shù)薛定諤方程

量子力學(xué)的基本假設(shè)之一：波函數(shù)的時(shí)空演化滿足薛定諤方程記??！24四、薛定諤方程(4)E.薛定諤（1887-1961）NobelPrizeinPhysics(1933)

“我確信，通過薛定諤的關(guān)于量子條件的公式表述，已作出了決定性的進(jìn)展。在這些對(duì)量子規(guī)則作深刻闡明的新嘗試中，我最滿意的是薛定諤的表述方式。”——A.Einstein25

連續(xù)性方程－薛定諤方程的推論薛定諤方程（1）由，得令

得到連續(xù)性方程

四、薛定諤方程（2）概率密度概率(粒子)流密度26四、薛定諤方程(6)連續(xù)性方程的回顧：電磁學(xué)中：為電荷密度，為電流密度。由Guass定理：27四、薛定諤方程(7)電磁學(xué)：左邊表示在區(qū)域內(nèi)電荷在單位時(shí)間內(nèi)的增量，右邊單位時(shí)間內(nèi)通過的封閉表面流入內(nèi)的總電流。電荷守恒量子力學(xué)：左邊表示在區(qū)域內(nèi)找到粒子概率單位時(shí)間內(nèi)的增量，右邊單位時(shí)間內(nèi)通過的封閉表面流入內(nèi)的概率。概率守恒粒子數(shù)目在全空間中保持不變28四、薛定諤方程（4）

能量本征方程薛定諤方程若不顯含，則可令，有因此，有和因此，滿足的方程稱為能量本征方程，稱為能量本征函數(shù)，稱為能量本征值29算符的本征方程數(shù)學(xué)中，形如的方程，稱為算符A的本征方程。其中對(duì)方程算符被稱為哈密頓算符，因?yàn)楸菊髦礒具有能量的量綱，故此方程被之為能量本征方程，被稱為能量本征函數(shù)，E被稱為能量本征值。動(dòng)量本征方程矩陣的本征方程30五、量子力學(xué)的基本假設(shè)（1）1、微觀體系的狀態(tài)被一個(gè)波函數(shù)完全描述，從這個(gè)波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。2、力學(xué)量用厄米算符表示，表示力學(xué)量的算符有組成完全系的本征函數(shù)。3、體系的狀態(tài)波函數(shù)滿足薛定諤方程：五條基本假設(shè)31五、量子力學(xué)的基本假設(shè)（2）4、將體系的狀態(tài)波函數(shù)用算符的本征函數(shù)展開，其中：則在體系態(tài)中測(cè)量力學(xué)量得