數(shù)的概念的擴(kuò)展

第四章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入4.1.1數(shù)的概念的擴(kuò)展自然數(shù)整數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)數(shù)系的擴(kuò)充負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)無理數(shù)問題3：有理數(shù)能表示1和2的等比中項(xiàng)嗎？問題1：在自然數(shù)集中方程X+4=2有解嗎？問題2：在整數(shù)集中方程3x-1=0有解嗎？自然數(shù)整數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)數(shù)系的擴(kuò)充負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)無理數(shù)數(shù)系每次的擴(kuò)充都是使得原有的運(yùn)算性質(zhì)仍然成立，并且解決了舊數(shù)系中出現(xiàn)的矛盾.增加新元素加除乘減乘方實(shí)數(shù)在實(shí)數(shù)集解？開方？類比擴(kuò)充知識引入：對于一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．我們知道：能否將實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，使得在新的數(shù)集中，該問題得到圓滿解決呢？

思考？引入新數(shù)：滿足瑞士歐拉LeonhardEuler公元1707-1783年1777年，歐拉在其論文中首次用符號“i”表示平方等于-1的新數(shù).復(fù)數(shù)的由來

德國高斯CarlFriedrichGauss

公元1777—1855年1801年,Gauss系統(tǒng)地使用“i”這個符號,使“i”通行于世.復(fù)數(shù)的由來

一個新數(shù)

i，并把它叫做虛數(shù)單位

（1）i21；

（2）實(shí)數(shù)可以與

i

進(jìn)行四則運(yùn)算，并且原有的加法與乘法的運(yùn)算律仍成立。引入規(guī)定例如1.實(shí)數(shù)a與i相加，記作：a+i2.實(shí)數(shù)b與i相乘，記作：bi

特別的b=0時(shí)，0i=03.實(shí)數(shù)a與bi相加，記作：a+bi這些運(yùn)算都可以寫成a+bi(a,b∈R)的形式.定義：形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)iba+Z=(a，b∈R）0復(fù)數(shù)a+bi實(shí)數(shù)（b=0）（b≠0）虛數(shù)0+純虛數(shù)（a=0）（a≠0）非純虛數(shù)+a分類實(shí)部a=ReZ虛部b=lmZ復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,b∈R}自然數(shù)整數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)？負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)無理數(shù)數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)虛數(shù)NZQR復(fù)數(shù)虛數(shù)特別地，實(shí)數(shù)純虛數(shù)集集集集5i-2

0練習(xí)1.說出下列復(fù)數(shù)中哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)？實(shí)數(shù)純虛數(shù)虛數(shù)0i例1.實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)

是（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？

（3）純虛數(shù)？解:（1）當(dāng)m-1=0，（2）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)．（3）當(dāng)即時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)．實(shí)部

即m=1時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)．虛部練習(xí)2.若復(fù)數(shù)Z=(x2-1)+(x-1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為（）A.-1B.0C.1D.-1或1A練習(xí)3.判斷下列命題是否正確：（1）若a、b為實(shí)數(shù)，則z=a+bi為虛數(shù);（2）若b為實(shí)數(shù)，則z=bi

必為純虛數(shù);（3）若a為