第二章數(shù)學(xué)模型

●學(xué)時與學(xué)分：40/2.5

●基本教學(xué)內(nèi)容與學(xué)時安排

一．緒論4

學(xué)時

二．自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型6

學(xué)時三．時間響應(yīng)分析8學(xué)時四．頻率特性分析8學(xué)時五．系統(tǒng)的穩(wěn)定性8學(xué)時六．系統(tǒng)的性能指標(biāo)與校正4

學(xué)時二、自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.0基本概念2.1系統(tǒng)的微分方程2.2Laplace

變換及系統(tǒng)傳遞函數(shù)2.3系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡化2.4反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.5相似原理

2.0基本概念1)建立數(shù)學(xué)模型的意義(1)可定性地了解系統(tǒng)的工作原理及其特性;(2)更能定量地描述系統(tǒng)的動態(tài)性能;(3)揭示系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動態(tài)性能之間的關(guān)系。2)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的形式（1）最基本形式是微分方程,它在時域中描述系統(tǒng)(或元件)動態(tài)特性；（2）傳遞函數(shù)形式，它極有利于對系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域及頻域進(jìn)行深入的研究、分析與綜合。3)數(shù)學(xué)模型的建立方法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型有兩種方法：分析法和實驗法,本章僅就分析法進(jìn)行討論。(1)分析法:根據(jù)系統(tǒng)和元件所遵循的有關(guān)定律來推導(dǎo)出數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而建立數(shù)學(xué)模型。(2)實驗法:對于復(fù)雜系統(tǒng)，需要通過實驗，并根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，擬合出比較接近實際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

4)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)定義：描述系統(tǒng)的輸入和輸出之間動態(tài)關(guān)系的微分方程，如2.0.1

如果系數(shù)均為常數(shù)，則式(2-1)為線性定常微分方程，簡稱常微分方程。相應(yīng)的動態(tài)系統(tǒng)稱為線性定常系統(tǒng)。大多數(shù)物理系統(tǒng)均屬于這一類，這是我們研究的重點。若是時間t的函數(shù)，則該方程為線性時變的，相應(yīng)的系統(tǒng)也稱為線性時變系統(tǒng)；例如，宇宙飛船控制系統(tǒng)便是一個時變系統(tǒng)，因為隨著宇宙飛船上燃料的消耗，飛船質(zhì)量發(fā)生變化，而且當(dāng)飛船遠(yuǎn)離地球后，重力也在發(fā)生變化。

若中有系數(shù)依賴于或它們的導(dǎo)函數(shù)，或者，在微分方程中出現(xiàn)t的其他函數(shù)形式，則該方程就是非線性的，相應(yīng)的系統(tǒng)也稱為非線性系統(tǒng)，下面模型是非線性的。線性及非線性這一特性并不隨系統(tǒng)的表示方法而改變，它是系統(tǒng)本身的固有特性。線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的根本區(qū)別在于：線性系統(tǒng)滿足疊加原理，而非線性系統(tǒng)則不滿足疊加原理。

線性化：為了分析研究非線性系統(tǒng)，在一定范圍內(nèi)將一些非線性因素忽略，近似地用線性數(shù)學(xué)模型來代替，這便是所謂數(shù)學(xué)模型的線性化。

本質(zhì)非線性系統(tǒng)：例如電氣系統(tǒng)中某些元件存在繼電特性、飽和、死區(qū)和磁滯等現(xiàn)象，只能采取非線性方法進(jìn)行分析與設(shè)計。這方面內(nèi)容，本課程不作要求。

2.1系統(tǒng)的微分方程一．用分析法（解析法）列寫微分方程的一般方法(1)確定系統(tǒng)或各元件的輸入、輸出變量。系統(tǒng)的給定輸入量或擾動輸入量都是系統(tǒng)的輸入量，而被控制量則是輸出量；(2)進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕?，忽略次要因素?3)從系統(tǒng)的輸入端開始，按照信號的傳遞順序，根據(jù)各變量所遵循的物理定理，列寫出在運動過程中的各個環(huán)節(jié)的動態(tài)微分方程；(4)消除中間變量，寫出只含有輸入、輸出變量的微分方程；(5)標(biāo)準(zhǔn)化。整理所得微分方程， 輸出量降冪排列＝輸入量降冪排列 一般將與輸出量有關(guān)的各項放在方程左側(cè)，與輸入量有關(guān)的各項放在方程的右側(cè)，各階導(dǎo)數(shù)項按降冪排列。

例1圖示為兩個形式相同的RC電路串聯(lián)而成的濾波網(wǎng)絡(luò)，試寫出以輸出電壓和輸入電壓為變量的濾波網(wǎng)絡(luò)的微分方程。

解：列寫系統(tǒng)微分方程輸入:電壓 輸出:電壓中間變量簡化(3)根據(jù)克希荷夫定律，可寫出下列原始方程式：1部件的數(shù)學(xué)模型電路分析的基本方法

----克希荷夫定律(1)克希荷夫第一定律(克希荷夫電流定律KCL)：

在電路任何時刻，對任一結(jié)點，所有支路電流的代數(shù)和恒等于零，即流出結(jié)點的取+號，流入結(jié)點的取-號。N為支路數(shù)。

(2)克希荷夫第二定律(克希荷夫電壓定律KVL)：

在電路任何時刻，沿任一回路，所有支路電壓的代數(shù)和恒等于零，即電壓的參考方向與指定的繞行方向一致的取+號，相反的取-號。N為支路數(shù)。

也寫為基爾霍夫定律

(4)消去中間變量

式（2.1.1）就是系統(tǒng)的微分方程。

注意雖然電路又兩個RC電路所組成，但不能把它看作兩個獨立的RC電路的連接。因為第二級電路的i2

要影響第一級電路的u1，列寫方程式應(yīng)考慮這個影響。這種后一級對前一級的影響叫做負(fù)載效應(yīng)。存在負(fù)載效應(yīng)時，必須把全部元件作為整體加以考慮。本例如果不考慮負(fù)載效應(yīng)時，有：第一級：第二級：消去中間變量得到：顯然與前面得到的結(jié)果不同。例2圖示為電樞控制式直流電機(jī)原理圖，設(shè)為電樞兩端的控制電壓，為電機(jī)旋轉(zhuǎn)角速度，為折合到電機(jī)軸上的總的負(fù)載力矩。當(dāng)激磁不變時，用電樞控制的情況下，為給定輸入，為干擾輸入，為輸出。系統(tǒng)中為電動機(jī)旋轉(zhuǎn)時電樞兩端的反電勢；為電動機(jī)的電樞電流；為電動機(jī)的電磁力矩。

(1)輸入變量為電壓；輸出變量為電機(jī)旋轉(zhuǎn)角速度;中間變量;(2)根據(jù)克希荷夫定律，電機(jī)電樞回路的方程為式中，L，R分別為電感與電阻。當(dāng)磁通固定不變時，與轉(zhuǎn)速成正比，即式中，為反電勢常數(shù)。這樣（2.1.5）式為根據(jù)剛體的轉(zhuǎn)動定律，電動機(jī)轉(zhuǎn)子的運動方程為(2.1.5)(2.1.6)(2.1.7)式中，J為轉(zhuǎn)動部分折合到電動機(jī)軸上的總的轉(zhuǎn)動慣量。當(dāng)激磁磁通固定不變時，電動機(jī)的電磁力矩與電樞電流成正比。即式中，km為電動機(jī)電磁力矩常數(shù)（3）消除中間變量將（2.1.8）式代入（2.1.7）式得上式略去了與轉(zhuǎn)速成正比的阻尼力矩。應(yīng)用（2.1.6）式和（2.1.9）式消去中間變量ia，可得令，則上式為

式（2.1.11）即為電樞控制式直流電動機(jī)的數(shù)學(xué)模型。由式可見，轉(zhuǎn)速ω既由ua控制，又受ML影響。(2.1.8)(2.1.9)

(2.1.10)

(2.1.11)二．微分方程的增量化表示前面從數(shù)學(xué)角度討論了系統(tǒng)的模型。下面是考慮工程實際進(jìn)一步討論模型。

(1)電動機(jī)處于平衡狀態(tài)，變量各階導(dǎo)數(shù)為零，微分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程：此時，對應(yīng)輸入輸出量可表示為：

則有這就是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)。

（2.1.12）

（2.1.13）（2）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)并不能長期穩(wěn)定，閉環(huán)控制系統(tǒng)的任務(wù)就是要系統(tǒng)工作在穩(wěn)態(tài)。當(dāng)輸入量發(fā)生變化時，輸出量相應(yīng)變化，輸入輸出量可以記為：則式（2.1.11）可記為：考慮到，上式可變?yōu)?/p>

2.14式的意義是：對于定值控制系統(tǒng)，總是工作在設(shè)定值即穩(wěn)態(tài)或平衡點附近，將變量的坐標(biāo)原點設(shè)在該平衡點，則微分方程轉(zhuǎn)換為增量方程，它同樣描述了系統(tǒng)的動態(tài)特性，但它由于不考慮初始條件，求解及分析時方便了許多。

(2.1.14)控制系統(tǒng)微分方程的建立

線性定常微分方程的求解

初值定理：終值定理:例：例：三．非線性微分方程的線性化某些非線性系統(tǒng)，可以在一定條件下，進(jìn)行線性化。圖2.1.3是一個液壓伺服系統(tǒng)，下面通過它討論線性化問題。

(1)輸入變量為閥心位移x；輸出變量為活塞位移y;中間變量

(2)按照液壓原理建立動力學(xué)方程負(fù)載動力學(xué)方程為流量連續(xù)性方程為

q與p一般為非線性關(guān)系

(2.1.15)

(2.1.16)(2.1.17)（3）線性化處理將(2.17)在工作點領(lǐng)域做泰勒展開，當(dāng)偏差很小時，可略去展開式的高階項，保留一次項，并取增量關(guān)系，有：式中則(2.18)可以寫成

當(dāng)系統(tǒng)在預(yù)定工作條件，，下工作即分別為q,x,p,故（2.1.19）可以寫為(2.1.18)

(2.1.19)

(2.1.20)

（4）消除中間變量由(2.20)可得

整理后可得線性化后的動力學(xué)方程為：(2.1.21)(2.1.22)圖2.1.4q,p,x三者線性關(guān)系

小偏差線性化時要注意以下幾點：（1）必須明確系統(tǒng)工作點，因為不同的工作點所得線性化方程的系數(shù)不同。本題中參數(shù)在預(yù)定工作點的值均為零

（2）如果變量在較大范圍內(nèi)變化，則用這種線性化方法建立的數(shù)學(xué)模型，在除工作點外的其它工況勢必有較大的誤差。所以非線性模型線性化是有條件的，即變量偏離預(yù)定工作點很小。（3）如果非線性函數(shù)是不連續(xù)的（即非線性特性是不連續(xù)的），則在不連續(xù)點附近不能得到收斂的泰勒級數(shù)，這時就不能線性化。（4）線性化后的微分方程是以增量為基礎(chǔ)的增量方程。

2.2系統(tǒng)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論最基本的數(shù)學(xué)工具。1.微分方程轉(zhuǎn)化傳統(tǒng)函數(shù)：將實數(shù)域中的微分、積分運算化為復(fù)數(shù)域中的代數(shù)運算，簡化了分析、設(shè)計中的計算工作量。2.傳統(tǒng)函數(shù)導(dǎo)出頻率特性：在頻域?qū)ο到y(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計.

一.

定義輸入、輸出的初始條件為零，線性定常系統(tǒng)（環(huán)節(jié)或元件）的輸出的Laplace變換與輸入的Laplace變換之比，稱為該系統(tǒng)（環(huán)節(jié)或元件）的傳遞函數(shù)G(S)。

數(shù)學(xué)說明：線性定常系統(tǒng)微分方程如下：

輸入、輸出的初始條件均為零時，作Laplace變換可得：

由定義可得：

將式（2.2.3）畫成方框圖，如圖2.2.1所示。

圖2.2.1系統(tǒng)框圖則：(2.2.4)(2.2.1)(2.2.2)(2.2.3)二.零點、極點和放大系數(shù)

G(s)因式分解：

K為常數(shù)當(dāng)時，均能使G（s）=0,故稱為G(s)的零點。當(dāng)時，均能使G（s）取極值：故稱為G(s)的極點

1.G(s)的分母系數(shù)與微分方程左邊系數(shù)是一致的，是系統(tǒng)的本質(zhì)參數(shù)；2.極點方程與微分方程的特征方程是一致的，極點即微分方程的特征根；3.當(dāng)系統(tǒng)輸入信號一定時，系統(tǒng)的零、極點決定著系統(tǒng)的動態(tài)性能。

放大系數(shù)是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時輸出與輸入之比。當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)由終值定理可求得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出為：

G(0)分別由定義及分解式得：

放大系數(shù)為G(0)

，它由微分方程的常數(shù)項決定。

系統(tǒng)響應(yīng)：已知輸入的情況下，可由微分方程求解；可由傳遞函數(shù)求出輸出的拉氏變換，再進(jìn)行拉氏反變換求得。三．典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)：比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)，振蕩環(huán)節(jié)和延時環(huán)節(jié)。系統(tǒng)總可以分解為典型環(huán)節(jié)組成。下面介紹這些環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及其推導(dǎo)：

1．比例環(huán)節(jié)（或稱放大環(huán)節(jié)，無慣性環(huán)節(jié)，零階環(huán)節(jié)）輸出不失真也不延遲而按比例反映輸入的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié)，其動力學(xué)方程為：K為環(huán)節(jié)的放大系數(shù)或增益。其傳遞函數(shù)為：（2.2.5）

2、慣性環(huán)節(jié)（或一階慣性環(huán)節(jié)）

動力學(xué)方程為一階微分方程的環(huán)節(jié)為慣性環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為：式中，K為放大系數(shù)；T為慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù)，慣性環(huán)節(jié)的方框圖如圖2.2.4所示。（2.2.6）

圖2.2.4慣性環(huán)節(jié)3．微分環(huán)節(jié)

具有輸出正比于輸入的微分，即具有的環(huán)節(jié)稱為微分環(huán)節(jié)，顯然，其傳遞函數(shù)為：式中，T為微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，微分環(huán)節(jié)的方框圖如圖2.2.7所示（2.2.7）圖2.2.7微分環(huán)節(jié)4、積分環(huán)節(jié)

具有輸出正比于輸入對時間的積分，即具有的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)，顯然，其傳遞函數(shù)為：式中，T為積分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，積分環(huán)節(jié)的方框圖如圖2.3.13所示。圖2.2.13積分環(huán)節(jié)（2.2.8）

5、振蕩環(huán)節(jié)（或稱二階振蕩環(huán)節(jié)）

振蕩環(huán)節(jié)是二階環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為：或?qū)懗?/p>

為無阻尼固有頻率；T為振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，為阻尼比。方框圖見圖2.2.17。

階躍輸入時，輸出有兩種情況：

（1）當(dāng)0≤ξ<1時，輸出為一振蕩過程，即為振蕩環(huán)節(jié)；（2）當(dāng)ξ≥1時，輸出為一指數(shù)上升曲線而不振蕩，最后達(dá)到常值輸出。此時，二階環(huán)節(jié)不是振蕩環(huán)節(jié)，而是兩個一階慣性環(huán)節(jié)的組合。當(dāng)T很小，ξ較大時，由式（2.2.10），可知可忽略不計，故分母變?yōu)橐浑A，二階環(huán)節(jié)近似為慣性環(huán)節(jié)。圖2.2.176、延時環(huán)節(jié)（或稱遲延環(huán)節(jié)）

延時環(huán)節(jié)是輸出滯后輸入時間，但不失真地反映輸入的環(huán)節(jié)。一般與其他環(huán)節(jié)同時共存，不單獨存在。延時環(huán)節(jié)的輸入與輸出之間有如下關(guān)系（τ為延遲時間）：

延時環(huán)節(jié)是線性環(huán)節(jié)：設(shè)延時作用相當(dāng)于算子A，即通過算子A的作用而變?yōu)椋矗?/p>

從而有：

這表明算子A符合疊加原理是線性的，即延時環(huán)節(jié)是線性環(huán)節(jié)。

（2.2.11）延時環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：

延時環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)區(qū)別：慣性環(huán)節(jié)的輸出需要延遲一段時間才接近于所要求的輸出量，但它從輸入開始時刻起就已有了輸出；延時環(huán)節(jié)在輸入開始之后，延時時間內(nèi)并無輸出，延時時間之后，輸出就完全等于輸入；簡言之，輸出等于輸入，只是在時間上延時了一段時間間隔。(2.2.12)

2.3系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡化一.傳遞函數(shù)方框圖一個系統(tǒng)可由若干個環(huán)節(jié)組成，將這些環(huán)節(jié)以方框表示，其間用相應(yīng)的變量聯(lián)系起來，就構(gòu)成系統(tǒng)的方框圖。它是系統(tǒng)的一種圖解表示方法。如圖2.3.1所示。方框圖表示有如下優(yōu)點：（1）可以形象地表示系統(tǒng)的內(nèi)部情況及各環(huán)節(jié)、各變量之間的關(guān)系；（2）可以由局部環(huán)節(jié)的方框聯(lián)成整個系統(tǒng)的方框圖，再將方框圖簡化，就易于寫出整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；（3）可以揭示和評價每個環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的影響。1.方框圖結(jié)構(gòu)要素

(1)函數(shù)方框

函數(shù)方框是傳遞函數(shù)的圖解表示，。方框中表示的是該輸入輸出之間的環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。所以，方框的輸出應(yīng)是方框中的傳遞函數(shù)乘以其輸入，即

(2)相加點

相加點是信號之間代數(shù)求和運算的圖解表示，如圖2．3．2所示。

1.相加點處，輸出信號(離開相加點的箭頭表示)等于各輸入信號(指向相加點的箭頭表示)的代數(shù)和；2.“十”號或“一”號表示該輸入信號代數(shù)運算中的符號；3.在相加點處加減的信號必須是同種變量，且量綱相同；4.相加點可以有多個輸入，但輸出是唯一的。

(3)分支點分支點表示同一信號向不同方向的傳遞，如圖2．3．3所示，在分支點引出的信號：量綱相同，數(shù)值相等.2.方框圖的建立

建立系統(tǒng)方框圖的步驟：

(1)建立系統(tǒng)(或元件)的原始微分方程；

(2)對微分方程進(jìn)行Laplace變換，并根據(jù)各Laplace變換式中的因果關(guān)系，繪出相應(yīng)的方框圖；

(3)按照信號在系統(tǒng)中傳遞或變換的過程，依次將各傳遞函數(shù)方框圖連接起來(同一變量的信號通路連接在一起)，系統(tǒng)輸入量置于左端，輸出量置于右端。二.傳遞函數(shù)方框圖的等效變換

實際自動控制系統(tǒng)：通常用多回路的方框圖表示，如大環(huán)回路套小環(huán)回路，其方框圖甚為復(fù)雜。為便于分析和計算，可基于下述的等效原則對方框圖加以簡化。1．串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換規(guī)則串聯(lián)：前一環(huán)節(jié)的輸出為后一環(huán)節(jié)的輸入的聯(lián)接方式稱為環(huán)節(jié)的串聯(lián)，如圖2．3．8所示。串聯(lián)后的傳遞函數(shù)為：故環(huán)節(jié)串聯(lián)時等效傳遞函數(shù)等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積

2.并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換規(guī)則各環(huán)節(jié)的輸入相同，輸出為各環(huán)節(jié)輸出的代數(shù)和，這種聯(lián)接方式稱為環(huán)節(jié)的并聯(lián)，如圖2.3.9所示。則有環(huán)節(jié)并聯(lián)時等效傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之和3．方框圖的反饋聯(lián)接及其等效規(guī)則

如下圖所示稱為反饋聯(lián)接，它也是閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖的最基本形式。單輸入作用的閉環(huán)系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)方框圖總可以簡化成圖2．3．10所示的基本形式。

圖2．3．10中，稱為前向通道傳遞函數(shù)，它是輸出與偏差之比，即稱為反饋回路傳遞函數(shù)，即

前向通道傳遞函數(shù)與反饋回路傳遞函數(shù)之乘積定義為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),它也是反饋信號與偏差之比，即（2.3.1）

（2.3.2）（2.3.3）輸出信號與輸入信號又之比，定義為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，即

可以推出:對于負(fù)反饋系統(tǒng)若反饋回路傳遞函數(shù)H(S)=1,稱為單位反饋。此時有

（2.3.4）

（2.3.5）（2.3.6）4．分支點移動規(guī)則

若分支點由方框之后移到該方框之前，為了保持移動后分支信號不變，應(yīng)在分支路上串人具有相同傳遞函數(shù)的方框，如圖2．3．11(a)所示。

若分支點由方框之前移到該方框之后，為了保持移動后分支信號X3不變，應(yīng)在分支路上串人具有相同傳遞函數(shù)的倒數(shù)的方框，如圖2．3．1l(b)所示。5．相加點移動規(guī)則

若相加點由方框之前移到該方框之后，為了保持總的輸出信號X3不變，應(yīng)在移動的支路上串入具有相同傳遞函數(shù)的方框，如圖2．3．1l(c)所示。

若相加點由方框之后移到該方框之前，應(yīng)在移動的支路上串入具有相同傳遞函數(shù)的倒數(shù)的方框，如圖2．3．1l(d)所示。6．分支點之間、相加點之間相互移動規(guī)則

分支點、相加點間的相互移動，均不改變原有的數(shù)學(xué)關(guān)系，因此，可以相互移動，如圖2．3．12(a)、(b)。但分支點相加點之間不能直接移動，因為它們并不等效。7．交換相加點和分支點

分支點與相加點間的相互移動，為了保持總的輸出信號不變，每條分支均要考慮相加點。化簡的方法主要是通過移動分支點或相加點，消除交叉聯(lián)接，使其成為獨立的小回路，以便用串、并聯(lián)和反饋聯(lián)接的等效規(guī)則進(jìn)一步化簡，一般應(yīng)先解內(nèi)回路，再逐步向外回路，一環(huán)環(huán)簡化，最后求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。例：如圖2．3．13所示，應(yīng)用上述規(guī)則來簡化一個三環(huán)回路的方框圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。圖2.3.13(a)

化簡過程可按如下步驟進(jìn)行：

(1)由(a)相加點前移得（b）;

圖2.3.13(b)

(2)將（b）中，中間小環(huán)回路化為單一向前傳遞函數(shù),得（c）；圖2.3.13(c)

(3)再消去(c)中第二個閉環(huán)回路，使之成為單位反饋的單環(huán)回路，得(d)；圖2.3.13(d)

(4)去掉（d）中單位反饋回路，得到單一向前傳遞函數(shù)，即原系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。圖2.3.13(e)方框圖的等效變換及簡化途徑不是唯一的

除了簡化求解系統(tǒng)傳遞函數(shù)，含有多個局部反饋的閉環(huán)傳遞函數(shù)，還可直接用梅遜增益公式求解：括號內(nèi)每一項的符號是這樣決定的：在相加點處，反饋信號為“相加”時取負(fù)號；反饋信號為“相減”時取正號。

(2.3.7)

依此可直接由(a)作出（e），要特別注意，在應(yīng)用式（2.3.7）時，必須要具備以下兩個條件：（1）整個方框圖只有一條前向通道；（2）各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方框。如圖2.3.14（a）中，系統(tǒng)有兩個獨立的局部反饋回路，其間沒有公共的方框。不能若直接用式（2.3.7），應(yīng)先將兩局部反饋回路分別簡化成兩個方框，然后，將此兩方框串聯(lián)，得傳遞函數(shù)在圖2.3.14（b）中，系統(tǒng)的兩個反饋回路間有公共的傳遞函數(shù)方框，因此，可直接用式(2.3.7)得出傳遞函數(shù)：若系統(tǒng)不能滿足使用式（2.3.7）的兩個條件，可先將其方框圖化成滿足使用條件的形式，然后，再應(yīng)用式（2.3.7）求出閉環(huán)傳遞函數(shù)。

2．4反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

控制系統(tǒng)一般會受到兩類輸人作用，一類是有用輸入，或稱給定輸入、參考輸入以及理想輸入等；另一類則是擾動，或稱干擾。給定輸入通常加在控制裝置的輸人端，也就是系統(tǒng)的輸入端；而干擾一般作用在被控對象上。為了消除干擾對系統(tǒng)輸出的影響，一般采用反饋控制的方式，將系統(tǒng)設(shè)計成閉環(huán)系統(tǒng)。典型結(jié)構(gòu)可用圖2.4.1(a)所示的方框圖表示。圖2.4.1(a)反饋控制系統(tǒng)的典型框圖

應(yīng)用疊加原理可分別求出在輸入信號和由擾動作用時，反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即閉環(huán)傳遞函數(shù)。

輸入信號作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)