概率與數(shù)理統(tǒng)計2-1

第二章隨機變量及其分布第一節(jié)隨機變量及其分布

一、隨機變量的概念與分類在實際問題中，隨機試驗的結果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念.(1)、有些試驗結果本身與數(shù)值有關（本身就是一個數(shù)）.

例如:擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)X；七月份桂林的最低與最高溫度(X,Y)每天從天津站下火車的人數(shù)N；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)N；每天進入某超市的顧客數(shù)X;購買商品的件數(shù)Y;顧客排隊等候付款的時間T等等.(2)、在有些試驗中，試驗結果看起來與數(shù)值無關，但我們可以引進一個變量來表示它的各種結果.也就是說，把試驗結果數(shù)值化.如檢測一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個結果,可以用一個離散變量來描述想一想,檢測三件產(chǎn)品時,若X＝“三件產(chǎn)品中的次品數(shù)”,X與樣本點之間的關系、取值時表示的事件及各取值時的概率如何?正如裁判員在運動場上不叫運動員的名字而叫號碼一樣，二者建立了一種對應關系.

Problem:這種實值函數(shù)與數(shù)學分析中的函數(shù)一樣嗎？這種對應關系在數(shù)學上理解為定義了一種實值函數(shù).ω.X(ω)R這種對應關系在數(shù)學上理解為定義了一種實值函數(shù).ω.X(ω)R①它是試驗結果ω的函數(shù)，故X(ω)的定義域為樣本空間Ω.又由于ω的隨機性，因此每次試驗前不能預先肯定X(ω)將取哪個值，而只能知道它的取值范圍.②由于試驗結果ω的出現(xiàn)具有一定的概率，于是X(ω)取每個值或每個確定范圍內的值也有一定的概率.設是試驗E的樣本空間,若則稱

X()為上的隨機變量r.v.一般用大寫字母X,Y,Z,表示1、定義按一定法則簡記為r.v.X(randomvariable)而表示隨機變量所取的值時,一般采用小寫字母x,y,z等表示.引入隨機變量后，能否直接用實數(shù)表示隨機事件？{

X

=

1

}表示事件{

點數(shù)為

1}，例，擲骰子試驗中，{

X

<

4

}表示事件{

點數(shù)不超過

3}，用隨機變量的取值或取值范圍來表示隨機事件再如，明年七月份桂林的最高溫度；{

35<

T42}表示事件{

最高溫度大于350，但不超過420}例如，從某一學校隨機選一學生，測量他的身高.我們可以把可能的身高看作隨機變量

X

,然后我們可以提出關于X的各種問題.如

P(X

>

1.7

)=？P(X

≤1.5

)=?P(1.5<X<1.7)

=?注：隨機變量的引入，可簡化事件的表達.對事件的研究，就轉化為對隨機變量的研究.也可以說,隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象,而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點,在試驗之前只知道

X

可能取值的范圍，而不能預先肯定它將取哪個值.它的取值與試驗結果形成對應，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對單個事件及其概率的研究擴大為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究.隨機事件這個概念實際上是包容在隨機變量這個更廣的概念內.隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機變量后，隨機試驗中的任一隨機事件就可以通過隨機變量的取值關系式表達出來，

(1)

隨機變量

X

是定義在樣本空間上的實值函數(shù)，

(2)由于試驗結果的出現(xiàn)具有一定的概率，引入隨機變量的意義?

X

的取值情況;

它取值的概率的分布情況.

隨著實驗結果的不同而取不同的值，就象數(shù)學分析中常量與變量的區(qū)別那樣.以函數(shù)為工具研究隨機事件的概率規(guī)律通過將隨機事件數(shù)值化轉化為研究隨機變量取值的概率規(guī)律

使概率可轉化為我們所熟知的函數(shù)形式

分析工具有了用武之地如何使概率問題轉化為實變量的函數(shù)形式？

所以隨機變量取每個值和每個確定范圍內的值也有一定的概率.如何把握一個隨機變量

X?

P

PPP我們研究的對象是的概率如何入手將概率問題轉化為實變量的函數(shù)形式？(

X

=

x

),(

X

x

),(

X

>

x

),

(

x1

X

x2

),…我們研究的對象是隨機事件的概率隨機變量的取值或取值范圍由此引進了分布函數(shù)的概念：能否選用一個事件將所有事件都表達出來？

(

X

x

)

A

(

X

x

)

X()P(

)

P本質是什么？

P

這種選擇并不是唯一的

函數(shù)變量？

將X看作數(shù)軸上隨機點的坐標，分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間(-,x]的概率.二、隨機變量的分布函數(shù)1.定義2.1.2設X是隨機變量，為X的分布函數(shù).在上式中

X,x

皆為變量，二者有什么區(qū)別？X是隨機變量，x是自變量.

xF

(

x

)

起什么作用？稱隨機點落在任意區(qū)間(a,

b

]的概率分布函數(shù)是一個普通的函數(shù),通過它,我們就可以用分析的工具來研究隨機變量的取值規(guī)律特殊形式事件的概率請看下例：分布函數(shù)是對各類隨機變量以及其概率問題的一個統(tǒng)一的描述方法.P

P

P解

求X的分布函數(shù)

F(x)和概率P(0<

X

1),

P(X

>

2).

當x

<

0

時，故X的分布函數(shù)為=P()=0，當0

x

<

1時，=P(X

=

0)=1/2，當x

1

時，=P({X

=

1}∪{X

=0})=P(X

=

1)+

P(X

=0)

=1.P(0

<

X

1)P(X

>

2)=F(1)-F(0)=1–1/2

=1-

F(2)=1-1=0.且1/2；

.0

1X

F。1

.

。1/2擲一枚質地均勻的硬幣,觀察出現(xiàn)的是正面還是反面,例注意到X的所有可能取值為

0

和

1，.

.

0

1

xF(x)=P(X

x)]x

F(x)=P(X

x)F(x)=P(X

x)2、分布函數(shù)的性質(1)(單調性)F(x)單調不減，即且(3)(右連續(xù)性)

F(x)是右連續(xù)函數(shù),即對任意的x有(2)(有界性)

注:可以證明F(x)為某一隨機變量的分布函數(shù)的充要條件是F(x)具有以上三個性質.3、用分布函數(shù)計算概率的公式特別地,若F(x)在某點x=a連續(xù)時,有請?zhí)羁兆?由于X的分布函數(shù)刻畫了X取值的概率規(guī)律，因此常說X服從F(x),記為X~F(x)

例3如下的反正切函數(shù)滿足分布函數(shù)的三個性質,故為某個隨機變量的分布函數(shù),稱之為柯西(Cauchy)分布函數(shù).若r.v.X服從柯西分布,求例4已知X的分布函數(shù)為求常數(shù)A和P(X≤0)及P(0<X≤2).2、隨機變量的分類

通常分為兩類：如“取到次品的個數(shù)”;“110每天收到的呼叫次數(shù)”等.隨機變量離散型隨機變量所有取值可以逐個一一列舉例如，“電視機的壽命”;實際中常遇到的“測量誤差”等.全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個區(qū)間.非離散型隨機變量

其中一種重要的類型為連續(xù)型隨機變量.

三、離散型隨機變量及其分布列

1、定義設離散型隨機變量X所有可能取值為，稱

為離散型隨機變量X的概率分布列或分布列（分布律）.記為注:離散型隨機變量的分布列也被稱做分布一般地,離散型隨機變量的分布列用以下方法表示或（2）列表法：P(1）公式法：2、表示方法

從盒中任取3個球取到的白球數(shù)X是一個隨機變量X可能取的值是0,1,2X取每個值的概率為例所以X的分布列為（1）列表法：(2）公式法~則(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）注:這兩條性質是判斷某個數(shù)列是否是一個概率分布列的充要條件3、分布列的基本性質設離散型隨機變量X的分布列為非負性正則性P59一批產(chǎn)品的次品率為p,現(xiàn)檢測三件產(chǎn)品,若X=“三個產(chǎn)品中的次品數(shù)”,試寫出X的概率分布.解:依據(jù)概率分布的性質:P(X=k)≥0,

a≥0從中解得欲使上述函數(shù)為概率分布應有例6.設隨機變量X的概率分布為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.4、分布列與分布函數(shù)的關系其中

相鄰。設離散型隨機變量X的分布列為則

從盒中任取3個球取到的白球數(shù)X是一個隨機變量X可能取的值是0,1,2前面例，由例5（1）,X的分布列為~求X的分布函數(shù)F(x),并求注:離散型r.v.X的分布函數(shù)的圖形為右連續(xù)的階梯形.在X的可能取值處發(fā)生間斷,間斷點為第一類跳躍間斷點,在間斷點處有躍度pk

.

離散型r.v.分布函數(shù)F(x)是一個右連續(xù)的階梯函數(shù),在x=xk(k=1,2…)處有跳躍值pk=P{X=xk},如下圖連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間,對這種類型的隨機變量,不能象離散型隨機變量那樣,以指定它取每個值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述方法.設X是隨機變量,若存在一個非負可積函數(shù)p(x),使得其中F(x)是它的分布函數(shù)則稱X是連續(xù)型r.v.

，p(x)是它的概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)（或密度）,記為1、定義四、連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)引入直方圖和概率密度函數(shù)即分布函數(shù)是密度函數(shù)的積分上限函數(shù).它描述的是r.v.X落入的概率,是圖形中陰影部分的面積.注:若X是連續(xù)型r.v.，X

～

p(x),則

F(x)=P(Xx)=2、求密度的公式例如，r.v.X服從柯西分布,則分布函數(shù)為密度函數(shù)x在F(x)的連續(xù)可導點，3、概率密度函數(shù)的性質(1)(2)這兩條性質是判定一個函數(shù)p(x)是否為某r.vX的概率密度函數(shù)的充要條件

p(x)xo面積為1非負性正則性

注:密度函數(shù)p(x)在某點處a的高度，并不反映X取a值的概率.而反映了概率集中在該點附近的程度.4、連續(xù)型r.v.的兩個重要性質(1)對于連續(xù)型r.v.X,P(X=a)=0,即