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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)()的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.2.已知橢圓內(nèi)有一條以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦,則直線的方程為()A. B.C. D.3.盒子中有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7的7個(gè)相同的球,從中任取3個(gè)編號(hào)不同的球,則取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率是()A. B. C. D.4.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中,存在兩項(xiàng),使得,,則的最小值是()A. B. C. D.5.定義,已知函數(shù),,則函數(shù)的最小值為()A. B. C. D.6.已知函數(shù),若方程恰有兩個(gè)不同實(shí)根,則正數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.7.如圖,在中,點(diǎn)是的中點(diǎn),過點(diǎn)的直線分別交直線,于不同的兩點(diǎn),若,,則()A.1 B. C.2 D.38.已知將函數(shù)(,)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,若和的圖象都關(guān)于對(duì)稱,則的值為()A.2 B.3 C.4 D.9.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,若依次成等差數(shù)列,則()A.依次成等差數(shù)列 B.依次成等差數(shù)列C.依次成等差數(shù)列 D.依次成等差數(shù)列10.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.11.對(duì)某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)(單位:分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到折線圖,下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)分析.①甲同學(xué)的成績(jī)折線圖具有較好的對(duì)稱性,故平均成績(jī)?yōu)?30分;②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間110,120內(nèi);③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān);④乙同學(xué)連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)成績(jī)每一次均有明顯進(jìn)步.其中正確的個(gè)數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.112.函數(shù)在上為增函數(shù),則的值可以是()A.0 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知角的終邊過點(diǎn),則______.14.西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個(gè)特例:勾三,股四,弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù),則這3個(gè)數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的概率為__________.15.在中,,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),則__________,________.16.已知集合,則_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且.(1)求角的大小(2)若,△的面積,求△的周長(zhǎng).18.(12分)已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù),它們的前項(xiàng)和分別為,且,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)求;(3)是否存在正整數(shù),使得恰好是數(shù)列或中的項(xiàng)?若存在,求出所有滿足條件的的值;若不存在,說明理由.19.(12分)如圖,四邊形中,,,,沿對(duì)角線將翻折成,使得.(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.21.(12分)已知?jiǎng)訄A經(jīng)過點(diǎn),且動(dòng)圓被軸截得的弦長(zhǎng)為,記圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,,為圓與曲線的公共點(diǎn),若直線的斜率,且,求的值.22.(10分)在中,.(Ⅰ)求角的大??;(Ⅱ)若,,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
對(duì)x分類討論,去掉絕對(duì)值,即可作出圖象.【詳解】故選C.【點(diǎn)睛】識(shí)圖常用的方法(1)定性分析法:通過對(duì)問題進(jìn)行定性的分析,從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢(shì),利用這一特征分析解決問題;(2)定量計(jì)算法:通過定量的計(jì)算來分析解決問題;(3)函數(shù)模型法:由所提供的圖象特征,聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型,利用這一函數(shù)模型來分析解決問題.2.C【解析】
設(shè),,則,,相減得到,解得答案.【詳解】設(shè),,設(shè)直線斜率為,則,,相減得到:,的中點(diǎn)為,即,故,直線的方程為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)點(diǎn)差法求直線方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.3.B【解析】
由題意,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有,所有的情況有種,由古典概型的概率公式即得解.【詳解】由題意,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有,所有的情況有種由古典概型,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率為:故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合在古典概型中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.4.C【解析】
由已知求出等比數(shù)列的公比,進(jìn)而求出,嘗試用基本不等式,但取不到等號(hào),所以考慮直接取的值代入比較即可.【詳解】,,或(舍).,,.當(dāng),時(shí);當(dāng),時(shí);當(dāng),時(shí),,所以最小值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算及最小值,屬于基礎(chǔ)題.5.A【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的定義得,,則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式,可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得,,則,(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)“”成立.此時(shí),,,的最小值為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求分段函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出,再由基本不等式求得最值,屬于中檔題.6.D【解析】
當(dāng)時(shí),函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示,方程兩個(gè)不同實(shí)根,即函數(shù)和有圖像兩個(gè)交點(diǎn),計(jì)算,,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,故函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:方程,即,即函數(shù)和有兩個(gè)交點(diǎn).,,故,,,,.根據(jù)圖像知:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題,確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.7.C【解析】
連接AO,因?yàn)镺為BC中點(diǎn),可由平行四邊形法則得,再將其用,表示.由M、O、N三點(diǎn)共線可知,其表達(dá)式中的系數(shù)和,即可求出的值.【詳解】連接AO,由O為BC中點(diǎn)可得,,、、三點(diǎn)共線,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算,由三點(diǎn)共線求參數(shù)的問題,熟記向量的共線定理是關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.8.B【解析】
因?yàn)閷⒑瘮?shù)(,)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,可得,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】將函數(shù)(,)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,又和的圖象都關(guān)于對(duì)稱,由,得,,即,又,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象平移和根據(jù)圖象對(duì)稱求參數(shù),解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)圖象平移的解法和正弦函數(shù)圖象的特征,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】
由等差數(shù)列的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和的正弦公式可得,由正弦定理可得,再由余弦定理可得,從而可得結(jié)果.【詳解】依次成等差數(shù)列,,正弦定理得,由余弦定理得,,即依次成等差數(shù)列,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義、正弦定理、余弦定理,屬于難題.解三角形時(shí),有時(shí)可用正弦定理,有時(shí)也可用余弦定理,應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷.如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí),則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時(shí),則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.10.A【解析】
根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱,根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱,直觀圖如圖所示:其中,底面為直角三角形,,,高為.∴該幾何體的體積為故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及棱柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.11.C【解析】
利用圖形,判斷折線圖平均分以及線性相關(guān)性,成績(jī)的比較,說明正誤即可.【詳解】①甲同學(xué)的成績(jī)折線圖具有較好的對(duì)稱性,最高130分,平均成績(jī)?yōu)榈陀?30分,①錯(cuò)誤;②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間[110,120]內(nèi),②正確;③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān),③正確;④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)中第四次、第七次成績(jī)較上一次成績(jī)有退步,故④不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查折線圖的應(yīng)用,線性相關(guān)以及平均分的求解,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】
依次將選項(xiàng)中的代入,結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),在上不單調(diào),故A不正確;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,故B不正確;當(dāng)時(shí),在上不單調(diào),故C不正確;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,故D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性,涉及到誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,是一道容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和差正弦公式,求得的值.【詳解】解:∵角的終邊過點(diǎn),∴,,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和差正弦公式,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
由組合數(shù)結(jié)合古典概型求解即可【詳解】從11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)有種不同的方法,其中能構(gòu)成勾股數(shù)的有共三種,所以,所求概率為.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查古典概型與數(shù)學(xué)文化,考查組合問題,數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).15.2【解析】
根據(jù)正弦定理直接求出,利用三角形的邊表示向量,然后利用向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】中,,,可得因?yàn)辄c(diǎn)是邊的中點(diǎn),所以故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的解法,向量的數(shù)量積的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.16.【解析】
由可得集合是奇數(shù)集,由此可以得出結(jié)果.【詳解】解:因?yàn)樗约现械脑貫槠鏀?shù),所以.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集,解析出集合B中元素的性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(I);(II).【解析】
試題分析:(I)由已知可得;(II)依題意得:的周長(zhǎng)為.試題解析:(I)∵,∴.∴,∴,∴,∴,∴.(II)依題意得:∴,∴,∴,∴,∴的周長(zhǎng)為.考點(diǎn):1、解三角形;2、三角恒等變換.18.(1);(2);(3)存在,1.【解析】
(1)利用基本量法直接計(jì)算即可;(2)利用錯(cuò)位相減法計(jì)算;(3),令可得,,討論即可.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公差為,數(shù)列的公比為,因?yàn)?,所以,即,解得,或(舍去?所以.(2),,所以,所以.(3)由(1)可得,,所以.因?yàn)槭菙?shù)列或中的一項(xiàng),所以,所以,因?yàn)?,所以,又,則或.當(dāng)時(shí),有,即,令.則.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,即.由,知無(wú)整數(shù)解.當(dāng)時(shí),有,即存在使得是數(shù)列中的第2項(xiàng),故存在正整數(shù),使得是數(shù)列中的項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用,涉及到等差、等比數(shù)列的通項(xiàng),錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,數(shù)列中的存在性問題,是一道較為綜合的題.19.(1)見證明;(2)【解析】
(1)取的中點(diǎn),連.可證得,,于是可得平面,進(jìn)而可得結(jié)論成立.(2)運(yùn)用幾何法或向量法求解可得所求角的正弦值.【詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連.∵,∴.又,∴.在中,,∴.又,∴平面,又平面,∴.(2)解法1:取的中點(diǎn),連結(jié),∵,∴,又,∴.又由題意得為等邊三角形,∴,∵,∴平面.作,則有平面,∴就是直線與平面所成的角.設(shè),則,在等邊中,.又在中,,故.在中,由余弦定理得,∴,∴直線與平面所成角的正弦值為.解法2:由題意可得,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則在直角三角形中,可得,作于,則有平面幾何知識(shí)可得,∴.又可得,.∴,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由,得,令,則得.又,設(shè)直線與平面所成的角為,則.所以直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】利用向量法求解直線和平面所成角時(shí),關(guān)鍵點(diǎn)是恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系,確定斜線的方向向量和平面的法向量.解題時(shí)通過平面的法向量和直線的方向向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角,取其余角就是斜線與平面所成的角.求解時(shí)注意向量的夾角與線面角間的關(guān)系.20.(1);(2)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【解析】
(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.(2)易得函數(shù)定義域是,且.故分,和與四種情況,分別分析得極值點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)而求得原函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,則切線的斜率為.又,則曲線在點(diǎn)的切線方程是,即.(2)的定義域是..①當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;②當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)和時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;③當(dāng)時(shí),,所以在上恒成立.所以在上單調(diào)遞增;④當(dāng)時(shí),,所以和時(shí),;時(shí),.所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性討論,需要根據(jù)題意求函數(shù)的極值點(diǎn),再根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系分類討論即可.屬于??碱}.21.見解析【解析】
(1)設(shè),則點(diǎn)到軸的距離為,因?yàn)閳A被軸截得的弦長(zhǎng)為,所以,又,所以,化簡(jiǎn)可
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