2018屆廣東省廣州市數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)檢測(cè)試題27基本不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE8-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精基本不等式例1:求證.分析:此問(wèn)題的關(guān)鍵是“靈活運(yùn)用重要基本不等式，并能由這一特征，思索如何將進(jìn)行變形，進(jìn)行創(chuàng)造”。證明：∵，兩邊同加得，即；∴，同理可得：，,三式相加即得。例2：若正數(shù)、滿足，則的取值范圍是。解:∵,∴，令，得，∴，或（舍去）,∴，∴的取值范圍是。說(shuō)明：本題的常見(jiàn)錯(cuò)誤有二.一是沒(méi)有舍去；二是忘了還原，得出。前者和后者的問(wèn)題根源都是對(duì)的理解，前者忽視了后者錯(cuò)誤地將視為.因此，解題過(guò)程中若用換元法，一定要對(duì)所設(shè)“元”的取值范圍有所了解，并注意還原之。例3：已知，求證證明:∵，,，三式相加，得，即說(shuō)明：這是一個(gè)重要的不等式，要熟練掌握.例4：已知是互不相等的正數(shù)，求證:。證明：∵，∴同理可得:三個(gè)同向不等式相加,得①說(shuō)明：此題中互不相等，故應(yīng)用基本不等式時(shí)，等號(hào)不成立。特別地，,時(shí),所得不等式①仍不取等號(hào)。例5：（1）求的最大值.（2）求函數(shù)的最小值,并求出取得最小值時(shí)的值。(3）若，且,求的最小值.解：(1）即的最大值為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即，時(shí),取得此最大值。（2）∴的最小值為3，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)取得此最小值.（3)∴，即∵∴，即的最小值為2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得此最小值。例6:求函數(shù)的最值.分析：本例的各小題都可用最值定理求函數(shù)的最值，但是應(yīng)注意滿足相應(yīng)條件.如：，應(yīng)分別對(duì)兩種情況討論，如果忽視的條件,就會(huì)發(fā)生如下錯(cuò)誤：∵,解:當(dāng)時(shí)，，又，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，函數(shù)有最小值∴當(dāng)時(shí)，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)最小值∴例7：求函數(shù)的最值。分析：。但等號(hào)成立時(shí)，這是矛盾的！于是我們運(yùn)用函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增這一性質(zhì)，求函數(shù)的最值.解：設(shè),∴。當(dāng)時(shí),函數(shù)遞增，故原函數(shù)的最小值為，無(wú)最大值。例8：求函數(shù)的最小值.分析:用換元法，設(shè)，原函數(shù)變形為，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果?；蛴煤瘮?shù)方程思想求解。解：解法1：設(shè),故。由，得:,故:.∴函數(shù)為增函數(shù),從而.解法2：設(shè),知，可得關(guān)于的二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系，得：。又，故有一個(gè)根大于或等于2，設(shè)函數(shù)，則,即，故.說(shuō)明:本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解:.要知道，無(wú)實(shí)數(shù)解，即,所以原函數(shù)的最小值不是2。錯(cuò)誤原因是忽視了等號(hào)成立的條件.當(dāng)、為常數(shù)，且為定值，時(shí)，，不能直接求最大(小）值，可以利用恒等變形,當(dāng)之差最小時(shí)，再求原函數(shù)的最大（小)值。例9：求的最小值。分析：此題出現(xiàn)加的形式和平方，考慮利用重要不等式求最小值。解：由，得又得,即。故的最小值是。例10：已知：,求證:。分析：根據(jù)題設(shè),可想到利用重要不等式進(jìn)行證明。證明：同理：,，。說(shuō)明：證明本題易出現(xiàn)的思維障礙是：（1）想利用三元重要不等式解決問(wèn)題；（2）不會(huì)利用重要不等式的變式；（3）不熟練證明輪換對(duì)稱(chēng)不等式的常用方法。因此，在證明不等式時(shí)，應(yīng)根據(jù)求證式兩邊的結(jié)構(gòu)，合理地選擇重要不等式.另外，本題的證明方法在證輪換對(duì)稱(chēng)不等式時(shí)具有一定的普遍性。例11：已知,且，求的最大值.解法1:由，可得，。注意到.可得，。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，代入中得，故的最大值為18。解法2：，,代入中得：，解此不等式得.下面解法見(jiàn)解法1，下略。說(shuō)明:解法1的變形是具有通用效能的方法,值得注意：而解法2則是抓住了問(wèn)題的本質(zhì),所以解得更為簡(jiǎn)捷。例12：若，且，求證:。分析：不等式右邊的數(shù)字“8”使我們聯(lián)想到可能是左邊三個(gè)因式分別使用基本不等式所得三個(gè)“2”連乘而來(lái),而.證明：，又,，，，即。同理,，。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.說(shuō)明：本題巧妙利用的條件，同時(shí)要注意此不等式是關(guān)于的輪換式。

攀上山峰，