2.2 基本不等式 -(人教A版2019必修第一冊(cè)) (教師版)

基本不等式1基本不等式若a>0,b>0，則a+b≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立②基本不等式的幾何證明(當(dāng)點(diǎn)D、O重合，即a=b時(shí)，取到等號(hào)③運(yùn)用基本不等式求解最值時(shí)，牢記：一正，二定，三等.一正指的是a>0,b>0；二定指的是ab是個(gè)定值，三等指的是不等式中取到等號(hào).2基本不等式及其變形2(調(diào)和均值≤幾何均值≤算術(shù)均值≤平方均值)以上不等式把常見的二元關(guān)系(倒數(shù)和，乘積，和，平方和)聯(lián)系起來，我們要清楚它們?cè)谇笞钪抵械淖饔?①a+b≥2ab，3對(duì)勾函數(shù)①概念形如y=x+ax②圖像③性質(zhì)函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在第一象限中，當(dāng)0<x<a時(shí)，函數(shù)遞減，當(dāng)x>a④與基本不等式的關(guān)系由圖很明顯得知當(dāng)x>0時(shí)，x=a時(shí)取到最小值y其與基本不等式x+ax≥2x?【題型一】對(duì)基本不等式“一正，二定，三等”的理解情況1一正：a求函數(shù)y=x【誤解】x+1x【誤解分析】誤解中套用基本不等式，a=x,b=1x，當(dāng)忽略了【正解】∵x<0∴-x>0,-1∴-x+-1x≥2-x?-∴x+故函數(shù)y=x+1情況2二定：ab定值求函數(shù)y=x【誤解】y【誤解分析】套用基本不等式a=x,b=1x-1，滿足a、b【正解】y=x+1x-1(通過湊項(xiàng)得到定值“x-1?1故函數(shù)y=x+1情況3三等：取到等號(hào)求函數(shù)y=x2【誤解】y=x2+5【誤解分析】在誤解中把a(bǔ)=x2+4,b=1x2+4，滿足了“一正二定【正解】y=x2+5x2因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)y=t+1t在[2,+∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)t=2時(shí)，取得最小值故y=x2+5x【題型二】基本不等式運(yùn)用的常見方法方法1直接法【典題1】設(shè)x>0、y>0、z>0，則三個(gè)數(shù)1x+4y、1yA．都大于4 B．至少有一個(gè)大于4C．至少有一個(gè)不小于4 D．【解析】假設(shè)三個(gè)數(shù)1x+4y<4且1y相加得：1x由基本不等式得：1x+4x≥4；1y+4y≥4；1相加得：1x所以假設(shè)不成立，三個(gè)數(shù)1x+4y、1y+4z、故選：C．【點(diǎn)撥】本題利用了反證法求解，當(dāng)遇到“至少”“至多”等的字眼可考慮反證法：先假設(shè)，再推導(dǎo)得到矛盾從而證明假設(shè)不成立.【典題2】設(shè)x>0,y>0①(x+1x)(y+1y)≥4③x2+9x2+5≥4A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解析】∵x>0，y>0，∴x+1x≥2,y+1y≥2，當(dāng)x+y1x+1y=2+xx2+5+4xx+y+2xy≥2故正確的有三個(gè)，故選：C．【點(diǎn)撥】①直接使用基本不等式求解最值時(shí)，一是要做到“一正二定三等”，二是要選擇適當(dāng)?shù)氖阶映洚?dāng)"a,b".②連等問題本題中④x+y+2xy≥2這里連續(xù)用到基本不等式，這要注意連等問題，即要確定兩個(gè)等號(hào)是否能同時(shí)取到，x+y≥2xy是當(dāng)x=y時(shí)取到等號(hào)，2xy+即要同時(shí)滿足方程組x=yxy=1(*)才行，而方程組(*)有解即x+y+2xy≥4是成立的，當(dāng)再看一例子：設(shè)x,y∈R*,x+y=1，求誤解1：∵x+1x≥2,y+誤解2：∵x+以上兩種解法問題在哪里呢？【典題3】已知實(shí)數(shù)a，b滿足ab>0，則aa+b【解析】aa+b-aa+2b∵ab>0∴ab+∴1ab【點(diǎn)撥】要用基本不等式的直接法求解需要尋找“乘積為定值的兩個(gè)式子”，比如x與1x，ab與2ba，方法2湊項(xiàng)法【典題1】若x>1，則函數(shù)y=4x+1x-1的最小值為【解析】y=4x+1x-1=4∴函數(shù)y=4x+1x-1的最小值為【點(diǎn)撥】把4x湊項(xiàng)成4x-1，目的是使得4x-1與1【典題2】若x>1，則2x+9x+1+1x-1分析：2x、9x+1、1x-1，而它們的和剛好是2x，故想到令2x=(x+1)+【解析】2x+9當(dāng)且僅當(dāng)x+1=3，x－1=1，即(用了兩次基本不等式，要注意是否能同時(shí)取到等號(hào))故2x+9x+1+【典題3】設(shè)a>b>0，則ab+4b2+1b(a-b)【解析】∵a>b>0∴a-b>0；∴ab+4=ab-b2+1b(a-b)+b=b當(dāng)且即當(dāng)b(a-b)=1b(a-b)且b∴ab+4b2【點(diǎn)撥】湊項(xiàng)的目的是使得“ab為定值”，它需要一定的技巧！本題觀察到4b2、1b(a-b)方法3湊系數(shù)【典題1】若0<a<12，則a(1-2a)的最大值是【解析】∵0<a<12，∴a>0且則a1-2a當(dāng)且僅當(dāng)2a=1-2a,即a=14時(shí)等號(hào)成立，即a(1-2a)的最大值為【點(diǎn)撥】基本不等式的變形2a+1-2a=1【典題2】已知a,b為正數(shù)，4a2+b2=7，則a【解析】因?yàn)?a則a1+(這里用到了不等式ab≤a2當(dāng)且僅當(dāng)4a【點(diǎn)撥】①不等式ab≤a2+b22把a(bǔ)b，a②平時(shí)做題要多注意常見二元關(guān)系：倒數(shù)和、積、和、平方和，能夠靈活使用以下不等式能夠達(dá)到快速解題的效果.

2方法4巧“1”法【典題1】已知x>0，y>0，x+y=2，則x+y的最大值是【解析】∵x+1≥2x,y+1≥2y(當(dāng)(加“1”巧妙的把x與x，y與y聯(lián)系起來)相加得x+y+2≥2即2x+y【典題2】已知x>0，y>0，且2x+1y=2，則【解析】∵2xx+2y=(x+2y)?1當(dāng)且僅當(dāng)xy=4y故x+2y的最小值為4.【點(diǎn)撥】本題的方法很多，比如消元法、換元法等，但屬巧"1"法最簡潔了！【典題3】設(shè)a>2，b>0，若a+b=3，則1a-2+1b的最小值為【解析】若a+b=3，則(a-2)+b=1，(湊項(xiàng)再利用巧"1"法)則1a-2又由a>2,b>0，則ba-2+a-2則1a-2+1b=2+方法5換元法【典題1】若x>1，則y=x-1x2+x-1的最大值為【解析】令t=x-1，則x=t+1，t>0原式=t當(dāng)且僅當(dāng)t=1即x=2時(shí)等號(hào)成立.故y=x-1x【點(diǎn)撥】本題是屬于求函數(shù)y=a【典題1】若a,b∈R*，a+b=1，則a+12+b+1【解析】設(shè)s=a+12,t=則a=s∵a+b=1∴(這相當(dāng)已知s2+t2=2求s+t∴s+t即a+12+【點(diǎn)撥】①本題本來是“已知a+b=1求a+12+b+1“已知s2+t2=2求s+t的最大值(2)”.顯然問題(2)比問題(1)看起來更舒服些，故換元法就能把問題的表示形式轉(zhuǎn)化為令人你說a+1是的，它們的解法本質(zhì)是一樣的，換元法本質(zhì)是“整體思想”.用上換元法更容易找到解答思路.②本題還有其他的解法，可多思考體會(huì)下數(shù)學(xué)思維的魅力！【典題2】設(shè)a、b是正實(shí)數(shù)，且a+2b=2，則a2a+1【解析】令a+1=s，2b+1=t，則a=s-1，2b=t-1；由題意得s,t為正實(shí)數(shù)，且s-1+t-1=2?s+t=4；∴a(以上純是運(yùn)算，沒太大難度，作到這就相當(dāng)于“已知s+t=4，求1s+1t最小值”=1當(dāng)且僅當(dāng)s=t=2即a=1,b=1即a2a+1+【點(diǎn)撥】本題再次讓你體驗(yàn)到換元法能把問題轉(zhuǎn)化為更簡單的形式，本題是分母“換元”，“寧愿分子復(fù)雜些，也想分母簡單些”就這么樸素的想法！方法6不等式法【典題1】已知a,b∈(0,+∞)，且1+2ab=9a+b，則分析：1+2ab=9a+b相當(dāng)是“關(guān)于ab與a+b的方程”，而由基本不等式a+b≥2ab又確定了“關(guān)于ab與a+b的不等關(guān)系”，那用【解析】∵a,b∈(0,+∞)，∴a+b≥2ab由1+2ab=9a+b得ab=整理可得，a+b2解得1≤a+b≤8.【典題2】已知2a+b+2ab=3，a>0，b>0，則2a+b的取值范圍是.【解析】∵a>0，b>0，∴0<2ab≤(2a+b)2(這要確定2ab與2a+b的關(guān)系，想法與上題相似，利用2ab與2a+b的等式關(guān)系與不等關(guān)系最終得到關(guān)于2a+b的不等式而3∴0<3-(2a+b)≤(2a+b)∴2a+b的取值范圍是[2,3)．鞏固練習(xí)1(★★)已知a+b+c=2，則ab+bc+ca與2的比較．【答案】ab+bc+ca<2【解析】已知a+b+c=2，因?yàn)閍+b+c2=a所以3(ab+bc+ca)≤4，解得ab+bc+ca≤4所以ab+bc+ca的值小于2．2(★★)已知x，y∈R+，若x+y+xy=8，則xy的最大值為【答案】2【解析】∵正數(shù)x，y滿足x+y+xy=8，∴8－xy=x+y≥2解得0<xy故xy≤4，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)取等號(hào)．∴xy的最大值為(★★)若x，y∈R+，且3x+1y=5，則3x+4y【答案】5【解析】∵x，y∴3=13當(dāng)且僅當(dāng)xy=4yx，4(★★)函數(shù)y=x2+x-5x-2(x>2)【答案】7【解析】令x－2=t，y=f(x)=(當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即x=3時(shí)，等號(hào)成立)，故函數(shù)f(x)=x2+x-55(★★)已知實(shí)數(shù)a、b,ab>0，則aba2+b2+a【答案】16【解析】由于a2所以aba故：ab2ab+a2b2+4=6(★★)[多選題]下列說法正確的是()A．x+1x(x>0)的最小值是2C．x2+5x2+4的最小值是【答案】AB【解析】由基本不等式可知，x>0時(shí)，x+1x≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1xB：x2+2x2+2C：x2+5x2+4=x因?yàn)閥=t+1t在[2，+∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)t=2時(shí)，取得最小值5D：2-(3x+4x)在故選：AB．7(★★★)[多選題]設(shè)a>0，b>0，且a+2b=4，則下列結(jié)論正確的是()A．1a+1b的最小值為2 B．C．1a+2b的最小值為9【答案】BC【解析】因?yàn)閍>0，b>0，且a+2b=4，對(duì)于A，1a當(dāng)且僅當(dāng)a=42-4，對(duì)于B，2a當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=1時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，1a當(dāng)且僅當(dāng)a=43，對(duì)于D，當(dāng)a=43，b=43時(shí)，故選：BC．8(★★★)若實(shí)數(shù)m，n>0，滿足2m+n=1，以下選項(xiàng)中正確的有()A．mn的最小值為18 B．1m+C．2m+1+9n+2的最小值為5 D【答案】D【解析】∵實(shí)數(shù)m，n>0，∴整理得：mn≤18，當(dāng)且僅當(dāng)n=12m=∵1m+當(dāng)且僅當(dāng)m=2-22n=2∵2m+n=1，∴∴2=1當(dāng)且僅當(dāng)m=0n=1時(shí)取“=“∴2m+1+∵2m+n=1∴1=∴4m2+n2≥故選：D．9(★★★)已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=1，則2a2+1a+2b【答案】11【解析】正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=1，則2a當(dāng)且僅當(dāng)ba=4ab且a+b=1即10(★★★)若正數(shù)x、y滿足x+4y-xy=0，則4x+y的最大值為【答案】49【解析】∵正數(shù)x、y∴y=xx-4∴4當(dāng)且僅當(dāng)x－∴4x+y的最大值為11(★★★)已知0<a<1，則11-a+4a的最小值是【答案】9【解析】0<a<1，則=5+a12(★★★)已知a，b∈R，a+b=2，則1a2+1+1b【答案】2+1【解析】a，b∈則1=(a+b令t=ab－則4-2(ab-1)(ab-1令4－2t=s(s≥4)，即可得4-2tt由s+32當(dāng)且僅當(dāng)s=42，t=2可得4s+則1a2+113(★★★)若正數(shù)a，b滿足1a+1b=1，則aa-1【答案】9【解析】∵正數(shù)a，b滿足1a+1b=1a+1b=1∴(a－1)(b－1)=1∴a當(dāng)且僅當(dāng)1a-1=4(a－1)，即a=1±12時(shí)取“=”(由于∴aa-1+14(★★★★)已知實(shí)數(shù)a>0，b>－2，且滿足2a+b=1，則2a【答案】53【解析】∵實(shí)數(shù)a>0，b>－2，且滿足∴b+2>0，2a+(b+2)=3又∵2∴=－1+13(故答案為：53．15(★★★★)已知x>0，y>0，則2xyx2+8y2【答案】23【解析】2xy=3(令t=xy+當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào)，∵函數(shù)y=t+2t，在[4，∴y=t+2t∴y=t+∴3∴2