3.4 冪函數(shù)-(人教A版2019必修第一冊) (教師版)

冪函數(shù)1定義一般地，形如y=xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，2常見冪函數(shù)圖像3性質(zhì)①所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義，并且圖象都過點(1,1)；②α>0時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在[0,+∞)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)α>1時，冪函數(shù)變化快，圖象下凹；當(dāng)0<α<1時，冪函數(shù)變化慢，圖象上凸；③α<0時，冪函數(shù)的圖象在(0,+∞)上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+∞時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸．【典題1】已知冪函數(shù)f(x)過點(2,22)則A．f(x)=x-12，且在(0,+∞)C．f(x)=x12且在(0,+∞)上單調(diào)遞減【解析】∵冪函數(shù)f(x)=xa過點(2,22)，∴f(x)=x-1故選：A．【點撥】利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式.【典題2】下列命題中：①冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,1)和點(0,0)；②冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限；③當(dāng)n=0時，冪函數(shù)y=x④當(dāng)n>0時，冪函數(shù)y=x⑤當(dāng)n<0時，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的函數(shù)值隨x的值增大而減小．其中正確的是()A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤【解析】①冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,1)，但不一定經(jīng)過點(0,0)，比如y=1②冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限，故正確；③當(dāng)n=0時，冪函數(shù)y=xn的圖象是一條直線去除④當(dāng)n>0時，如y=x2，冪函數(shù)y=x⑤當(dāng)n<0時，冪函數(shù)y=xn在(0,+∞)上是減函數(shù)，即冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的函數(shù)值隨故選：D．【典題3】如圖所示是函數(shù)y=xmn(m、n∈NA．m、n是奇數(shù)且mn<1C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且mn<1【解析】∵函數(shù)y=xmn的圖象的圖象關(guān)于y軸對稱，故n在第一象限內(nèi)，函數(shù)是凸函數(shù)，故mn<1，故選：鞏固練習(xí)1(★)已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(2,22)，則f(4)的值為【答案】12【解析】∵冪函數(shù)f(x)=xa∴f(2)=2a=∴f(x)=x-12(★)已知α∈{-2,-1,-12,12,1,2,3}，若冪函數(shù)f(x)=xα為奇函數(shù)，且在【答案】-1【解析】∵α∈{-2冪函數(shù)f(x)=xα為奇函數(shù)，且在∴a是奇數(shù)，且a∴a=-13(★)圖中曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖象，已知n取±2,±12四個值，則相應(yīng)于曲線C1，C2A．-2,-12,12,2【答案】D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，x>1時，x2∴相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的故選：D．4(★★)已知冪函數(shù)y=xpq，(p,q∈ZA．p,q均為奇數(shù)，且pq>0 B．C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且pq>0 D．【答案】D【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以p為偶數(shù)，且由圖象形狀判定pq又因p、q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)．所以選5(★★)已知冪函數(shù)f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)的圖象關(guān)于原點對稱，且在(0,+∞)A．0 B．0或2【答案】B【解析】冪函數(shù)f(x)=xm2則m2