高等數(shù)學(xué) 張明望 D8-8多元函數(shù)的極值與最值

第八節(jié)一、二元函數(shù)的極值二、二元函數(shù)的最值三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與最值一、二元函數(shù)的極值

定義:設(shè)函數(shù)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)有極大值(或極小值)f(x0,y0),點(diǎn)(x0,y0)稱為函數(shù)f(x,y)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn)).P0(x0,y0)為D的內(nèi)點(diǎn).若存在P0的某個(gè)鄰域使得對(duì)于該鄰域內(nèi)異于P0的任何點(diǎn)(x,y)，都有例如:在點(diǎn)(0,0)有極小值;在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無極值.定理8-13(必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:且在該點(diǎn)取得極值,則有具有在該鄰域內(nèi)取說明:

使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn).例如,

駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)(0,0),但在該點(diǎn)不取得極值.時(shí),具有極值定理8-14(充分條件)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若函數(shù)又具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x,y)的極值的求法：例1.求函數(shù)解:第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;解例2.函數(shù)在P有極值.有所以為極大值.二、二元函數(shù)的最值函數(shù)f

在有界閉域上連續(xù)函數(shù)f

在閉域上可達(dá)到最值

最值可疑點(diǎn)

駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),

為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)解例4.解:設(shè)水箱長,寬分別為x,ym,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水箱,問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長、寬均為高為時(shí),水箱所用材料最省.三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其他條件限制例如,轉(zhuǎn)化方法2拉格朗日乘數(shù)法.分析：如果函數(shù)在(x0,y0)取得所求的極值，例如,則有可確定隱函數(shù)方程將其代入函數(shù)得故極值點(diǎn)必滿足再由用隱函數(shù)的求導(dǎo)公式，有代入，得設(shè)引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)L(x,y)

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:利用拉格朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.設(shè)解方程組得到可能的極值點(diǎn).

例如,

求函數(shù)下的極值.在條件例5.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為則問題為求x,y,令解方程組解:

設(shè)x,y,z分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？的長方體開口水箱,

試問得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長、寬為高的2倍時(shí)，所用材料最省.因此,當(dāng)高為思考:1)當(dāng)水箱封閉時(shí),長、寬、高的尺寸如何?提示:利用對(duì)稱性可知,2)當(dāng)開口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí),欲使造價(jià)

應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)?長、寬、高尺寸如何?

提示:長、寬、高尺寸相等.最省,解例6在第一卦限內(nèi)作橢球面體積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo)。的切平面，使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體可得即內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步利用充分條件

判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).2.函數(shù)的條件極值問題(1)簡(jiǎn)單問題用代入法如對(duì)二元函數(shù)(2)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)3.函數(shù)的最值問題在條件求可能的極值點(diǎn).

已知平面上兩定點(diǎn)A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點(diǎn)C,使△ABC

面積S△最大.解答提示:設(shè)C

點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),思考與練習(xí)則

設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知,點(diǎn)C與

E重合時(shí),三角形面積最大.

P130-1311，4,10習(xí)題課作業(yè)注備用題1.求半徑為R

的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解:設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對(duì)的圓心角為x,y,z,

它們所對(duì)應(yīng)的三個(gè)三角形面積分別為設(shè)拉氏函數(shù)解方程組,得故圓內(nèi)接正三角形面積最大,最大面積為

注則注因此前者不可能為圓內(nèi)接三角形中面積最大者.若?ABC位于半圓內(nèi)(如圖),

則其BC邊上的高小于?A1BC同邊上的高,故前者的面積小于后者，

為邊的面積最大的四邊形,試列出其目標(biāo)函數(shù)和約束條件?提示:目標(biāo)函數(shù):約束條件:答案:即四邊形內(nèi)接于圓時(shí)面積最大.2.求平面上以3.設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)的成本為c,每臺(tái)電電視機(jī)的銷售價(jià)格為p,銷售量為x,假設(shè)該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài),即生產(chǎn)量等于銷售量.根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè),x與p滿

足關(guān)系:其中M是最大市場(chǎng)需求量,a是價(jià)格系數(shù).又據(jù)對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析,預(yù)測(cè)每臺(tái)電視機(jī)的生產(chǎn)成本滿足:其中c0是生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)的成本,k是規(guī)模系數(shù).問應(yīng)如何確定每臺(tái)電