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文檔簡介
山西省運(yùn)城市北辛高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知復(fù)數(shù)z=為純虛數(shù),則x的值為(
)A.-1或3
B.0
C.3
D.-1參考答案:D略2.已知實(shí)數(shù)a,b,c,則以下正確的是(
)A.若,則
B.若,則C.若,則
D.參考答案:C3.△ABC中,已知∠A=1200,且,則sinC為A.
B.
C.
D.參考答案:A略4.橢圓ax2+by2=1與直線y=1﹣x交于A、B兩點(diǎn),過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為,則的值為()A. B. C. D.參考答案:A【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì).【分析】聯(lián)立橢圓方程與直線方程,得ax2+b(1﹣x)2=1,(a+b)x2﹣2bx+b﹣1=0,A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達(dá)定理得AB中點(diǎn)坐標(biāo):(),AB中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率k===.【解答】解:聯(lián)立橢圓方程與直線方程,得ax2+b(1﹣x)2=1,(a+b)x2﹣2bx+b﹣1=0,A(x1,y1),B(x2,y2),,y1+y2=1﹣x1+1﹣x2=2﹣=,AB中點(diǎn)坐標(biāo):(),AB中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率k===.故選A.5.已知為純虛數(shù)(是虛數(shù)單位)則實(shí)數(shù) () A.
B.
C.-1
D.-2參考答案:A6.=() A.1+i B.1﹣i C.i D.﹣i參考答案:C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算. 【專題】計(jì)算題;方程思想;數(shù)學(xué)模型法;數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù). 【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案. 【解答】解:=. 故選:C. 【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,是基礎(chǔ)的計(jì)算題. 7.參考答案:A8.從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球,那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是(
)A.“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B.“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”C.“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球”D.“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”
參考答案:C略9.直線截圓得到的弦長為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C略10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,可歸納猜想出的表達(dá)式為
(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.指出下列命題中,是的充分不必要條件的是____________.(1)在中,,(2)對于實(shí)數(shù)、、,或;(3)非空集合、中,,;(4)已知,,參考答案:
⑵⑷略12.不等式(x2﹣2x﹣3)(x﹣2)<0的解集為
.參考答案:(﹣∞,﹣1)∪(2,3)
【考點(diǎn)】其他不等式的解法.【分析】不等式即(x﹣3)(x+1)(x﹣2)<0,再用穿根法求得它的解集.【解答】解:(x2﹣2x﹣3)(x﹣2)<0,即(x﹣3)(x+1)(x﹣2)<0,用穿根法求得它的解集為(﹣∞,﹣1)∪(2,3),故答案為:(﹣∞,﹣1)∪(2,3).13.函數(shù)的定義域是
參考答案:
解:由.
所以原函數(shù)的定義域?yàn)?
因此,本題正確答案是.14.右邊的程序中,若輸入,則輸出的
.參考答案:215.已知雙曲線﹣=1(a>0)的漸近線方程是y=±x,則其準(zhǔn)線方程為
.參考答案:x=±根據(jù)題意,由雙曲線的方程可得其漸近線方程,由題意分析可得a的值,由雙曲線的幾何性質(zhì)可得c的值,進(jìn)而將a、c的值代入雙曲線的準(zhǔn)線方程計(jì)算可得答案.解:根據(jù)題意,雙曲線的方程為﹣=1,其漸近線方程為y=±x,又由該雙曲線﹣=1的漸近線方程是y=±x,則有=,解可得a=3,其中c==5,則其準(zhǔn)線方程為x=±,故答案為:x=±.16.已知向量,.若,則實(shí)數(shù)__________
參考答案:17.拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)在以該拋物線截x軸所得線段為直徑的圓的內(nèi)部,則a,b,c之間的關(guān)系是
。參考答案:4ac<b2<4ac+4三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)=ax﹣lnx﹣a(a∈R).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若a∈(0,+∞),x∈(1,+∞),證明:f(x)<axlnx.參考答案:【考點(diǎn)】6B:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;6K:導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用.【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)令g(x)=f(x)﹣axlnx,a∈(0,+∞),x∈(1,+∞),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【解答】解:(1)f′(x)=a﹣=,當(dāng)a≤0時(shí),ax﹣1<0,從而f'(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減;當(dāng)a>0時(shí),若0<x<,則ax﹣1<0,從而f'(x)<0,若x>,則ax﹣1>0,從而f'(x)>0,函數(shù)在(0,)單調(diào)遞減,在(,+∞)單調(diào)遞增.(2)令g(x)=f(x)﹣axlnx,a∈(0,+∞),x∈(1,+∞),則g′(x)=﹣﹣alnx,g″(x)=,令g″(x)=0,解得:x=,①≤1即a≥1時(shí),g″(x)<0,g′(x)在(1,+∞)遞減,g′(x)<g′(1)=﹣1<0,故g(x)在(1,+∞)遞減,g(x)<g(1)=0,成立;②>1即0<a<1時(shí),令g″(x)>0,解得:1<x<,令g″(x)<0,解得:x>,故g′(x)在(1,)遞增,在(,+∞)遞減,∴g′(x)<g′()=2lna﹣a+1,令h(a)=2lna﹣a+1,(0<a<1),則h′(a)=>0,h(a)在(0,1)遞增,故h(a)<h(1)=0,故g′(x)<0,g(x)在(1,+∞)遞減,g(x)<g(1)=0,成立;綜上,a∈(0,+∞),x∈(1,+∞),f(x)<axlnx.19.已知函數(shù).若,求:
(I)的值;
(II)的最大值.參考答案:解:
(I)由得,
又,所以,
得.
(II)由(I)知,
所以,即,當(dāng)時(shí),“”號(hào)成立,所以的最大值為.
略20.已知集合.(1)若,求;(2)若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案:(1);(2).試題分析:(1)根據(jù)集合的交集運(yùn)算法則可求;(2)由交集與子集的關(guān)系,可以得出,利用分類討論,可分析出.試題解析:由解得,所以,由得(1)時(shí),,所以(2)∵,∴若時(shí),顯然不成立,若時(shí),,,所以.21.已知,圓C:x2+y2﹣8y+12=0,直線l:ax+y+2a=0.(1)當(dāng)a為何值時(shí),直線l與圓C相切;(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn),且AB=2時(shí),求直線l的方程.參考答案:考點(diǎn):直線與圓的位置關(guān)系;直線與圓相交的性質(zhì).專題:計(jì)算題;綜合題.分析:把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后,找出圓心坐標(biāo)與圓的半徑r,(1)當(dāng)直線l與圓相切時(shí),圓心到直線的距離d等于圓的半徑r,利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d,讓d等于圓的半徑r,列出關(guān)于a的方程,求出方程的解即可得到a的值;(2)聯(lián)立圓C和直線l的方程,消去y后,得到關(guān)于x的一元二次方程,然后利用韋達(dá)定理表示出AB的長度,列出關(guān)于a的方程,求出方程的解即可得到a的值.解答:解:將圓C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y﹣4)2=4,則此圓的圓心為(0,4),半徑為2.(1)若直線l與圓C相切,則有.解得.(2)聯(lián)立方程并消去y,得(a2+1)x2+4(a2+2a)x+4(a2+4a+3)=0.設(shè)此方程的兩根分別為x1、x2,所以x1+x2=﹣,x1x2=則AB===2兩邊平方并代入解得:a=﹣7或a=﹣1,∴直線l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0.點(diǎn)評:此題考查學(xué)生掌握直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于圓的半徑,靈活運(yùn)用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間的距離公式化簡求值,是一道綜合題.22.已知橢圓C:的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.A、B是橢圓C的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn),直線與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)當(dāng)四邊形AEBF面積取最大值時(shí),求k
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