人教B版選擇性必修第一冊1.2.5　空間中的距離學(xué)案

空間中的距離學(xué)習(xí)目標(biāo)能用向量方法解決點到直線，點到平面,相互平行的直線,相互平行的平面的距離問題..空間中兩點之間的距離設(shè)A（xi,yhZ1）,B（x2,y2,z2）是空間中任意兩點,則AB二J（X「X2）2+（丫1-%）2+（Z1-Z2）2..點到直線的距離空間中一條直線1及1外一點A,過A作直線1的一條垂線段,這條垂線段的長稱為點A到直線1的距離.點到直線的距離也是這個點與直線上點的最短連線的長度..點到平面的距離空間中一個平面a及a外一點A,過A作平面a的一條垂線段,這條垂線段的長稱為點A到平面&的距離.點到平面的距離也是這個點與平面內(nèi)點的最地連線的長度.一般地，若A是平面a外一點,B是平面a內(nèi)一點,n是平面a的一個法向量，則點A到平面a的距離|n|.相互平行的直線與平面之間、相互平行的平面與平面之間的距離⑴定義：①當(dāng)直線與平面平行時，直線上任意一點到平面的距離稱為這條直線與這個平面之間的距離.②當(dāng)平面與平面平行時，一個平面內(nèi)任意一點到另一個平面的距離稱為這兩個平行平面之間的距離.一般地,與兩個平行平面同時垂直的直線,稱為這兩個平面的公垂線，公垂線夾在平行平面間的部分,稱為這兩個平面的公垂線段.顯然,兩個平行平面之間的距離也等于它們的公垂線段的長.⑵①相互平行的直線1與平面Q之間的距離：一般地,若A,B分別是1上和Q內(nèi)的點,n是平面a的一個法向量,則直線1與平面a之間的距離d二上空上.\n\②相互平行的平面a與B之間的距離：一般地,若A,B分別是平面a,B內(nèi)的點,n是平面B的一個法向量(也—>是平面a的一個法向量)，則平面a與平面B之間的距離為d二四n⑴特殊的距離：x=a(aWO),表示平行于yOz面的平面,且與yOz面的距離為|a|;y=b(bW0),表示平行于xOz面的平面,且與xOz面的距離為|b|;z=c(cW0),表示平行于xOy面的平面,且與xOy面的距離為|c|.⑵已知AB為平面a的一條斜線段,n為平面a的法向量,則點B到平面a的距離為|80|二|cos〈48,n>|.②探究點一點與點、點與線之間的距離[例1](1)若0為坐標(biāo)原點,&=(1,1,-2),0B=(3,2,8),0C=(0,1,0),則線段AB的中點P到點C的距離為()A.等B.2714

C.同D.當(dāng)(2)如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD-A1B.C1D1,AB=1,BC=2,AA1=3,則點B到直線AC的距離為()A2DA2D2\/35A.-D.7C.—D.17解析：(1)由題意知14+[+9=因為依[BE?AtC=0,OP=-(,OA+OB)=(2,3),14+[+9=因為依[BE?AtC=0,222苧.故選D.(2)過點B作BE垂直于A.C,垂足為E(圖略),設(shè)點E的坐標(biāo)為(x,y,z),則A,(0,0,3),B(l,0,0),C(l,2,0),4；C=(1,2,-3),4；E=(x,y,z-3),BE=(x-1,y,z).(X_y_z-3所以在一萬一W，、支-1+2y-3z=0,fX=?-解得卜=3，所以加二(ST])，所以點B到直線A.C的距離為|BEI二字,故選B.針對訓(xùn)練：已知A(-3,-3,-3),B(1,1,1),則線段AB的中點坐標(biāo)為；\AB\=解析:因為A(-3,-3,-3),B(l,1,1),所以線段AB的中點坐標(biāo)為(芋,芋,芋)=.乙乙乙6二(4,4,4),所以|易|=V42+42+42=4V3.答案4V3⑴空間中兩點間的距離的求法：兩點間的距離就是以這兩點為端點的向量的模.因此,要求兩點間的距離除了使用距離公式外,還可轉(zhuǎn)化為求向量的模.⑵空間中點到直線距離的求法：空間中一條直線1及1外一點A,設(shè)直線1上一點B,直線1的方向向量n,利用AB±1,AB?n=0,求得點B坐標(biāo),線段AB的長即為點A到直線1的距離.②探究點二一點與面之間的距離[例2]如圖，平面PAD,平面ABCD,四邊形ABCD為正方形，APAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點.⑴求證:平面EFG_L平面PAB;⑵求點A到平面EFG的距離.解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,l),F(0,1,1),G(1,2,0).⑴證明：因為EF=(0,1,0),AP=(O,0,2),AB=(2,0,0),所以百7?y1P=OX0+lX0+0X2=0,EF?AB=0X2+1X0+0X0=0,所以EF±AP,EF1AB.又因為AP,ABu平面PAB,且APAAB=A,所以EF_L平面PAB.又EFu平面EFG,所以平面EFG_L平面PAB.(2)設(shè)平面EFG的法向量為n=(x,y,z),則n?EF=(%,y,z)?(0,1,0)=0,(n?EG=(%,y,z)?(1,2,-1)=0,所以H=0'9以卜+2y-z=0.取n=(l,0,1),又族二(0,0,1),T所以點A到平面EFG的距離為d二牛二與叁nV22針對訓(xùn)練：(2021?廣州市第八十九中學(xué)高二階段練習(xí))在長方體ABCD-ABCD中，AA尸1,AD=DC=V3,Q是線段AC上一點,且3Q4CA,則點Q到平面ADC的距離為.解析:如圖,以DA,DC,D.D所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,1),C(0,V3,1),A、(V3,0,0),G(0,V3,0),所以后二(0,V3,0),DA^(V3,0,-1),=(V3,-V3,0),由GQ=gCi4i，得Q(y>0)，所以訪=(￡*T),設(shè)平面AiDC的法向量為n=(x,y,z),由幾?DC=0,得卜同V=0,In?DAt=0,Wx-z=0,取x=l,貝I1z=V3,y=0,所以n二(1,0,V3),所以點Q到平面A.DC的距離為d=里n3答案咚J求點P到平面Q的距離的三個步驟：(1)在平面a內(nèi)取一點A,確定向量總1的坐標(biāo).⑵確定平面a的法向量n.T⑶代入公式d二旦上求解.n⑨談究京二直線與平面、平面與平面之間的距離[例3]如圖，在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中，(1)兩條平行直線A.D和B.C間的距離為；⑵兩個平行平面A.DB和DiCBi間的距離為.解析：⑴在正方體中CDJ_平面BCCBi,B￡u平面BCGBi,所以CDJ_BCCDJ_平面ADDA,A】Du平面ADDA,所以CD±A,D.所以線段CD的長度為兩條平行直線A.D和B.C間的距離，又CD=1,所以兩條平行直線A.D和BC間的距離為1.⑵分別以DA,DC,DD所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),則D(0,0,0),A.(l,0,1),B(1,1,0),C(0,l,0),DB=(l,1,0),0,1).設(shè)平面AiDB的法向量為n=(x,y,z),則卜.四二.即仔:取x=l,可得In-DA.=0,5+z=0，n=(l,-l,-l),CB=(l,0,0),則點C到平面AJ)B的距離為,|n?CB\|1|V3d二二〒二—,|n|V33所以兩個平行平面A.DB和DCBi間的距離為印答案：⑴1⑵噂針對訓(xùn)練:在棱長為1的正方體ABCD-A.B,C,D,中,E,F分別是BC,CD的中點，則BD到平面EFDB的距離為.解析：以D為原點,直線DA,DC,DDi分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則E(1,1,0),F(0,0),D.(0,0,l),D(0,0,0),EF=(-i1),設(shè)平面EFDB的法向量為n=(x,y,z),所以卜.Ef=0,=j廠/=°，令x=t,則y=],z=i[n?EDX=01j-x-y+z=0,所以平面EFDB的一個法向量為n=(-1,1,；),又6f=(0,0),所以所求距離為正土q.n3答案g相互平行的直線與平面、相互平行的平面與平面的距離，都可以歸結(jié)為點到平面的距離來求解.1.(2021?石家莊市第十二中學(xué)高二期中)已知直線1的一個方向向量為n=(l,0,2),點A(0,1,1)在直線1上，則點P(l,2,2)到直線1的距離為(D)A.2^30B.V30C.—D.?JLUO解析：由已知得易二,因為直線1的一個方向向量為n=(l,0,2),所以點P(l,2,2)到直線1的距離為,IPA12-(匕3)2二二二等.故選D.、n1Wl2+22/\55.已知AB,BC,CD為兩兩相互垂直的三條線段,且它們的長都為2,則AD的長為(D)A.4B.2C.3D.2V3解析：因為八二G+辰:+cb,所以\AD\2=\AB^BC^CD\2=\AB\2^\BC\2^\CD\2^-2(AB?BC+BC?CD+AB?CD)=22+22+22+2X(0+0+0)=12,故|八|二26.故選D..若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩相互垂直,且滿足PA=PB=PC=1,則點P到平面ABC的距離是(D)A.漁B.在C.@D.里6363解析:分別以PA,PB,PC所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),則A(l,0,0),B(0,l,0