控制系統(tǒng)穩(wěn)定性

第4章控制系統(tǒng)穩(wěn)定性

對(duì)于非線(xiàn)性、時(shí)變、多輸入多輸出控制系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題的研究，經(jīng)典控制理論無(wú)能為力。只有利用俄羅斯科學(xué)家李亞普諾夫（A.M.Lyapunov）的穩(wěn)定性理論來(lái)分析和研究。A.M.Lyapunov于1892年出版專(zhuān)著《運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般問(wèn)題》，使得Lyapunov穩(wěn)定性理論已經(jīng)成為控制理論的最重要的幾個(gè)柱石之一。本章的主要內(nèi)容為1.引言2.李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義3.李亞普諾夫第二法5.線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性4.線(xiàn)性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性6.有界輸入-有界輸出穩(wěn)定7.非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性定義：稱(chēng)一個(gè)系統(tǒng)的外部穩(wěn)定（BIBO）是指對(duì)任何一個(gè)有界輸入u(t)，即：‖u(t)‖≤β1<∞，的任意輸入u(t)，對(duì)應(yīng)的輸出y(t)均為有界，即

結(jié)論1：對(duì)零初始條件p維輸入和q維輸出連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)，t∈[t0,+∞），則t0時(shí)刻系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為，存在一個(gè)有限正常數(shù)β，使對(duì)一切t∈[t0,+∞)脈沖響應(yīng)矩陣H(t,τ)所有元hij(t,τ)均滿(mǎn)足關(guān)系式

穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一個(gè)基本結(jié)構(gòu)特性。系統(tǒng)的穩(wěn)定性分為基于輸入輸出描述的外部穩(wěn)定性和基于狀態(tài)空間描述的內(nèi)部穩(wěn)定性。在一定條件下，外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性才存在等價(jià)關(guān)系。外部穩(wěn)定性結(jié)論2：對(duì)零初始條件p維輸入和q維輸出連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，令t0=0,則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為：存在一個(gè)有限正常數(shù)β，使脈沖響應(yīng)矩陣H(t)所有元hij(t)均滿(mǎn)足關(guān)系式

結(jié)論3：對(duì)零初始條件p維輸入和q維輸出連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，令初始時(shí)刻t0=0，則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為：真或嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部。定義：稱(chēng)連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)在t0為內(nèi)部穩(wěn)定，是指由時(shí)刻t0任意非零初始狀態(tài)X(t0)=X0引起的零輸入響應(yīng)Xou(t)對(duì)t∈[t0,+∞)有界，并滿(mǎn)足漸近屬性，即：內(nèi)部穩(wěn)定性結(jié)論4：設(shè)n維連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)變自治系統(tǒng)系統(tǒng)在t0時(shí)刻內(nèi)部穩(wěn)定的充分必要條件為：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Ф(t,t0)對(duì)所有t∈[t0,+∞]為有界，并滿(mǎn)足：

結(jié)論5：對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變自治系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定的充分必要條件為

或矩陣A所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，即：Re{i(A)}<0。內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性的關(guān)系結(jié)論6：對(duì)連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，內(nèi)部穩(wěn)定→BIBO穩(wěn)定，反之不成立。若系統(tǒng)能控且能觀(guān)測(cè)，則內(nèi)部穩(wěn)定←→BIBO穩(wěn)定。

李亞普諾夫意義下運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性的一些基本概念李亞普諾夫第一方法：間接法，小范圍穩(wěn)定性分析方法，線(xiàn)性化李亞普諾夫第二方法：直接法，引入廣義能量函數(shù)平衡狀態(tài)：狀態(tài)空間中滿(mǎn)足的一個(gè)狀態(tài)。即平衡狀態(tài)的各分量相對(duì)時(shí)間不再發(fā)生變化。不唯一性，零平衡狀態(tài)，孤立平衡狀態(tài)，對(duì)平衡狀態(tài)的約定。自治系統(tǒng)：沒(méi)有輸入作用的一類(lèi)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)受擾運(yùn)動(dòng)：自治系統(tǒng)由初始狀態(tài)擾動(dòng)x0引起的一類(lèi)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)。實(shí)質(zhì)上就是系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。適用于線(xiàn)性系統(tǒng)和非線(xiàn)性系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)和時(shí)不變系統(tǒng)、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)。4.1引言

李亞普諾夫?qū)⒎€(wěn)定性問(wèn)題的研究歸納為兩種方法。第一種方法是求出線(xiàn)性化以后的常微分方程的解，從而分析原系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

第二種方法不需要求解微分方程的解，而能夠提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息。

對(duì)于非線(xiàn)性、時(shí)變、多輸入多輸出系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，第二種方法特別重要。李亞普諾夫第二法又稱(chēng)為直接法。這種方法是基于一種廣義能量函數(shù)及其隨時(shí)間變化的特性來(lái)研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的。以下通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。例4-1一個(gè)彈簧－質(zhì)量－阻尼器系統(tǒng)，如下圖示。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)由如下微分方程描述。令（1）選取狀態(tài)變量則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（2）在任意時(shí)刻，系統(tǒng)的總能量（3）顯然，當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)而總能量隨時(shí)間的變化率為可見(jiàn)，只有在時(shí)，。在其他各處均有，這表明系統(tǒng)總能量是衰減的，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。Lyapunov第二法是研究系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的。平衡狀態(tài)——一般地，系統(tǒng)狀態(tài)方程為，其初始狀態(tài)為。系統(tǒng)的狀態(tài)軌線(xiàn)是隨時(shí)間而變化的。當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)t≥t0）則稱(chēng)為系統(tǒng)平衡。

如果不在坐標(biāo)原點(diǎn)，可以通過(guò)非奇異線(xiàn)性變換，使，因此，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問(wèn)題都可以歸結(jié)為原點(diǎn)的穩(wěn)定性問(wèn)題。4.2李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義4.2.1穩(wěn)定的定義則非線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)（4）（6）（5）≤定義對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)，都對(duì)應(yīng)存在實(shí)數(shù)，使?jié)M足的任意初始狀態(tài)出發(fā)的軌線(xiàn)有≤ε

（對(duì)所有

t≥t0）成立，則稱(chēng)為L(zhǎng)yapunov意義下是穩(wěn)定的?！硎厩髿W幾里德范數(shù)。（即：表示空間距離）Lyapunov意義下穩(wěn)定漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定4.2.2漸近穩(wěn)定如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。從平衡狀態(tài)的某個(gè)充分小的領(lǐng)域內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，收斂于，則稱(chēng)為漸近穩(wěn)定。更精密的敘述如下：如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，對(duì)于，存在和，當(dāng)時(shí)，從出發(fā)的，都有并且充分大時(shí)，就充分小。則稱(chēng)為L(zhǎng)yapunov意義下漸近穩(wěn)定。當(dāng)與、無(wú)關(guān)時(shí)，則稱(chēng)為一致漸近穩(wěn)定。4.2.3大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定如果是整個(gè)狀態(tài)空間中任一點(diǎn)，并且都有則為大范圍漸近穩(wěn)定或稱(chēng)為L(zhǎng)yapunov意義下全局漸近穩(wěn)定。當(dāng)穩(wěn)定性與的選擇無(wú)關(guān)時(shí)，稱(chēng)一致全局漸近穩(wěn)定。不穩(wěn)定4.2.4不穩(wěn)定對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，存在一個(gè)實(shí)數(shù)，不論取的多么小，在滿(mǎn)足不等式的所有初始狀態(tài)中，至少存在一個(gè)初始狀態(tài)，由此出發(fā)的軌線(xiàn)，滿(mǎn)足稱(chēng)為L(zhǎng)yapunov意義下不穩(wěn)定不管初始偏差有多大，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，則稱(chēng)系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的。不管初始偏差有多大，系統(tǒng)總是漸近穩(wěn)定的，則稱(chēng)系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。大范圍漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)只能有一個(gè)平衡狀態(tài)。為了滿(mǎn)足穩(wěn)定條件，初始偏差有一定限制，則稱(chēng)系統(tǒng)是小范圍穩(wěn)定的。對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，若在小范圍穩(wěn)定，則必大范圍穩(wěn)定；若在小范圍漸近穩(wěn)定，則必大范圍漸近穩(wěn)定

Q稱(chēng)為二次型的矩陣設(shè)x=[x1,x2,

···,xn]T，則實(shí)二次型可記為：f(x1,x2,

···,xn)=xTQx

定義：

(實(shí))二次型是x∈Rn的標(biāo)量函數(shù)f(x1,x2,

···,xn)=xTQx，式中，Q為一實(shí)對(duì)稱(chēng)nn矩陣x

0,若xTQx>0,則稱(chēng)二次型f為正定的，Q稱(chēng)為正定矩陣，記為Q>0。x

0,若xTQx≥0,，則稱(chēng)二次型f為半正定的，Q稱(chēng)為半正定矩陣，記為Q≥0。若xTQx<0(≤0),稱(chēng)f為負(fù)定的(半負(fù)定的)，Q稱(chēng)為負(fù)定(半負(fù)定)矩陣，記為Q<0(≤0)。若f既不是半正定又不是半負(fù)定，則稱(chēng)為不定的。預(yù)備知識(shí)：二次型函數(shù)的定號(hào)性判別準(zhǔn)則

——Sylvester（希爾維斯特）判據(jù)：i(i=1,2,…,n)為其各階主子行列式：矩陣Q定號(hào)性的充要條件是：(1)若i>0(i=1,2,…,n)，則Q為正定的。(2)若i，則Q為負(fù)定的。>0i為偶數(shù)<0i為奇數(shù)(3)若i，，則Q為半正定的。0i=(1,2,…,n-1)=0i=n(4)若i，則Q為半負(fù)定的。0i為偶數(shù)0i為奇數(shù)=0i=nf(x1,x2,

···,xn)=xTQx正定f(x1,x2,

···,xn)=xTQx負(fù)定f(x1,x2,

···,xn)=xTQx半正定f(x1,x2,

···,xn)=xTQx半負(fù)定f(x1,x2,

···,xn)=xTQx4.3李亞普諾夫第二法定義如果標(biāo)量函數(shù)，并且當(dāng)時(shí)，；僅當(dāng)時(shí)，；則稱(chēng)為正定的。除了以外，還有狀態(tài)使，稱(chēng)為半正定的。≥0定義如果標(biāo)量函數(shù)，并且當(dāng)時(shí)，；僅當(dāng)時(shí)，；則稱(chēng)為負(fù)定的。除了以外，還有狀態(tài)使，稱(chēng)為半負(fù)定的?！?（7）定理4-1

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為在平衡狀態(tài)的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿(mǎn)足：1）為正定；2）為負(fù)定。則為一致漸近穩(wěn)定的。如果，，則是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。例4-2

系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。解而將狀態(tài)方程代入上式，化簡(jiǎn)后得選取Lyapunov函數(shù)，顯然是正定的，即滿(mǎn)足可見(jiàn)，是負(fù)定的，即滿(mǎn)足因此，是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。當(dāng)，有，故系統(tǒng)是一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。例；設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為試確定該系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。

為一負(fù)定的標(biāo)量函數(shù)，且‖x‖→∞，有V(x)→∞，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。解：由平衡狀態(tài)方程得解得唯一的平衡狀態(tài)為x1=0,x2=0,

即xe=0,

為坐標(biāo)原點(diǎn)。選取一正定的標(biāo)量函數(shù)

定理4-2

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為在平衡狀態(tài)的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿(mǎn)足：1）為正定；2）為半負(fù)定；3）除了平衡狀態(tài)外，還有的點(diǎn)，但是不會(huì)在整條狀態(tài)軌線(xiàn)上有則為一致漸近穩(wěn)定的。如果，，則是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。（注：本定理是將定理4-1的條件稍微放寬了一點(diǎn)）

對(duì)為數(shù)不少的系統(tǒng)，4-1中的條件“李導(dǎo)為負(fù)定”是構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V(x)的主要困難，可適當(dāng)放寬該條件。例4-3

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中，a

為大于零的實(shí)數(shù)。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為選取Lyapunov函數(shù)：顯然它是正定的，即滿(mǎn)足而將狀態(tài)方程代入上式，化簡(jiǎn)后得可見(jiàn)，當(dāng)和任意的時(shí)，有，而和任意時(shí)，。又因?yàn)?，只要變化就不為零，因此在整條狀態(tài)軌線(xiàn)上不會(huì)有。因此，是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。當(dāng)，有，故系統(tǒng)是一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。定理4-3

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為在平衡狀態(tài)的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿(mǎn)足：1）為正定；2）為半負(fù)定；則為一致穩(wěn)定的。如果，，則是大范圍一致穩(wěn)定的。（注：本定理只是比定理4-2少了第3個(gè)條件，不能保證漸近穩(wěn)定，只能保證一致穩(wěn)定。）因?yàn)椤?則系統(tǒng)可能存在閉合曲線(xiàn)（極限環(huán)），在上面恒有，則系統(tǒng)可能收斂到極限環(huán)，而不收斂到平衡點(diǎn)。因此是一致穩(wěn)定的。例4-4

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中，k

為大于零的實(shí)數(shù)。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為選取Lyapunov函數(shù)：顯然它是正定的，即滿(mǎn)足而由定理4-3可知，為L(zhǎng)yapunov意義下一致穩(wěn)定。例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：顯然，原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選可見(jiàn)系統(tǒng)在xe=0處是不穩(wěn)定的。例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：顯然，原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選由于當(dāng)x1為任意值，x2=0時(shí)而所以x2=0是暫時(shí)的，不會(huì)恒等于零，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：顯然，原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選系統(tǒng)在xe=0處是李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定。系統(tǒng)在xe=0處是漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)在xe=0處是不穩(wěn)定的。定理4-4

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

在的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿(mǎn)足：1）為正定；2）為正定或半正定；則為不穩(wěn)定的。例4-5

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為選取Lyapunov函數(shù)：顯然它是正定的，即滿(mǎn)足而由定理4-4可知，是不穩(wěn)定的。

應(yīng)該指出：到目前為止，人類(lèi)還沒(méi)有找到構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的一般方法。因?yàn)長(zhǎng)yapunov第二法給出的結(jié)果是系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件。因此，對(duì)于某個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，找不到合適的Lyapunov函數(shù)，既不能說(shuō)系統(tǒng)穩(wěn)定，也不能說(shuō)系統(tǒng)不穩(wěn)定，只能說(shuō)無(wú)法提供有關(guān)該系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息（即：inconclusive—沒(méi)有得出結(jié)論）。構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)的規(guī)則化方法變量梯度法設(shè)連續(xù)時(shí)間非線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)xe=0為系統(tǒng)孤立平衡狀態(tài)，(1)選取候選李亞普諾夫函數(shù)V(x)的梯度▽V(x)

李亞普諾夫第二法的核心是構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)。構(gòu)造原則：先按定理?xiàng)l件構(gòu)造候選李亞普諾夫函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在此基礎(chǔ)上定出李亞普諾夫函數(shù)，進(jìn)一步再判斷候選李亞普諾夫函數(shù)的正定性。若判斷成立則構(gòu)造成功，否則構(gòu)造失敗。其中aij=常數(shù)或狀態(tài)變量的函數(shù)。(2)按穩(wěn)定性結(jié)論給出的條件引入對(duì)梯度▽V(x)的限制矢量的積分矢量的積分與路徑無(wú)關(guān)則旋度rot▽V(x)=0設(shè)梯度▽V(x)對(duì)應(yīng)于有勢(shì)場(chǎng)(nn-n)/2個(gè)方程(3)確定▽V(x)的待定系數(shù)aij（i，j=1，2，…，n）(4)定出對(duì)應(yīng)梯度▽V(x)的候選李亞普諾夫函數(shù)V(x)(5)判斷V(x)計(jì)算結(jié)果的正定性例：試用變量梯度法確定下列非線(xiàn)性系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)，并分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。(1)選取候選李亞普諾夫函數(shù)V(x)的梯度▽V(x)

(2)按穩(wěn)定性結(jié)論給出的條件引入對(duì)梯度▽V(x)的限制旋度rot▽V(x)=0(3)確定▽V(x)的待定系數(shù)aij（i，j=1，2，…，n）試選：a11=a22

=1，a12=a21=0，則(4)定出對(duì)應(yīng)梯度▽V(x)的候選李亞普諾夫函數(shù)V(x)是正定的，因此，在x1x2<1的范圍內(nèi)，平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。是否為大范圍漸近穩(wěn)定的？李亞普諾夫函數(shù)的選擇是非唯一的。再選：a11=1，a22

=3，a12=x22，a21=3x22

，則是正定的，因此，在1/3<x1x2<1的范圍內(nèi)，平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。那一種選擇好？平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的范圍越大越好！克拉索夫斯基方法設(shè)連續(xù)時(shí)間非線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)Xe=0為系統(tǒng)孤立平衡狀態(tài)，系統(tǒng)雅可比矩陣克拉索夫斯基指出：如果存在一個(gè)對(duì)稱(chēng)正定矩陣B，使對(duì)稱(chēng)陣S(x)=BF(x)+[BF(x)]T是負(fù)定的，那么平衡狀態(tài)x=0是漸近穩(wěn)定的，系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為：V(x)=f(x)TBf(x)

如果，則平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。特點(diǎn)：相對(duì)于狀態(tài)導(dǎo)數(shù)構(gòu)造候選李亞普諾夫函數(shù)V(x)通常B=I注意：克拉索夫斯基方法是充分條件例：給定一個(gè)連續(xù)時(shí)間非線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)

確定平衡狀態(tài)x=0的穩(wěn)定性

解：

取B=I為對(duì)稱(chēng)負(fù)定陣，所以平衡狀態(tài)x=0是漸近穩(wěn)定的。平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的

顯然，上述形式的V(x)用經(jīng)驗(yàn)法很難找到，這從一方面反映了規(guī)則化方法的效果。例：已知線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，判斷平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。

解顯然A非奇異，xe=0是唯一平衡狀態(tài)。結(jié)論對(duì)連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng),矩陣A為非奇異，若A+AT為負(fù)定，則原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0為大范圍漸近穩(wěn)定。

其順序主子式為xe=0是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。A+AT為負(fù)定4.4線(xiàn)性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性對(duì)線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)，其相應(yīng)的齊次狀態(tài)方程為由第2章介紹的方法求出其解為由此可判別齊次以及非齊次系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如果收斂則都穩(wěn)定；如果發(fā)散，則都不穩(wěn)定。首先介紹矩陣正定性的定義：對(duì)于方陣當(dāng)它的所有主子式均大于零時(shí)，則Q是正定的。即：對(duì)線(xiàn)性定常系統(tǒng)，可以用Lyapunov第二法。

如果方陣Q是正定的，則－Q

就是負(fù)定的。負(fù)定的矩陣主子式負(fù)正相間。Lyapunov函數(shù)為狀態(tài)變量的二次型函數(shù)，即如果P為維正定的對(duì)稱(chēng)常數(shù)矩陣，則為正定的。令，其中Q為正定實(shí)數(shù)矩陣，且滿(mǎn)足如果給定Q陣，能夠推出P

為正定的，則系統(tǒng)在為穩(wěn)定的。并且線(xiàn)性定常系統(tǒng)為穩(wěn)定，就一定是大范圍一致漸近穩(wěn)定。（注：線(xiàn)性定常系統(tǒng)，可以判斷A的特征值是否全部具有負(fù)實(shí)部，既可以判別其穩(wěn)定性。）例4-6

線(xiàn)性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可以令Q

陣為單位矩陣I。解得有可見(jiàn)，P為正定的矩陣，故為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。例:某系統(tǒng)解:

選Q=I,由ATP+PA=-Q

，pij=pji.注：由于P的對(duì)稱(chēng)性，只有個(gè)未知數(shù)。，其平衡狀態(tài)在坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。用Sylvester判據(jù)：P>0

系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

原則上Q為任意正定對(duì)稱(chēng)陣，且系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的判斷結(jié)果與Q的不同選取無(wú)關(guān)。具體應(yīng)用時(shí)，Q常常取為正定對(duì)角陣或單位陣，以簡(jiǎn)化計(jì)算結(jié)果。線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)自閱

4.5線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（8）系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為假設(shè)G

為維非奇異常數(shù)陣，是唯一的平衡狀態(tài)。選取Lyapunov函數(shù)（9）式中，P

為正定的對(duì)稱(chēng)常數(shù)，因此是正定的。的差分為若要在處漸近穩(wěn)定，要求為負(fù)定的。所以其中Q為正定。給定一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)常數(shù)陣Q，求P

陣，并驗(yàn)證其正定性。（10）例4-7

線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判別其穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可以令Q

陣為單位矩陣I。解得P的各階主子式均大于零，即可見(jiàn)，P為正定的矩陣，故為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。4.6有界輸入-有界輸出穩(wěn)定4.6.1有界輸入-有界輸出穩(wěn)定BoundedInputBoundedOutput(BIBO)Stable定義：對(duì)于初始松弛系統(tǒng)，任何有界輸入，其輸出也是有界的，稱(chēng)為BIBO系統(tǒng)。如果輸入有界，是指≤如果輸入有界，是指≤≤如果≤于是≤可以取定理4-5

由方程描述的線(xiàn)性定常系統(tǒng)。為初始松弛系統(tǒng)。其輸出向量的解為（11）BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個(gè)常數(shù)K3，有≤或者對(duì)于的每一元素，都有≤其中，a

為一個(gè)非負(fù)的實(shí)數(shù)，而系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為例4-8線(xiàn)性定常系統(tǒng)方程為分析系統(tǒng)是否BIBO穩(wěn)定。解可見(jiàn)，只有當(dāng)時(shí)，才有有限值存在，系統(tǒng)才是BIBO穩(wěn)定的。4.6.2BIBO穩(wěn)定與平衡狀態(tài)穩(wěn)定性之間的關(guān)系對(duì)于線(xiàn)性定常系統(tǒng)（12）平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性由A的特征值決定。而B(niǎo)IBO的穩(wěn)定性是由傳遞函數(shù)的極點(diǎn)決定的。

的所有極點(diǎn)都是A的特征值，但A的特征值并不一定都是的極點(diǎn)。可能存在零極點(diǎn)對(duì)消。所以，處的漸近穩(wěn)定就包含了BIBO穩(wěn)定，而B(niǎo)IBO穩(wěn)定卻可能不是處的漸近穩(wěn)定。那么在什么條件下，BIBO穩(wěn)定才有平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定呢？結(jié)論是：如果（12）式所描述的線(xiàn)性定常系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定，且系統(tǒng)是既能控又能觀(guān)測(cè)的，則系統(tǒng)在處是漸近穩(wěn)定的。4.7非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析4.7.1