高量7-01 二次量子化方法 b

２００４年１２月第七章二次量子化方法2/5/20231引言●全同多粒子體系難以用通常的波函數(shù)處理→因而發(fā)展了二次量子化方法?

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引入粒子占有數(shù)表象—用各單粒子態(tài)填充的粒子數(shù)描述狀態(tài)；交換對(duì)稱性自動(dòng)滿足

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基本算符：粒子的產(chǎn)生算符和消滅算符

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任意態(tài)矢和力學(xué)量均可用它們表示

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有系統(tǒng)的法則計(jì)算力學(xué)量的矩陣元2/5/20232§7.1

中心場(chǎng)近似CentralFieldApproximation??●??????????2/5/20233一、多粒子體系的哈密頓量●考察序數(shù)為

Z的原子中

Z

個(gè)電子構(gòu)成的體系在非相對(duì)論近似下，哈密頓量為2/5/20234一、多粒子體系的哈密頓量●對(duì)哈密頓量的分析輕原子，前者重要，后者可視作微擾重原子反之；一般原子，二者都較重要→為單粒子算符之和，可分離變量求解2/5/20235二、中心場(chǎng)近似●用單粒子位代替庫(kù)侖排斥力因電子間庫(kù)侖斥力具有很大的球?qū)ΨQ成分→可取一球?qū)ΨQ的單粒子位函數(shù)之和代替→中心場(chǎng)近似2/5/20236二、中心場(chǎng)近似●中心場(chǎng)近似的實(shí)質(zhì)將Z個(gè)具有相互作用的電子看作相互無(wú)作用地在一個(gè)共同的中心場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)——零級(jí)近似零級(jí)近似哈密頓量分離變量求解2/5/20237二、中心場(chǎng)近似●原子核物理中的獨(dú)立粒子模型2/5/20238§7.2

N個(gè)全同粒子體系的波函數(shù)——零級(jí)近似波函數(shù)2/5/20239一、Slater行列式●全同粒子具有不可分辨性→全同多粒子體系的波函數(shù)必須滿足交換對(duì)稱性?

費(fèi)米子—交換反對(duì)稱→泡利不相容原理?

玻色子—交換對(duì)稱●中心場(chǎng)近似下N個(gè)費(fèi)米子體系的狀態(tài)波函數(shù)Slater行列式；寫(xiě)成求和形式N個(gè)對(duì)象的排列算符；N=3的例子2/5/202310二、全同玻色子體系的波函數(shù)●N個(gè)玻色子占有N個(gè)狀態(tài)一般表達(dá)式N=3的例子●N個(gè)玻色子占有m個(gè)狀態(tài)一般表達(dá)式N=3的例子2/5/202311三、一般結(jié)論●對(duì)稱性確保滿足全同性——不可分辨性費(fèi)米子體系波函數(shù)的反對(duì)稱性確保滿足泡利不相容原理●在中心場(chǎng)近似下，只需知道1、哪幾個(gè)單粒子態(tài)被占有2、每個(gè)單粒子態(tài)上有幾個(gè)粒子即可知道全同粒子體系的狀態(tài)2/5/202312§7.3

粒子數(shù)表象RepresentationofParticleNumber

2/5/202313一、粒子數(shù)表象的由來(lái)引入粒子的產(chǎn)生和消滅算符●上述結(jié)論啟發(fā)人們采用粒子數(shù)表象以簡(jiǎn)化多粒子體系力學(xué)量矩陣元的計(jì)算這種方法就叫做二次量子化方法2/5/202314二、粒子的真空態(tài)；產(chǎn)生消滅算符●產(chǎn)生算符的定義●真空態(tài)定義；歸一化條件單個(gè)粒子的狀態(tài)N個(gè)粒子的狀態(tài)2/5/202315二、粒子的真空態(tài)；產(chǎn)生消滅算符●消滅算符的定義作用于真空態(tài)的效果產(chǎn)生和消滅算符互為厄米共軛；非厄米2/5/202316§7.4

粒子數(shù)表象中費(fèi)米子體系的波函數(shù)及力學(xué)量的表示2/5/202317一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對(duì)易關(guān)系●產(chǎn)生算符表示狀態(tài)應(yīng)與Slater行列式等價(jià)→產(chǎn)生算符的對(duì)易關(guān)系→消滅算符的對(duì)易關(guān)系2/5/202318一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對(duì)易關(guān)系●態(tài)矢量的正交歸一化→產(chǎn)生算符與消滅算符之間的對(duì)易關(guān)系態(tài)矢量?jī)?nèi)積；三個(gè)可能值N=1的情況N=2的情況2/5/202319一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對(duì)易關(guān)系●N個(gè)費(fèi)米子處于N個(gè)單粒子態(tài)的態(tài)矢量表示態(tài)矢量表示厄米共軛反對(duì)易關(guān)系利用對(duì)易關(guān)系計(jì)算2/5/202320一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對(duì)易關(guān)系2/5/202321一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對(duì)易關(guān)系的意義——粒子數(shù)算符總粒子數(shù)算符2/5/202322二、力學(xué)量的表示●單粒子算符例：?jiǎn)瘟Ｗ觿?dòng)能算符N個(gè)粒子體系的動(dòng)能算符在粒子數(shù)表象中的表達(dá)式其中矩陣元的含義2/5/202323二、力學(xué)量的表示●雙粒子算符例：兩個(gè)粒子相互作用位能算符N個(gè)粒子體系總的相互作用位能算符在粒子數(shù)表象中的表達(dá)式其中矩陣元的含義2/5/202324二、力學(xué)量的表示●力學(xué)量表達(dá)式的由來(lái)要求與波動(dòng)力學(xué)矩陣元表達(dá)式相等而總結(jié)得到▲單粒子算符在多粒子態(tài)矢量間的矩陣元有一個(gè)態(tài)不相同的情況▲雙粒子算符在多粒子態(tài)矢量間的矩陣元有一個(gè)態(tài)不相同的情況2/5/202325二、力學(xué)量的表示●力學(xué)量表達(dá)式的由來(lái)在粒子數(shù)表象下用上述力學(xué)量計(jì)算的結(jié)果與此完全一致2/5/202326§7.5

維克定理WickTheorem2/5/202327一、正規(guī)積與收縮●正規(guī)積定義一個(gè)以上產(chǎn)生消滅算符乘積的正規(guī)積為全部產(chǎn)生算符排在全部消滅算符的左邊例子；正負(fù)號(hào)問(wèn)題正規(guī)積作用于真空態(tài)2/5/202328一、正規(guī)積與收縮●收縮的定義兩算符乘積的收縮＝乘積－正規(guī)積總共只有四種收縮→收縮是個(gè)數(shù)2/5/202329二、Wick定理●n個(gè)產(chǎn)生算符與m個(gè)消滅算符的交叉乘積在真空態(tài)上的平均值當(dāng)n+m=奇數(shù)，為零當(dāng)n+m=偶數(shù)，為一切可能的收縮乘積之和例：2/5/202330三、Wick定理的應(yīng)用●利用Wick定理，可以方便地計(jì)算矩陣元▲計(jì)算單粒子算符和雙粒子算符矩陣元列表→2/5/202331三、Wick定理的應(yīng)用▲計(jì)算單粒子算符的矩陣元（續(xù)）2/5/202332三、Wick定理的應(yīng)用▲計(jì)算雙粒子算符的矩陣元代入雙粒子