高量7-01 二次量子化方法 b

２００４年１２月第七章二次量子化方法2/5/20231引言●全同多粒子體系難以用通常的波函數(shù)處理→因而發(fā)展了二次量子化方法?

?

引入粒子占有數(shù)表象—用各單粒子態(tài)填充的粒子數(shù)描述狀態(tài)；交換對稱性自動滿足

?

基本算符：粒子的產(chǎn)生算符和消滅算符

?

任意態(tài)矢和力學(xué)量均可用它們表示

?

有系統(tǒng)的法則計算力學(xué)量的矩陣元2/5/20232§7.1

中心場近似CentralFieldApproximation??●??????????2/5/20233一、多粒子體系的哈密頓量●考察序數(shù)為

Z的原子中

Z

個電子構(gòu)成的體系在非相對論近似下，哈密頓量為2/5/20234一、多粒子體系的哈密頓量●對哈密頓量的分析輕原子，前者重要，后者可視作微擾重原子反之；一般原子，二者都較重要→為單粒子算符之和，可分離變量求解2/5/20235二、中心場近似●用單粒子位代替庫侖排斥力因電子間庫侖斥力具有很大的球?qū)ΨQ成分→可取一球?qū)ΨQ的單粒子位函數(shù)之和代替→中心場近似2/5/20236二、中心場近似●中心場近似的實質(zhì)將Z個具有相互作用的電子看作相互無作用地在一個共同的中心場中運動——零級近似零級近似哈密頓量分離變量求解2/5/20237二、中心場近似●原子核物理中的獨立粒子模型2/5/20238§7.2

N個全同粒子體系的波函數(shù)——零級近似波函數(shù)2/5/20239一、Slater行列式●全同粒子具有不可分辨性→全同多粒子體系的波函數(shù)必須滿足交換對稱性?

費米子—交換反對稱→泡利不相容原理?

玻色子—交換對稱●中心場近似下N個費米子體系的狀態(tài)波函數(shù)Slater行列式；寫成求和形式N個對象的排列算符；N=3的例子2/5/202310二、全同玻色子體系的波函數(shù)●N個玻色子占有N個狀態(tài)一般表達(dá)式N=3的例子●N個玻色子占有m個狀態(tài)一般表達(dá)式N=3的例子2/5/202311三、一般結(jié)論●對稱性確保滿足全同性——不可分辨性費米子體系波函數(shù)的反對稱性確保滿足泡利不相容原理●在中心場近似下，只需知道1、哪幾個單粒子態(tài)被占有2、每個單粒子態(tài)上有幾個粒子即可知道全同粒子體系的狀態(tài)2/5/202312§7.3

粒子數(shù)表象RepresentationofParticleNumber

2/5/202313一、粒子數(shù)表象的由來引入粒子的產(chǎn)生和消滅算符●上述結(jié)論啟發(fā)人們采用粒子數(shù)表象以簡化多粒子體系力學(xué)量矩陣元的計算這種方法就叫做二次量子化方法2/5/202314二、粒子的真空態(tài)；產(chǎn)生消滅算符●產(chǎn)生算符的定義●真空態(tài)定義；歸一化條件單個粒子的狀態(tài)N個粒子的狀態(tài)2/5/202315二、粒子的真空態(tài)；產(chǎn)生消滅算符●消滅算符的定義作用于真空態(tài)的效果產(chǎn)生和消滅算符互為厄米共軛；非厄米2/5/202316§7.4

粒子數(shù)表象中費米子體系的波函數(shù)及力學(xué)量的表示2/5/202317一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對易關(guān)系●產(chǎn)生算符表示狀態(tài)應(yīng)與Slater行列式等價→產(chǎn)生算符的對易關(guān)系→消滅算符的對易關(guān)系2/5/202318一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對易關(guān)系●態(tài)矢量的正交歸一化→產(chǎn)生算符與消滅算符之間的對易關(guān)系態(tài)矢量內(nèi)積；三個可能值N=1的情況N=2的情況2/5/202319一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對易關(guān)系●N個費米子處于N個單粒子態(tài)的態(tài)矢量表示態(tài)矢量表示厄米共軛反對易關(guān)系利用對易關(guān)系計算2/5/202320一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對易關(guān)系2/5/202321一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對易關(guān)系的意義——粒子數(shù)算符總粒子數(shù)算符2/5/202322二、力學(xué)量的表示●單粒子算符例：單粒子動能算符N個粒子體系的動能算符在粒子數(shù)表象中的表達(dá)式其中矩陣元的含義2/5/202323二、力學(xué)量的表示●雙粒子算符例：兩個粒子相互作用位能算符N個粒子體系總的相互作用位能算符在粒子數(shù)表象中的表達(dá)式其中矩陣元的含義2/5/202324二、力學(xué)量的表示●力學(xué)量表達(dá)式的由來要求與波動力學(xué)矩陣元表達(dá)式相等而總結(jié)得到▲單粒子算符在多粒子態(tài)矢量間的矩陣元有一個態(tài)不相同的情況▲雙粒子算符在多粒子態(tài)矢量間的矩陣元有一個態(tài)不相同的情況2/5/202325二、力學(xué)量的表示●力學(xué)量表達(dá)式的由來在粒子數(shù)表象下用上述力學(xué)量計算的結(jié)果與此完全一致2/5/202326§7.5

維克定理WickTheorem2/5/202327一、正規(guī)積與收縮●正規(guī)積定義一個以上產(chǎn)生消滅算符乘積的正規(guī)積為全部產(chǎn)生算符排在全部消滅算符的左邊例子；正負(fù)號問題正規(guī)積作用于真空態(tài)2/5/202328一、正規(guī)積與收縮●收縮的定義兩算符乘積的收縮＝乘積－正規(guī)積總共只有四種收縮→收縮是個數(shù)2/5/202329二、Wick定理●n個產(chǎn)生算符與m個消滅算符的交叉乘積在真空態(tài)上的平均值當(dāng)n+m=奇數(shù)，為零當(dāng)n+m=偶數(shù)，為一切可能的收縮乘積之和例：2/5/202330三、Wick定理的應(yīng)用●利用Wick定理，可以方便地計算矩陣元▲計算單粒子算符和雙粒子算符矩陣元列表→2/5/202331三、Wick定理的應(yīng)用▲計算單粒子算符的矩陣元（續(xù)）2/5/202332三、Wick定理的應(yīng)用▲計算雙粒子算符的矩陣元代入雙粒子