灰色系統(tǒng)理論講稿2010

問(wèn)題引入某地區(qū)最近17年來(lái)年度平均降雨量數(shù)據(jù)（單位：mm）序列為X=(390.6,412.0,320.0,559.2,380.8,542.4,553.0,310.0,561.0,300.0,632.0,540.0,406.2,313.8,576.0,586.6,318.5)如果將年平均降雨量低于320mm時(shí)認(rèn)為旱災(zāi)發(fā)生，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)下一次旱災(zāi)發(fā)生在幾年后？灰色系統(tǒng)理論講稿理學(xué)院：翟藝書主要內(nèi)容（1）什么是灰色系統(tǒng)？（2）灰色系統(tǒng)理論的應(yīng)用范疇？（3）灰色系統(tǒng)的分析方法？（4）如何建立灰色系統(tǒng)GM（1，1）模型？（5）如何利用灰色系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)？（6）灰色人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型？（7）作業(yè)1什么是灰色系統(tǒng)？客觀世界中很多實(shí)際問(wèn)題，其內(nèi)部的結(jié)構(gòu)、參數(shù)以及特征并未全部被人們了解，人們不可能象研究白箱問(wèn)題那樣將其內(nèi)部機(jī)理研究清楚，只能依據(jù)某種思維邏輯與推斷來(lái)構(gòu)造模型。對(duì)這類部分信息已知而部分信息未知的系統(tǒng)，我們稱之為灰色系統(tǒng)?；疑到y(tǒng)理論就是研究在信息大量缺乏或紊亂的情況下，如何對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析和解決。該理論以“部分信息已知，部分信息未知”的小樣本、貧信息不確定性系統(tǒng)為研究對(duì)象，主要通過(guò)對(duì)“部分”已知信息的生成、開發(fā)，提取出有價(jià)值的信息，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行行為、演化規(guī)律的正確描述和有效監(jiān)控。目前，灰色系統(tǒng)理論應(yīng)用范圍已拓展到工業(yè)、農(nóng)業(yè)、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、能源、地質(zhì)、石油等眾多科學(xué)領(lǐng)域，成功地解決了生產(chǎn)、生活和科學(xué)研究中的大量實(shí)際問(wèn)題，取得了顯著成果。

2灰色系統(tǒng)理論的應(yīng)用范疇？

灰色系統(tǒng)的應(yīng)用范疇大致分為以下幾方面：（1）灰色關(guān)聯(lián)分析；（2）灰色預(yù)測(cè)：人口預(yù)測(cè)；初霜預(yù)測(cè)；災(zāi)變預(yù)測(cè)….等等；（3）灰色決策；（4）灰色預(yù)測(cè)控制。3灰色系統(tǒng)的分析方法？

-進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析客觀世界中的事物往往現(xiàn)象復(fù)雜，因素繁多。我們往往需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行因素分析，這些因素中哪些對(duì)系統(tǒng)來(lái)講是主要的，哪些是次要的，哪些需要發(fā)展，哪些需要抑制，哪些是潛在的，哪些是明顯的。一般來(lái)講，這些都是我們極為關(guān)心的問(wèn)題。事實(shí)上，因素間關(guān)聯(lián)性如何、關(guān)聯(lián)程度如何量化等問(wèn)題是系統(tǒng)分析的關(guān)鍵和起點(diǎn)。因素分析的基本方法過(guò)去主要采取回歸分析等辦法，但是這種方法需要大量數(shù)據(jù)作為基礎(chǔ)，計(jì)算量大。而灰色系統(tǒng)理論采用的關(guān)聯(lián)分析方法可以克服這個(gè)弊端?；疑到y(tǒng)理論進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析的兩種方法：一根據(jù)數(shù)據(jù)的幾何關(guān)系分析法；二利用關(guān)聯(lián)公式分析法例如，某地區(qū)1977～1983年總收入與養(yǎng)豬、養(yǎng)兔收入資料見(jiàn)表1。

很顯然，幾何形狀越接近，關(guān)聯(lián)程度也就越大。當(dāng)然，直觀分析對(duì)于稍微復(fù)雜些的問(wèn)題則顯得難于進(jìn)行。因此，需要給出一種計(jì)算方法來(lái)衡量因素間關(guān)聯(lián)程度的大小。（1）數(shù)據(jù)變換技術(shù)預(yù)處理為保證建模的質(zhì)量與系統(tǒng)分析的正確結(jié)果，對(duì)收集來(lái)的原始數(shù)據(jù)必須進(jìn)行數(shù)據(jù)變換和處理，使其消除量綱和具有可比性。（2）進(jìn)行關(guān)聯(lián)度量化計(jì)算4如何建立灰色系統(tǒng)

GM（1，1）模型？

1.GM(1,1)模型G表示grey（灰色），M表示model（模型），GM（1，1）表示1階的、1個(gè)變量的模型。設(shè)

其中則稱為GM(1,1)模型的基本形式。定義1.1定理1.1

設(shè)有非負(fù)序列：為的1-AGO（即一次累加）序列：

其中；為的緊鄰均

值生成序列：

其中若為參數(shù)列，

且

則GM(1,1)模型的最小二乘估計(jì)參數(shù)列滿足

定義1.2設(shè)為非負(fù)序列，為的1-AGO（即一次累加）序列，為的緊鄰均值生成序列，則稱微分方程為ＧＭ（１，１）模型（灰色方程）的

白化方程，也叫影子方程。定理１.2設(shè)如定理1.1中所述，其中,則１.白化方程的解（也稱時(shí)間響應(yīng)函數(shù)）為２.GM(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)序列為３.還原值2例題設(shè)有原始數(shù)據(jù)序列

X0=(x0(1),x0(2),x0(3),x0(4),x0(5))=(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)

試用GM(1,1)模型對(duì)X0進(jìn)行模擬第一步：對(duì)X0作1-AGO，得X1=(X1(1),X1(2),X1(3),X1(4),X1(5))=(2.874,6.152,9.489,12.897,16.558)第二步：對(duì)X1作緊鄰均值生成。令得Z1=(Z1(2),Z1(3),Z1(4),Z1(5))=(4.513,7.820,11.184,14.718)可得B,Y第3步：對(duì)參數(shù)列進(jìn)行最小二乘估計(jì)，得=[-0.03723.06536]第4步：確定模型為時(shí)間響應(yīng)式為第5步：求X1的模擬值第6步：還原出的模擬值，由得對(duì)比原數(shù)據(jù)X0=(x0(1),x0(2),x0(3),x0(4),x0(5))=(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)

5如何利用灰色系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)？灰色預(yù)測(cè)是指利用GM模型對(duì)系統(tǒng)行為特征的發(fā)展變化規(guī)律進(jìn)行估計(jì)預(yù)測(cè)，同時(shí)也可以對(duì)行為特征的異常情況發(fā)生的時(shí)刻進(jìn)行估計(jì)計(jì)算，以及對(duì)在特定時(shí)區(qū)內(nèi)發(fā)生事件的未來(lái)時(shí)間分布情況做出研究等等。這些工作實(shí)質(zhì)上是將“隨機(jī)過(guò)程”當(dāng)作“灰色過(guò)程”，“隨機(jī)變量”當(dāng)作“灰變量”，并主要以灰色系統(tǒng)理論中的GM(1,1)模型來(lái)進(jìn)行處理?；疑A(yù)測(cè)在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)等經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，以及環(huán)境、社會(huì)和軍事等領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。特別是依據(jù)目前已有的數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)分析?；疑A(yù)測(cè)方法灰色預(yù)測(cè)的步驟數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)與處理首先，為了保證建模方法的可行性，需要對(duì)已知數(shù)據(jù)序列做必要的檢驗(yàn)處理。建立模型按照上節(jié)的方法建立灰色模型GM(1,1),則可以得到預(yù)測(cè)值3．檢驗(yàn)預(yù)測(cè)值4．預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)由模型GM(1,1)所得到的指定時(shí)區(qū)內(nèi)的預(yù)測(cè)值，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要，給出相應(yīng)的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)。定義

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列相應(yīng)的預(yù)測(cè)模型模擬序列:

殘差序列:

相對(duì)誤差序列:灰色災(zāi)害預(yù)測(cè)應(yīng)用灰色災(zāi)害預(yù)測(cè)實(shí)質(zhì)上是異常值預(yù)測(cè)，什么樣的值算作異常值，往往是人們憑經(jīng)驗(yàn)主觀確定?；疑珵?zāi)害預(yù)測(cè)的任務(wù)是給出下一個(gè)或幾個(gè)異常值出現(xiàn)的時(shí)刻，以便人們提前準(zhǔn)備，采取對(duì)策。定義：設(shè)原始序列X=(x(1),x(2),…,x(n))，給定上限異常值（災(zāi)變值）a,稱X的子序列Xa(x(q(1)),x(q(2)),……x(q(m)))={x(q(i))>=a,i=1,2,…,m}為上災(zāi)變序列。同理，可定義下災(zāi)變序列。二者統(tǒng)一稱為災(zāi)變序列。定義：設(shè)X為原始序列，稱Q0=(q(1),q(2),……q(m))為災(zāi)變?nèi)掌谛蛄?。?zāi)變預(yù)測(cè)就是要通過(guò)對(duì)災(zāi)變?nèi)掌谛蛄械难芯?，尋找其?guī)律性，預(yù)測(cè)以后若干次災(zāi)變發(fā)生的日期，灰色系統(tǒng)的災(zāi)變預(yù)測(cè)是通過(guò)對(duì)災(zāi)變?nèi)掌谛蛄薪M(1,1)模型實(shí)現(xiàn)的。例某地區(qū)最近17年來(lái)的年度平均降雨量數(shù)據(jù)（單位：mm）序列為X=(390.6,412.0,320.0,559.2,380.8,542.4,553.0,310.0,561.0,300.0,632.0,540.0,406.2,313.8,576.0,586.6,318.5)如果將年平均降雨量低于320mm時(shí)認(rèn)為旱災(zāi)發(fā)生，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)下一次旱災(zāi)發(fā)生在幾年后？解：取災(zāi)變值為a=320,得下限災(zāi)變序列為Xa=(x(3),x(8),x(10),x(14),x(17))=(320.0,310.0,300.0,313.8,318.5)與之對(duì)應(yīng)的災(zāi)變?nèi)掌谛蛄袨镼0=(q(1),q(2),q(3),q(4),q(5))=(3,8,10,14,17)其1-AGO序列為Q1=(3,11,21,35,52)的緊鄰均值生成序列為Z1=(7,16,28,43.5)設(shè)q(k)+az1(k)=b,易知B,Y,由最小二乘法得[a,b]=[-0.2536616.258339]故災(zāi)變?nèi)掌谛蛄械腉M(1,1)序號(hào)響應(yīng)式為即由此可得Q0的模擬序列為由得殘差序列為再由相對(duì)誤差序列由此可計(jì)算出平均相對(duì)誤差為平均相對(duì)精度為1-=97.81%，故可用進(jìn)行預(yù)測(cè)，即從最近一次旱災(zāi)發(fā)生的日期算起，5年以后，可能發(fā)生旱災(zāi)。為了提高預(yù)測(cè)的可靠程度，可以取若干個(gè)不同的異常值，建立多個(gè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。計(jì)算的MATLAB程序如下：clc,cleara=[390.6,412,320,559.2,380.8,542.4,553,310,561,300,632,540,406.2,313.8,576,587.6,318.5]';t0=find(a<=320);t1=cumsum(t0);n=length(t1);B=[-0.5*(t1(1:end-1)+t1(2:end)),ones(n-1,1)];Y=t0(2:end);r=B\Yy=dsolve('Dy+a*y=b','y(0)=y0');y=subs(y,{'a','b','y0'},{r(1),r(2),t1(1)});yuce1=subs(y,'t',[0:n+1])digits(6),y=vpa(y)%為提高預(yù)測(cè)精度，先計(jì)算預(yù)測(cè)值，再顯示微分方程的解yuce=diff(yuce1);yuce=[t0(1),yuce]例北方某城市1986～1992年道路交通噪聲平均聲級(jí)數(shù)據(jù)見(jiàn)表6

表6市近年來(lái)交通噪聲數(shù)據(jù)[dB(A)]經(jīng)驗(yàn)證，該模型的精度較高，可進(jìn)行預(yù)測(cè)和預(yù)報(bào)。計(jì)算的MATLAB程序如下：clc,clearx0=[71.172.472.472.171.472.071.6];n=length(x0);lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n)range=minmax(lamda)x1=cumsum(x0)fori=2:nz(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1));endB=[-z(2:n)',ones(n-1,1)];Y=x0(2:n)';u=B\Yx=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0');x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x1(1)});yuce1=subs(x,'t',[0:n-1]);digits(6),y=vpa(x)%為提高預(yù)測(cè)精度，先計(jì)算預(yù)測(cè)值，再顯示微分方程的解yuce=[x0(1),diff(yuce1)]epsilon=x0-yuce%計(jì)算殘差delta=abs(epsilon./x0)%計(jì)算相對(duì)誤差rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda%計(jì)算級(jí)比偏差值6灰色人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型？灰色GM（1，1）模型利用累加生成后的新數(shù)據(jù)建模，在一定程度上弱化了原始數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，容易找出數(shù)據(jù)變換規(guī)律，且具有建模所需樣本少的優(yōu)點(diǎn)。而人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有很強(qiáng)的魯棒性和容錯(cuò)性,同時(shí)由于結(jié)構(gòu)上的并行性,使得它有很強(qiáng)大的并行處理能力、自學(xué)習(xí)、自組織、自適應(yīng)能力,可以充分逼近任意復(fù)雜的非線性關(guān)系。灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的提出正是結(jié)合了二者的優(yōu)點(diǎn)。灰色BP網(wǎng)絡(luò)建模原理及方法設(shè)有時(shí)間序列{x0(i)},i=1,2,…,n,利用GM(1,1)模型可得模擬值定義：時(shí)刻L的原始數(shù)據(jù)x0(L)與GM(1,1)模型模擬值之差，記為,即1)建立殘差序列{}的BP網(wǎng)絡(luò)模型設(shè){}為殘差序列，i=1,2,…,n,若預(yù)測(cè)階數(shù)為S,即用的信息來(lái)預(yù)測(cè)i時(shí)刻的值，將作為BP網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)