第三章布朗運動2

§2.與布朗運動有關的隨機過程過程1：d維布朗運動過程2：布朗運動相關函數(shù)均值函數(shù)布朗運動是一個高斯過程性質帶漂移的布朗運動的民用航空發(fā)動機實時性能可靠性預測，航空動力學報2009，Vol.1,No.12.任淑紅布朗運動是一個高斯過程證明對任意自然數(shù)不是一般性，取n個不同的時間指標定義增量則過程3：布朗橋則稱

為從0到0的布朗橋均值函數(shù)相關函數(shù)性質，從0到0的布朗橋是高斯過程例設常數(shù)定義從a到b的布朗橋：證明：(2)從a到b的布朗橋是高斯過程,且

布朗橋在研究經(jīng)驗分布函數(shù)中起著非常重要的作用。設X1,X2,…Xn,…獨立同分布，Xn~U(0,1)，對0<s<1,記Nn(s)表示前n個X1,X2,…Xn

中取值不超過s的個數(shù)，稱Fn(s)為經(jīng)驗分布函數(shù)。顯然Nn(s)~B(n,s)，由強大數(shù)定理有補充：布朗橋在統(tǒng)計中的應用由格利汶科-康泰利定理可以得到更強的結果，即Fn(s)以概率1一致地收斂于s.則所以的極限過程是一正態(tài)過程?？梢宰C明的聯(lián)合分布趨于二維正態(tài)分布。所以當n→∞時，的極限過程即為布朗橋過程。一般的，設X1,X2,…Xn,…獨立同分布，F(xiàn)(x)為分布函數(shù)，則隨機變量F(Xi)~U(0,1)。記類似可討論的極限分布。過程:4：幾何布朗運動（指數(shù)布朗運動）均值函數(shù)相關函數(shù)股票價格服從幾何布朗運動的證明謝惠揚過程5：反射布朗運動均值函數(shù)過程6：奧恩斯坦-烏倫貝克過程其中均值函數(shù)相關函數(shù)補充：隨機變量序列或隨機過程均方極限均方連續(xù)均方可導均方可積1．均方極限的定義定義設如果則稱{Xn,n=1,2,…}均方收斂于X,或稱X為{Xn,n=1,2,…}的均方極限，記為2

均方連續(xù)設{X(t),t∈T}是二階矩過程,t0∈T,若則稱{X(t),t∈T}在t0處均方連續(xù)

若對任意的t∈T,{X(t),t∈T}在t處均方連續(xù),則稱

{X(t),t∈T}在T上均方連續(xù).

或稱

{X(t),t∈T}是均方連續(xù)的.1.均方連續(xù)定義3

均方導數(shù)1.均方導數(shù)的定義

設是二階矩過程，若均方極限存在,則稱此極限為在t0點的均方導數(shù).或這時稱在t0處均方可導．記為

4

均方積分1.均方積分的定義設{X(t),t∈[a,b]}是二階矩過程，f(t,u)是[a,b]×U上的普通函數(shù)，對區(qū)間[a,b]

任一劃分作和式如果以下均方極限存在該均方極限值Y(u)稱為在[a,b]上的均方積分.且此極限不依懶于對[a,b]的分法及的取法,則稱在[a,b]上均方可積.記為即結論

設二階矩過程{X(t),t∈T}均方可導.則(1)導數(shù)過程的均值函數(shù)等于原過程均值函數(shù)的導數(shù)，即(2)導數(shù)過程和原過程的互相關函數(shù)等于原過程的相關函數(shù)關于s的偏導數(shù)，即(3)原過程和導數(shù)過程的互相關函數(shù)等于原過程的相關函數(shù)關于t的偏導數(shù)，即的的(4)導數(shù)過程相關函數(shù)等于原過程相關函數(shù)的二階混合偏導數(shù)，即是參數(shù)為定義設的Wiener過程.如果存在實隨機過程以為其相關函數(shù)，則稱該過程為Wiener過程的導數(shù)過程．記為從而稱參數(shù)為的Wiener過程的導數(shù)過程為參數(shù)為的白噪聲過程或白噪聲.七.布朗運動的導數(shù)過程八.布朗運動的積分過程積分布朗運動是正態(tài)過程九：在某點被吸收的布朗運動本章作業(yè)1.2.3.6