第三章布朗運(yùn)動(dòng)2

§2.與布朗運(yùn)動(dòng)有關(guān)的隨機(jī)過(guò)程過(guò)程1：d維布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程2：布朗運(yùn)動(dòng)相關(guān)函數(shù)均值函數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)高斯過(guò)程性質(zhì)帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)的民用航空發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)時(shí)性能可靠性預(yù)測(cè)，航空動(dòng)力學(xué)報(bào)2009，Vol.1,No.12.任淑紅布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)高斯過(guò)程證明對(duì)任意自然數(shù)不是一般性，取n個(gè)不同的時(shí)間指標(biāo)定義增量則過(guò)程3：布朗橋則稱

為從0到0的布朗橋均值函數(shù)相關(guān)函數(shù)性質(zhì)，從0到0的布朗橋是高斯過(guò)程例設(shè)常數(shù)定義從a到b的布朗橋：證明：(2)從a到b的布朗橋是高斯過(guò)程,且

布朗橋在研究經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)中起著非常重要的作用。設(shè)X1,X2,…Xn,…獨(dú)立同分布，Xn~U(0,1)，對(duì)0<s<1,記Nn(s)表示前n個(gè)X1,X2,…Xn

中取值不超過(guò)s的個(gè)數(shù)，稱Fn(s)為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。顯然Nn(s)~B(n,s)，由強(qiáng)大數(shù)定理有補(bǔ)充：布朗橋在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用由格利汶科-康泰利定理可以得到更強(qiáng)的結(jié)果，即Fn(s)以概率1一致地收斂于s.則所以的極限過(guò)程是一正態(tài)過(guò)程?？梢宰C明的聯(lián)合分布趨于二維正態(tài)分布。所以當(dāng)n→∞時(shí)，的極限過(guò)程即為布朗橋過(guò)程。一般的，設(shè)X1,X2,…Xn,…獨(dú)立同分布，F(xiàn)(x)為分布函數(shù)，則隨機(jī)變量F(Xi)~U(0,1)。記類似可討論的極限分布。過(guò)程:4：幾何布朗運(yùn)動(dòng)（指數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)）均值函數(shù)相關(guān)函數(shù)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的證明謝惠揚(yáng)過(guò)程5：反射布朗運(yùn)動(dòng)均值函數(shù)過(guò)程6：奧恩斯坦-烏倫貝克過(guò)程其中均值函數(shù)相關(guān)函數(shù)補(bǔ)充：隨機(jī)變量序列或隨機(jī)過(guò)程均方極限均方連續(xù)均方可導(dǎo)均方可積1．均方極限的定義定義設(shè)如果則稱{Xn,n=1,2,…}均方收斂于X,或稱X為{Xn,n=1,2,…}的均方極限，記為2

均方連續(xù)設(shè){X(t),t∈T}是二階矩過(guò)程,t0∈T,若則稱{X(t),t∈T}在t0處均方連續(xù)

若對(duì)任意的t∈T,{X(t),t∈T}在t處均方連續(xù),則稱

{X(t),t∈T}在T上均方連續(xù).

或稱

{X(t),t∈T}是均方連續(xù)的.1.均方連續(xù)定義3

均方導(dǎo)數(shù)1.均方導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)是二階矩過(guò)程，若均方極限存在,則稱此極限為在t0點(diǎn)的均方導(dǎo)數(shù).或這時(shí)稱在t0處均方可導(dǎo)．記為

4

均方積分1.均方積分的定義設(shè){X(t),t∈[a,b]}是二階矩過(guò)程，f(t,u)是[a,b]×U上的普通函數(shù)，對(duì)區(qū)間[a,b]

任一劃分作和式如果以下均方極限存在該均方極限值Y(u)稱為在[a,b]上的均方積分.且此極限不依懶于對(duì)[a,b]的分法及的取法,則稱在[a,b]上均方可積.記為即結(jié)論

設(shè)二階矩過(guò)程{X(t),t∈T}均方可導(dǎo).則(1)導(dǎo)數(shù)過(guò)程的均值函數(shù)等于原過(guò)程均值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即(2)導(dǎo)數(shù)過(guò)程和原過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)等于原過(guò)程的相關(guān)函數(shù)關(guān)于s的偏導(dǎo)數(shù)，即(3)原過(guò)程和導(dǎo)數(shù)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)等于原過(guò)程的相關(guān)函數(shù)關(guān)于t的偏導(dǎo)數(shù)，即的的(4)導(dǎo)數(shù)過(guò)程相關(guān)函數(shù)等于原過(guò)程相關(guān)函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)，即是參數(shù)為定義設(shè)的Wiener過(guò)程.如果存在實(shí)隨機(jī)過(guò)程以為其相關(guān)函數(shù)，則稱該過(guò)程為Wiener過(guò)程的導(dǎo)數(shù)過(guò)程．記為從而稱參數(shù)為的Wiener過(guò)程的導(dǎo)數(shù)過(guò)程為參數(shù)為的白噪聲過(guò)程或白噪聲.七.布朗運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)數(shù)過(guò)程八.布朗運(yùn)動(dòng)的積分過(guò)程積分布朗運(yùn)動(dòng)是正態(tài)過(guò)程九：在某點(diǎn)被吸收的布朗運(yùn)動(dòng)本章作業(yè)1.2.3.6