2017學年高中數(shù)學2-21.4生活中的優(yōu)化問題舉例含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1.4生活中的優(yōu)化問題舉例［學習目標］1．了解導數(shù)在解決實際問題中的作用．2．掌握利用導數(shù)解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題．[知識鏈接]設兩正數(shù)之和為常數(shù)c，能否借助導數(shù)求兩數(shù)之積的最大值，并由此證明不等式eq\f(a＋b，2)≥eq\r（ab）（a,b＞0)？答設一個正數(shù)為x，則另一個正數(shù)為c－x，兩數(shù)之積為f(x)＝x（c－x）＝cx－x2(0＜x＜c),f′（x）＝c－2x。令f′（x）＝0，即c－2x＝0，得x＝eq\f(c，2）.故當x＝eq\f（c，2）時,f(x）有最大值feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（c，2)）)＝eq\f(c2,4），即兩個正數(shù)的積不大于這兩個正數(shù)的和的平方的eq\f(1,4）。若設這兩個正數(shù)分別為a,b，則有eq\f（a＋b2，4)≥ab(a＞0,b＞0)，即eq\f（a＋b，2）≥eq\r(ab）（a，b＞0），當且僅當a＝b時等號成立．[預習導引］1．生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．2．利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的實質(zhì)是求函數(shù)最值．3．解決優(yōu)化問題的基本思路是eq\o（\s\up7(\x(優(yōu)化問題）→）,\s\do5（))eq\o（\s\up7(\x(用函數(shù)表示的數(shù)學問題））,\s\do5（）)eq\x(優(yōu)化問題的答案)←eq\x(用導數(shù)解決數(shù)學問題)上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數(shù)學建模過程．要點一用料最省問題例1有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處,乙廠與甲廠在河的同側(cè),乙廠位于離河岸40千米的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50千米，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C,從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站解如圖，由題意知，只有點C位于線段AD上某一適當位置時,才能使總費用最省，設點C距點D為xkm，則BC＝eq\r（BD2＋CD2)＝eq\r(x2＋402），又設總的水管費用為y元，依題意有y＝3a（50－x）＋5aeq\r(x2＋402）(0〈x<50）．∴y′＝－3a＋eq\f(5ax，\r（x2＋402））。令y′＝0，解得x＝30,（x＝－30舍去)在（0,50）上，y只有一個極值點，根據(jù)問題的實際意義，函數(shù)在x＝30處取得最小值，此時AC＝50－x＝20（km）．∴供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費用最?。?guī)律方法用料最省問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象，正確書寫函數(shù)表達式，準確求導，結(jié)合實際作答．跟蹤演練1一艘輪船在航行中每小時的燃料費和它的速度的立方成正比．已知速度為每小時10海里時，燃料費是每小時6元,而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元，問輪船的速度是多少時，航行1海里所需的費用總和最小？解設速度為每小時v海里的燃料費是每小時p元，那么由題設的比例關(guān)系得p＝k·v3，其中k為比例系數(shù)(k≠0)，它可以由v＝10,p＝6求得，即k＝eq\f(6,103)＝0。006,于是有p＝0。006v3.又設當船的速度為每小時v海里時，航行1海里所需的總費用為q元，那么每小時所需的總費用是0。006v3＋96（元）,而航行1海里所需時間為eq\f（1,v）小時，所以，航行1海里的總費用為：q＝eq\f（1，v)（0。006v3＋96)＝0。006v2＋eq\f（96,v)。q′＝0。012v－eq\f(96，v2）＝eq\f(0。012,v2)(v3－8000)，令q′＝0,解得v＝20?！弋攙<20時，q′〈0；當v>20時,q′〉0，∴當v＝20時，q取得最小值,即速度為20海里/時時，航行1海里所需費用總和最?。c二面積、容積的最值問題例2如圖,要設計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目（即圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm）,能使矩形廣告面積最小？解設廣告的高和寬分別為xcm，ycm，則每欄的高和寬分別為x－20cm，eq\f（y－25，2）cm，其中x〉20，y>25。兩欄面積之和為2（x－20）·eq\f(y－25,2)＝18000，由此得y＝eq\f(18000,x－20）＋25.廣告的面積S＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(18000,x－20)＋25））＝eq\f(18000x,x－20)＋25x，∴S′＝eq\f（18000［x－20－x],x－202）＋25＝eq\f(－360000,x－202）＋25。令S′>0得x>140，令S′<0得20〈x〈140?！嗪瘮?shù)在（140，＋∞）上單調(diào)遞增，在(20,140）上單調(diào)遞減，∴S（x）的最小值為S(140）．當x＝140時,y＝175.即當x＝140，y＝175時，S取得最小值24500，故當廣告的高為140cm,寬為175cm時，可使廣告的面積最小．規(guī)律方法（1)解決面積、容積的最值問題，要正確引入變量，將面積或容積表示為變量的函數(shù)，結(jié)合實際問題的定義域，利用導數(shù)求解函數(shù)的最值．（2)利用導數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟①找關(guān)系：分析實際問題中各量之間的關(guān)系；②列模型:列出實際問題的數(shù)學模型；③寫關(guān)系:寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x）；④求導：求函數(shù)的導數(shù)f′（x），解方程f′(x）＝0；⑤比較：比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f′（x)＝0的點的函數(shù)值的大小，最大（小）者為最大(小）值；⑥結(jié)論：根據(jù)比較值寫出答案．跟蹤演練2圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底面半徑應怎樣選取,才能使所用的材料最省?解如圖,設圓柱的高為h，底半徑為R,則表面積S＝2πRh＋2πR2，由V＝πR2h,得h＝eq\f(V,πR2），則S（R)＝2πReq\f（V，πR2）＋2πR2＝eq\f（2V，R）＋2πR2，令S′（R)＝－eq\f（2V，R2)＋4πR＝0，解得R＝eq\r（3，\f（V，2π）），從而h＝eq\f(V,πR2)＝eq\f(V，π\(zhòng)b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\r(3,\f（V，2π）)））2)＝eq\r（3,\f(4V,π))＝2eq\r(3,\f(V，2π）)，即h＝2R。因為S(R）只有一個極值，所以它是最小值．所以，當罐的高與底面直徑相等時，所用材料最省．要點三成本最省，利潤最大問題例3甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v千米/時的平方成正比，比例系數(shù)為b（b>0)；固定部分為a元．（1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米/時)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運輸成本最小,汽車應以多大速度行駛？解(1)依題意汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時間為eq\f(s，v)，全程運輸成本為y＝a·eq\f(s,v）＋bv2·eq\f（s,v）＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（a，v）＋bv）），∴所求函數(shù)及其定義域為y＝seq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(a，v)＋bv）），v∈(0，c](2)由題意s、a、b、v均為正數(shù)．y′＝seq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（b－\f（a，v2）)）＝0得v＝eq\r(\f(a，b））.但v∈(0,c]．①若eq\r(\f（a,b）)≤c，則當v＝eq\r（\f(a,b)）時,全程運輸成本y最?。虎谌鬳q\r(\f(a，b)）〉c，則v∈(0,c］，此時y′〈0，即y在(0,c］上為減函數(shù)．所以當v＝c時，y最小．綜上可知，為使全程運輸成本y最小，當eq\r（\f(a,b))≤c時，行駛速度v＝eq\r(\f（a，b))；當eq\r(\f(a,b)）〉c時，行駛速度v＝c。規(guī)律方法正確理解題意，建立數(shù)學模型,利用導數(shù)求解是解題的主要思路．另外需注意:①合理選擇變量，正確給出函數(shù)關(guān)系式．②與實際問題相聯(lián)系．③必要時注意分類討論思想的應用．跟蹤演練3已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C＝100＋4q，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為p＝25－eq\f（1，8）q.求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？解收入R＝q·p＝qeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（25－\f(1，8)q））＝25q－eq\f（1,8)q2，利潤L＝R－C＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(25q－\f(1，8）q2）)－（100＋4q)＝－eq\f(1，8)q2＋21q－100(0〈q〈200）L′＝－eq\f(1,4）q＋21令L′＝0，即－eq\f（1，4）q＋21＝0，求得唯一的極值點q＝84。所以產(chǎn)量為84時，利潤L最大．1．煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時，原油溫度（單位：℃）為f（x)＝eq\f（1,3）x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油溫度的瞬時變化率的最小值是(）A．8 B．eq\f(20，3)C．－1 D．－8答案C解析原油溫度的瞬時變化率為f′（x）＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5），所以當x＝1時，原油溫度的瞬時變化率取得最小值－1.2．設底為等邊三角形的直三棱柱的體積為V，那么其表面積最小時底面邊長為(）A。eq\r（3,V） B．eq\r(3，2V)C．eq\r(3,4V) D．2eq\r（3,V）答案C解析設底面邊長為x，則表面積S＝eq\f（\r(3),2)x2＋eq\f（4\r（3),x)V（x>0）．∴S′＝eq\f（\r(3），x2)（x3－4V)．令S′＝0，得x＝eq\r（3，4V)。3．在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起,做成一個無蓋的方底箱子,箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？解設箱底邊長為xcm,則箱高h＝eq\f（60－x,2）cm，箱子容積V（x)＝x2h＝eq\f（60x2－x3,2）(0＜x＜60）．V′（x)＝60x－eq\f（3，2)x2令V′（x)＝60x－eq\f（3，2)x2＝0，解得x＝0(舍去）或x＝40，并求得V（40）＝16000。由題意知，當x過?。ń咏?）或過大(接近60）時，箱子容積很小,因此,16000是最大值．答當x＝40cm時,箱子容積最大,最大容積是16000cm3.4．統(tǒng)計表明：某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（升)關(guān)于行駛速度x(千米/時)的函數(shù)解析式可以表示為y＝eq\f(1,128000）x3－eq\f(3,80)x＋8（0〈x≤120）．已知甲、乙兩地相距100千米,當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升?解當速度為x千米/時時，汽車從甲地到乙地行駛了eq\f(100，x）小時，設耗油量為h(x)升，依題意得h(x）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，128000）x3－\f（3，80）x＋8）)×eq\f（100，x）＝eq\f（1,1280)x2＋eq\f（800，x)－eq\f（15，4）（0〈x≤120），h′（x）＝eq\f（x,640)－eq\f(800,x2）＝eq\f（x3－803,640x2)(0<x≤120）．令h′（x)＝0，得x＝80。因為x∈(0,80）時,h′(x）<0，h（x)是減函數(shù)；x∈（80,120)時，h′（x)〉0，h（x）是增函數(shù),所以當x＝80時,h（x）取得極小值h（80)＝11。25(升)．因為h(x)在（0，120］上只有一個極小值,所以它是最小值．答汽車以80千米/時勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少,最少為11.25升．1．解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題,在分析問題中的各個變量之間的關(guān)系的基礎(chǔ)上，列出合乎題意的函數(shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義域．注意所求得的結(jié)果一定符合問題的實際意義．2．利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題時，有時會遇到在定義域內(nèi)只有一個點使f′(x)＝0，如果函數(shù)在該點取得極大（小)值,極值就是函數(shù)的最大(小)值，因此在求有關(guān)實際問題的最值時，一般不考慮端點．一、基礎(chǔ)達標1．方底無蓋水箱的容積為256，則最省材料時，它的高為()A．4 B．6C．4.5 D．8答案A解析設底面邊長為x,高為h，則V(x）＝x2·h＝256，∴h＝eq\f(256,x2），∴S（x）＝x2＋4xh＝x2＋4x·eq\f(256,x2)＝x2＋eq\f(4×256，x),∴S′(x)＝2x－eq\f(4×256，x2)。令S′(x)＝0，解得x＝8,∴h＝eq\f（256,82)＝4。2．某銀行準備新設一種定期存款業(yè)務，經(jīng)預算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．已知貸款的利率為0.0486，且假設銀行吸收的存款能全部放貸出去．設存款利率為x,x∈（0,0。0486)，若使銀行獲得最大收益,則x的取值為（)A．0.0162 B．0.0324C．0。0243 D．0。0486答案B解析依題意,得存款量是kx2,銀行支付的利息是kx3,獲得的貸款利息是0.0486kx2,其中x∈(0，0.0486)．所以銀行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0〈x〈0。0486)，則y′＝0。0972kx－3kx2。令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去)．當0<x<0.0324時，y′>0；當0.0324<x<0。0486時，y′<0.所以當x＝0。0324時，y取得最大值,即當存款利率為0.0324時，銀行獲得最大收益．3．如果圓柱軸截面的周長l為定值，則體積的最大值為(）A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（l,6)））3π B．eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（l,3))）3πC．eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（l,4））)3π D．eq\f(1,4）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l，4))）3π答案A解析設圓柱的底面半徑為r，高為h，體積為V，則4r＋2h＝l，∴h＝eq\f(l－4r,2），V＝πr2h＝eq\f(l,2）πr2－2πr3eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0<r〈\f（l，4）））.則V′＝lπr－6πr2,令V′＝0，得r＝0或r＝eq\f(l，6),而r〉0,∴r＝eq\f(l，6）是其唯一的極值點．∴當r＝eq\f（l,6)時，V取得最大值，最大值為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(l,6）)）3π。4．用邊長為120cm的正方形鐵皮做一個無蓋水箱，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接成水箱,則水箱最大容積為（）A．120000cm3 B．128000cm3C．150000cm3 D．158000cm3答案B解析設水箱底邊長為xcm，則水箱高h＝60－eq\f（x,2）(cm）．水箱容積V＝V(x)＝x2h＝60x2－eq\f(x3，2)(0〈x〈120）．V′(x)＝120x－eq\f（3,2）x2。令V′(x）＝0,得x＝0(舍去）或x＝80?？膳袛嗟脁＝80cm時，V取最大值為128000cm3。5．做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27π,且用料最省,則圓柱的底面半徑為________．答案3解析設圓柱的底面半徑為R，母線長為L，則V＝πR2L＝27π，∴L＝eq\f（27，R2)，要使用料最省，只須使圓柱表面積最小，由題意，S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·eq\f(27,R)，∴S′（R）＝2πR－eq\f(54π,R2）＝0，∴R＝3,則當R＝3時,S表最?。?．電動自行車的耗電量y與速度x之間的關(guān)系為y＝eq\f(1,3）x3－eq\f（39，2)x2－40x(x＞0），為使耗電量最小，則其速度應定為________．答案40解析由題設知y′＝x2－39x－40，令y′＞0，解得x＞40,或x＜－1，故函數(shù)y＝eq\f（1，3)x3－eq\f(39,2）x2－40x(x＞0)在［40，＋∞)上遞增，在(0，40］上遞減．∴當x＝40時，y取得最小值．由此得為使耗電量最小，則其速度應定為40.7．學?；虬嗉壟e行活動,通常需要張貼海報進行宣傳．現(xiàn)讓你設計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm.如何設計海報的尺寸,才能使四周空白面積最小？解設版心的高為xdm，則版心的寬為eq\f(128,x）dm,此時四周空白面積為S(x）＝(x＋4）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(128，x）＋2））－128＝2x＋eq\f（512,x）＋8，x>0。求導數(shù)，得S′（x）＝2－eq\f（512,x2)。令S′(x)＝2－eq\f(512，x2）＝0,解得x＝16（x＝－16舍去)．于是寬為eq\f（128，x)＝eq\f(128，16）＝8.當x∈(0,16)時，S′(x)<0；當x∈（16，＋∞)時,S′(x）〉0。因此,x＝16是函數(shù)S(x)的極小值點，也是最小值點．所以，當版心高為16dm,寬為8dm時，能使四周空白面積最?。⒛芰μ嵘?．把長為12cm的細鐵絲截成兩段，各自擺成一個正三角形，那么這兩個正三角形的面積之和的最小值是（)A。eq\f（3,2)eq\r(3)cm2 B．4cm2C．3eq\r(2）cm2 D．2eq\r（3）cm2答案D解析設一個正三角形的邊長為xcm，則另一個正三角形的邊長為（4－x)cm，則這兩個正三角形的面積之和為S＝eq\f(\r（3）,4）x2＋eq\f（\r(3)，4）(4－x）2＝eq\f（\r（3)，2)［（x－2）2＋4]≥2eq\r(3)(cm2），故選D.9．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品,成本增加100元,若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f（x3，900）＋400x，0≤x≤390，90090，x〉390，）)則當總利潤最大時，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是(）A．150 B．200C．250 D．300答案D解析由題意得，總利潤P(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f（x3,900）＋300x－20000,0≤x≤390，70090－100x，x〉390，）)令P′(x）＝0，得x＝300,故選D。10．為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱,污水從A孔流入,經(jīng)沉淀后從B孔流出,設箱體的長為a米，高為b米．已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a，b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米,問當a＝________，b＝________時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最?。ˋ，B孔的面積忽略不計）．答案63解析設y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù),則y＝eq\f(k，ab），其中k（k>0)為比例系數(shù)．依題意，即所求的a，b值使y值最小，根據(jù)題設，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0）得b＝eq\f（30－a,2＋a）.于是y＝eq\f(k,ab)＝eq\f（k,\f(30a－a2,2＋a)）＝eq\f（k2＋a，30a－a2)。(0〈a<30）令y′＝eq\f（a2k＋4ak－60k，30a－a22）＝0得a＝6或a＝－10(舍去)．∵只有一個極值點，∴此極值點即為最值點．當a＝6時,b＝3，即當a為6米，b為3米時,經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最?。?1．某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2＋eq\r（x)）x萬元．假設橋墩等距離分布,所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元．(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)當m＝640米時，需新建多少個橋墩才能使y最??？解（1）設需新建n個橋墩,則(n＋1)x＝m，即n＝eq\f（m,x）－1。所以y＝f（x)＝256n＋(n＋1）(2＋eq\r(x）)x＝256eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(m,x）－1）)＋eq\f（m,x)（2＋eq\r(x)）x＝eq\f(256m，x)＋meq\r(x）＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x）＝－eq\f(256m，x2）＋eq\f（1,2）mx－eq\f（1,2)＝eq\f(m，2x2)（xeq\f(3，2)－512)．令f′(x)＝0，得xeq\f（3，2)＝512,所以x＝64.當0〈x〈64時，f′（x)<0，f（x)在區(qū)間(0，64)內(nèi)為減函數(shù)；當64〈x〈640時，f′(x)〉0，f（x）在區(qū)間(64，640)內(nèi)為增函數(shù),所以f（x）在x＝64處取得最小值．此時n＝eq\f(m,x)－1＝eq\f（640,64)－1＝9。故需新建9個橋墩才能使y最?。?2．一火車鍋爐每小時煤消耗費用與火車行駛速度的立方成正比，已知當速度為20km/h時，每小時消耗的煤價值40元,其他費用每小時需200元,火車的最高速度為100km/h，火車以何速度行駛才能使從甲城開往乙城的總費用最少？解設速度為xkm/h,甲、乙兩城距離為akm.則總費用f（x）＝（kx3＋200)·eq\f(a，x)＝a（kx2＋eq\f（200，x）)．由已知條件，得40＝k·203，∴k＝eq\f(1,200)，∴f（x)＝aeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，200)x2＋\f（200，x））)(0＜x＜100)．令f′（x)＝eq\f（ax3－20000，100x2)＝0，得x＝10eq\r（3,20）。當0〈x<10eq\r(3，20）時，f′(x)〈0；當10eq\r(3,20)〈x<