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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE22學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法,會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值。2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問題.知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果__________,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是增加的;如果__________,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是減少的.2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(1)極大值:在點(diǎn)x=a附近,滿足f(a)≥f(x),當(dāng)x〈a時(shí),__________,當(dāng)x>a時(shí),__________,則點(diǎn)a叫作函數(shù)的極大值點(diǎn),f(a)叫作函數(shù)的極大值;(2)極小值:在點(diǎn)x=a附近,滿足f(a)≤f(x),當(dāng)x〈a時(shí),__________,當(dāng)x〉a時(shí),__________,則點(diǎn)a叫作函數(shù)的極小值點(diǎn),f(a)叫作函數(shù)的極小值.知識(shí)點(diǎn)二求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟1.求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的________.2.將函數(shù)y=f(x)的各極值與__________________________________________________比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值.類型一導(dǎo)數(shù)中的數(shù)形結(jié)合思想例1已知函數(shù)y=xf′(x)的圖像如圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),則y=f(x)的圖像大致是()反思與感悟研究一個(gè)函數(shù)的圖像與其導(dǎo)函數(shù)圖像之間的關(guān)系時(shí),注意抓住各自的關(guān)鍵要素.對(duì)于原函數(shù),要重點(diǎn)考查其圖像在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;而對(duì)于導(dǎo)函數(shù),則應(yīng)考查其函數(shù)值在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)大于零,在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)小于零,并考查這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致.跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)f(x)=lnx-eq\f(1,2)x2的大致圖像是()類型二構(gòu)造函數(shù)求解命題角度1比較函數(shù)值的大小例2已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=f′(x),當(dāng)x≠0時(shí),f′(x)+eq\f(fx,x)<0,若a=eq\f(1,2)f(eq\f(1,2)),b=-eq\r(2)f(-eq\r(2)),c=(lneq\f(1,2))f(lneq\f(1,2)),則a,b,c的大小關(guān)系正確的是()A.a(chǎn)〈c<bB.b<c〈aC.a(chǎn)〈b〈cD.c<a<b反思與感悟本例中根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x),通過g′(x)確定g(x)的單調(diào)性,進(jìn)而確定函數(shù)值的大小,此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).跟蹤訓(xùn)練2設(shè)f(x)、g(x)是定義在R上的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù),且f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,則當(dāng)a<x〈b時(shí)有()A.f(x)g(x)>f(b)g(b)B.f(x)g(a)〉f(a)g(x)C.f(x)g(b)〉f(b)g(x)D.f(x)g(x)〉f(a)g(a)命題角度2求解不等式例3定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x),滿足f(x)〈f′(x),且f(0)=2,則不等式f(x)〉2ex的解集為()A.(-∞,0) B.(-∞,2)C.(0,+∞) D.(2,+∞)反思與感悟根據(jù)所求結(jié)論與已知條件,構(gòu)造函數(shù)g(x)=eq\f(fx,ex),通過導(dǎo)函數(shù)判斷g(x)的單調(diào)性,利用單調(diào)性得到x的取值范圍.跟蹤訓(xùn)練3函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(-1)=2,對(duì)任意x∈R,f′(x)>2,則f(x)>2x+4的解集為()A.(-1,1) B.(-1,+∞)C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)類型三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值例4已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b的圖像上一點(diǎn)P(1,0),且在點(diǎn)P處的切線與直線3x+y=0平行.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,t](0<t〈3)上的最大值和最小值;(3)在(1)的結(jié)論下,關(guān)于x的方程f(x)=c在區(qū)間[1,3]上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.反思與感悟(1)求極值時(shí)一般需確定f′(x)=0的點(diǎn)和單調(diào)性,對(duì)于常見連續(xù)函數(shù),先確定單調(diào)性即可得極值點(diǎn),當(dāng)連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)只有一個(gè)時(shí),相應(yīng)的極值點(diǎn)必為函數(shù)的最值點(diǎn).(2)求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值時(shí),對(duì)函數(shù)極值是極大值還是極小值可不再作判斷,只需要直接與端點(diǎn)的函數(shù)值比較即可獲得.跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)=ax3+(a-1)x2+48(a-2)x+b的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;(3)當(dāng)x∈[1,5]時(shí),求函數(shù)的最值.類型四導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用例5已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)在(-1,1)上是減少的,若存在,求出a的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說明理由.反思與感悟在已知函數(shù)f(x)是增函數(shù)(或減函數(shù))求參數(shù)的取值范圍時(shí),應(yīng)令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立理論求解),然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f′(x)恒等于0,若能恒等于0,則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去;若f′(x)不能恒等于0,則由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的參數(shù)的取值范圍來確定.跟蹤訓(xùn)練5(1)若函數(shù)f(x)=4x3-ax+3的單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(1,2))),則實(shí)數(shù)a的值是多少?(2)若函數(shù)f(x)=4x3-ax+3在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(1,2)))上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為多少?1.已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx的圖像如圖所示,則xeq\o\al(2,1)+xeq\o\al(2,2)等于()A。eq\f(4,3) B。eq\f(7,3)C.eq\f(8,3) D.eq\f(16,3)2.已知f(x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足xf′(x)+f(x)≤0,對(duì)任意的正數(shù)a,b,若a〈b,則必有()A.bf(b)≤af(a) B.bf(a)≤af(b)C.a(chǎn)f(a)≤bf(b) D.a(chǎn)f(b)≤bf(a)3.設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),將y=f(x)和y=f′(x)的圖像畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中,則不可能正確的是()4.已知函數(shù)f(x)=eq\f(ax+1,x+2)在(-2,+∞)內(nèi)是減少的,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.5.已知函數(shù)f(x)=2lnx+eq\f(a,x2)(a〉0),若當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)≥2恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.導(dǎo)數(shù)作為一種重要的工具,在研究函數(shù)中具有重要的作用,例如函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等問題,都可以通過導(dǎo)數(shù)得以解決.不但如此,利用導(dǎo)數(shù)研究得到函數(shù)的性質(zhì)后,還可以進(jìn)一步研究方程、不等式等諸多代數(shù)問題,所以一定要熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的各種方法.
答案精析知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一1.f′(x)>0f′(x)<02.(1)f′(x)〉0f′(x)<0(2)f′(x)<0f′(x)>0知識(shí)點(diǎn)二1.極值2.端點(diǎn)處函數(shù)值f(a),f(b)題型探究例1C[當(dāng)0〈x<1時(shí),xf′(x)〈0,∴f′(x)<0,故y=f(x)在(0,1)上為減函數(shù),排除A、B選項(xiàng).當(dāng)1<x<2時(shí),xf′(x)〉0,∴f′(x)〉0,故y=f(x)在(1,2)上為增函數(shù),因此排除D。]跟蹤訓(xùn)練1B[函數(shù)f(x)=lnx-eq\f(1,2)x2的定義域?yàn)椋?,+∞),f′(x)=eq\f(1,x)-x=eq\f(1-x2,x)=eq\f(1+x1-x,x).令f′(x)〉0,得eq\f(1+x1-x,x)>0.又因?yàn)閤〉0,所以(1+x)(1-x)>0,所以0<x<1。同理,令f′(x)〈0,解得x>1.于是當(dāng)0<x〈1時(shí),函數(shù)f(x)是增函數(shù);當(dāng)x〉1時(shí),函數(shù)f(x)是減函數(shù);當(dāng)x=1時(shí),f(x)=-eq\f(1,2)〈0.結(jié)合以上特征可知應(yīng)選B。]例2B[令g(x)=xf(x),則g(-x)=(-x)f(-x)=xf(x),∴g(x)是偶函數(shù).g′(x)=f(x)+xf′(x),∵f′(x)+eq\f(fx,x)〈0,∴當(dāng)x〉0時(shí),xf′(x)+f(x)〈0,當(dāng)x〈0時(shí),xf′(x)+f(x)〉0.∴g(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).∵eq\f(1,2)<ln2〈1<eq\r(2),∴g(eq\r(2))〈g(ln2)<g(eq\f(1,2)).∵g(x)是偶函數(shù),∴g(-eq\r(2))=g(eq\r(2)),g(lneq\f(1,2))=g(ln2),∴g(-eq\r(2))〈g(lneq\f(1,2))〈g(eq\f(1,2)).故選B。]跟蹤訓(xùn)練2C[由條件,得[eq\f(fx,gx)]′=eq\f(f′xgx-fxg′x,[gx]2)<0,∴eq\f(fx,gx)在(a,b)上是減函數(shù).∴eq\f(fb,gb)<eq\f(fx,gx)<eq\f(fa,ga),∴f(x)g(b)〉f(b)g(x).]例3C[設(shè)g(x)=eq\f(fx,ex),則g′(x)=eq\f(f′x-fx,ex)?!遞(x)<f′(x),∴g′(x)>0,即函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2,則不等式等價(jià)于g(x)〉g(0).∵函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,∴x>0,即不等式的解集為(0,+∞),故選C.]跟蹤訓(xùn)練3B[令g(x)=f(x)-2x-4,∵f′(x)〉2,則g′(x)=f′(x)-2>0.又由g(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0,得g(x)〉0,即g(x)>g(-1)的解為x>-1,∴f(x)〉2x+4的解集為(-1,+∞).]例4解(1)因?yàn)閒′(x)=3x2+2ax,曲線在P(1,0)處的切線斜率為f′(1)=3+2a,即3+2a=-3,a=-3.又函數(shù)過(1,0)點(diǎn),即-2+b=0,b=2。所以a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2.(2)由f(x)=x3-3x2+2,得f′(x)=3x2-6x.由f′(x)=0,得x=0或x=2.①當(dāng)0〈t≤2時(shí),在區(qū)間(0,t)上,f′(x)<0,f(x)在[0,t]上是減函數(shù),所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t)=t3-3t2+2。②當(dāng)2<t〈3時(shí),當(dāng)x變化時(shí),f′(x)、f(x)的變化情況如下表:x0(0,2)2(2,t)tf′(x)0-0++f(x)2-2t3-3t2+2f(x)min=f(2)=-2,f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個(gè).因?yàn)閒(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0,所以f(x)max=f(0)=2.(3)令g(x)=f(x)-c=x3-3x2+2-c,則g′(x)=3x2-6x=3x(x-2).當(dāng)x∈[1,2)時(shí),g′(x)〈0;當(dāng)x∈(2,3]時(shí),g′(x)〉0。要使g(x)=0在[1,3]上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1≥0,,g2〈0,,g3≥0,))解得-2〈c≤0。即實(shí)數(shù)c的取值范圍為(-2,0].跟蹤訓(xùn)練4解(1)∵函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,則f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),即-ax3+(a-1)x2-48(a-2)x+b=-ax3-(a-1)x2-48(a-2)x-b,于是2(a-1)x2+2b=0恒成立,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a-1=0,,b=0,))解得a=1,b=0.(2)由(1)得f(x)=x3-48x,∴f′(x)=3x2-48=3(x+4)(x-4),令f′(x)=0,得x1=-4,x2=4。令f′(x)〈0,得-4〈x〈4;令f′(x)〉0,得x<-4或x〉4?!鄁(x)的遞減區(qū)間為(-4,4),遞增區(qū)間為(-∞,-4)和(4,+∞).∴f(x)極大值=f(-4)=128,f(x)極小值=f(4)=-128。(3)由(2)知,函數(shù)在[1,4]上是減少的,在[4,5]上是增加的,f(4)=-128,f(1)=-47,f(5)=-115,∴函數(shù)的最大值為-47,最小值為-128.例5解(1)f′(x)=3x2-a,因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù),所以f′(x)≥0在R上恒成立,即3x2-a≥0在R上恒成立.即a≤3x2,而3x2≥0,所以a≤0。當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x3-1在R上單調(diào)遞增,符合題意.所以a的取值范圍是(-∞,0].(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使f(x)在(-1,1)上是減少的,則f′(x)≤0在(-1,1)上恒成立.即3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,即a≥3x2,又因?yàn)樵冢ǎ?,1)上,0〈3x2<3,所以a≥3.當(dāng)a=3時(shí),f′(x)=3x2-3,在(-1,1)上,f′(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上是減少的,即a=3符合題意,所以存在實(shí)數(shù)a,使f(x)在(-1,1)上是減少的,且a的取值范圍是[3,+∞).跟蹤訓(xùn)練5解(1)f′(x)=12x2-a,∵f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(1,2))),∴x=±eq\f(1,2)為f′(x)=0的兩個(gè)根,∴a=3.(2)若f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(1,2)))上為單調(diào)增函數(shù),則f′(x)≥0在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(1,2)))上恒成立,即12x
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