2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章解三角形3解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例學(xué)案5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE3解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用正弦、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中有關(guān)不可到達(dá)點(diǎn)距離的測(cè)量問(wèn)題.2.培養(yǎng)提出問(wèn)題、正確分析問(wèn)題、獨(dú)立解決問(wèn)題的能力．知識(shí)點(diǎn)一常用角思考試畫出“北偏東60°"和“南偏西45°”的示意圖．梳理在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)常會(huì)遇到一些有關(guān)角的術(shù)語(yǔ)，請(qǐng)查閱資料后填空：（1）方向角指北或指南方向線與目標(biāo)方向所成的小于________度的角．（2）仰角與俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平線________時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平線________時(shí)叫俯角．(如下圖所示）知識(shí)點(diǎn)二測(cè)量方案思考如何不登月測(cè)量地月距離？梳理測(cè)量某個(gè)量的方法有很多,但是在實(shí)際背景下，有些方法可能沒(méi)法實(shí)施，比如解決不能到達(dá)的實(shí)際測(cè)量問(wèn)題．這個(gè)時(shí)候就需要設(shè)計(jì)方案繞開(kāi)障礙間接地達(dá)到目的．設(shè)計(jì)測(cè)量方案的基本任務(wù)是把目標(biāo)量轉(zhuǎn)化為可測(cè)量的量，并盡可能提高精確度．一般來(lái)說(shuō)，基線越長(zhǎng),精確度越高．類型一測(cè)量不可到達(dá)點(diǎn)間的距離例1如圖,設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離,測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是55m,∠BAC＝51°，∠ACB＝75°。求A、B兩點(diǎn)間的距離(精確到0.1m)．反思與感悟解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程一般要充分理解題意，正確作出圖形，把實(shí)際問(wèn)題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解．跟蹤訓(xùn)練1要測(cè)量對(duì)岸兩點(diǎn)A、B之間的距離,選取相距eq\r（3）km的C、D兩點(diǎn),并測(cè)得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°,∠ADC＝30°,∠ADB＝45°，則A、B之間的距離為_(kāi)_____km。類型二測(cè)量高度例2如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角α＝54°40′，在塔底C處測(cè)得A處的俯角β＝50°1′.已知鐵塔BC部分的高為27.3m,求出山高CD(精確到1m)．反思與感悟利用正弦、余弦定理來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要從所給的實(shí)際背景中，進(jìn)行加工、提煉,抓住本質(zhì)，抽象出數(shù)學(xué)模型，使之轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練2江岸邊有一炮臺(tái)高30m,江中有兩條船,船與炮臺(tái)底部在同一水面上,由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距________m。類型三航海中的測(cè)量問(wèn)題例3如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B，然后從B出發(fā),沿北偏東32°的方向航行54.0nmile后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離?（角度精確到0。1°，距離精確到0。01nmile)反思與感悟解決航海問(wèn)題一要搞清方位角（方向角)，二要弄清不動(dòng)點(diǎn)（三角形頂點(diǎn)），然后根據(jù)條件，畫出示意圖，轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練3甲船在A點(diǎn)發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的B處,乙船以每小時(shí)a海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時(shí)eq\r（3）a海里，問(wèn)甲船應(yīng)沿著什么方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇？1．一艘海輪從A處出發(fā),以40nmile/h的速度沿南偏東40°方向直線航行,30min后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是(）A．10eq\r(2）nmile B．10eq\r(3）nmileC．20eq\r（2)nmile D．20eq\r（3)nmile2．甲、乙兩樓相距20米,從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°,從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是________________．3．如圖所示，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB＝45°,∠CAB＝105°，求A、B兩點(diǎn)的距離．4．為測(cè)量某塔的高度，在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量的數(shù)據(jù)如圖所示,求塔的高度．1．在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個(gè)解,但作為有關(guān)現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用題,必須檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解．2．解三角形的應(yīng)用題時(shí),通常會(huì)遇到兩種情況：(1)已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2）已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究,再逐步在其余的三角形中求出問(wèn)題的解．

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考梳理(1）90(2)上方下方知識(shí)點(diǎn)二思考可以在地球上選兩點(diǎn)，與月亮構(gòu)成三角形,測(cè)量地球上兩點(diǎn)的距離和這兩點(diǎn)看月亮的視角，通過(guò)解三角形求得地月距離．題型探究例1解根據(jù)正弦定理得eq\f(AB，sinC）＝eq\f（AC,sinB)，AB＝eq\f（ACsinC,sinB)＝eq\f（ACsinC,sin180°－A－C）＝eq\f(55sin75°，sin180°－51°－75°)＝eq\f(55sin75°，sin54°）≈65。7（m)．答A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7m.跟蹤訓(xùn)練1eq\r(5)解析如圖，在△ACD中，∠ACD＝120°,∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3）(km)．在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°?！郆C＝eq\f（\r（3)sin75°,sin60°）＝eq\f（\r(6）＋\r(2）,2)（km)．△ABC中，由余弦定理得AB2＝(eq\r（3)）2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r（6）＋\r(2），2)））2－2eq\r（3)×eq\f(\r（6)＋\r（2)，2）×cos75°＝3＋2＋eq\r（3)－eq\r（3）＝5，∴AB＝eq\r(5)(km）．∴A、B之間的距離為eq\r（5）km.例2解在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α,∠BAC＝α－β，∠BAD＝α。根據(jù)正弦定理，eq\f（BC,sinα－β)＝eq\f(AB，sin90°＋β）,所以AB＝eq\f(BCsin90°＋β,sinα－β)＝eq\f（BCcosβ,sinα－β).解Rt△ABD，得BD＝ABsin∠BAD＝eq\f(BCcosβsinα,sinα－β).將測(cè)量數(shù)據(jù)代入上式，得BD＝eq\f（27。3cos50°1′sin54°40′,sin54°40′－50°1′）＝eq\f(27.3cos50°1′sin54°40′，sin4°39′)≈177。4(m）．CD＝BD－BC≈177。4－27。3≈150（m）．答山的高度約為150m。跟蹤訓(xùn)練230解析設(shè)兩條船所在位置分別為A、B兩點(diǎn),炮臺(tái)底部所在位置為C點(diǎn)，在△ABC中，由題意可知AC＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3）（m），BC＝eq\f（30，tan45°）＝30(m），C＝30°,AB2＝(30eq\r(3))2＋302－2×30eq\r(3)×30×cos30°＝900，所以AB＝30（m）．例3解在△ABC中,∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根據(jù)余弦定理，AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC)＝eq\r（67.52＋54。02－2×67。5×54.0×cos137°)≈113.15(nmile）．根據(jù)正弦定理，eq\f（BC,sin∠CAB)＝eq\f（AC，sin∠ABC），sin∠CAB＝eq\f(BCsin∠ABC,AC）＝eq\f(54。0sin137°,113.15)≈0.3255，所以∠CAB＝19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.答此船應(yīng)該沿北偏東56。0°的方向航行，需要航行113。15nmile。跟蹤訓(xùn)練3解如圖所示．設(shè)經(jīng)過(guò)t小時(shí)兩船在C點(diǎn)相遇，則在△ABC中，BC＝at(海里),AC＝eq\r(3）at(海里），B＝90°＋30°＝120°，由eq\f（BC，sin∠CAB)＝eq\f(AC，sinB)得:sin∠CAB＝eq\f（BCsinB,AC)＝eq\f（at·sin120°，\r(3)at）＝eq\f(\f（\r(3），2),\r(3）)＝eq\f(1,2），∵0°<∠CAB〈90°，∴∠CAB＝30°?！唷螪AC＝60°－30°＝30°.∴甲船應(yīng)沿著北偏東30°的方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇．當(dāng)堂訓(xùn)練1．A2.20eq\r（3）米、eq\f（40,3）eq\r（3）米3．解由題意知∠ABC＝30°，由正弦定理eq\f(AC，sin∠ABC）＝eq\f（AB，sin∠ACB），故AB＝eq\f(AC·sin∠ACB，sin∠ABC)＝eq\f（50×\f(\r（2），2),\f（1,2）)＝50eq\r(2)（m)．4．解在△ABT中，∠ATB＝21。4°－18.6°＝2。8°,∠ABT＝90°＋18。6°,AB＝15(m)．根據(jù)正弦定理，eq\f(15，sin2。8°