第6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)09-10-1

第6章無限長單位脈沖響應(yīng)（IIR）

數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法6.1基本概念6.2

常用模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法6.3模擬濾波器的頻率變換6.4

用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器6.5

用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器

學(xué)習(xí)目標(biāo)理解數(shù)字濾波器的基本概念掌握Butterworth低通濾波器的特點(diǎn)了解利用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的過程了解利用頻帶變換法設(shè)計(jì)各種類型濾波器的方法掌握脈沖響應(yīng)不變法掌握雙線性變換法0001§6.1基本概念

數(shù)字濾波器：是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。優(yōu)點(diǎn)：

高精度、高穩(wěn)定性、體積小、重量輕、靈活；不要求阻抗匹配；可實(shí)現(xiàn)特殊濾波功能；通過A/DC和D/AC，使用數(shù)字濾波器對模擬信號處理

一、

數(shù)字濾波器的分類1、一般分類經(jīng)典濾波器：輸入信號中的有用頻率成分和希望濾除的頻率成分占用不同頻帶

通過選頻濾波器達(dá)到濾波目的現(xiàn)代濾波器：信號和干擾的頻帶相互重疊，要利用信號的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，從干擾中最佳提取信號，如：維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等w0-|H(ejw)|低通(LF)頻率響應(yīng)2····-2w0-|H(ejw)|高通(HF)頻率響應(yīng)2····-2w0-|H(ejw)|帶通BF頻率響應(yīng)2····-2w0-|H(ejw)|帶阻BS頻率響應(yīng)2····-2特點(diǎn)：(1)單位脈沖響應(yīng)是非因果且無限長，不可能實(shí)現(xiàn)，只能盡可能逼近；(2)DF的傳輸函數(shù)是以2為周期，低通的中心頻帶處于2的整數(shù)倍處，高通的中心頻帶處于的奇數(shù)倍附近。

2、按功能分：LP、HP、BP、BS、全通濾波器

0101如何用實(shí)際特性逼近理想特性？3、按實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或單位抽樣響應(yīng)分：IIR濾波器（N階）FIR濾波器（N-1階）全極點(diǎn)系統(tǒng)或零、極點(diǎn)系統(tǒng)全零點(diǎn)系統(tǒng)

二、

數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程

1）按設(shè)計(jì)任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技術(shù)指標(biāo)；

2）用一個(gè)因果穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指標(biāo)，根據(jù)不同要求可以用IIR系統(tǒng)函數(shù)，也可以用FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近；

3）利用有限精度算法實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運(yùn)算結(jié)構(gòu)、字長的選擇等。

三、數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)|H(ejw)|—系統(tǒng)的幅頻特性：表示信號通過該濾波器后各頻率成分衰減情況。β(ejw)—系統(tǒng)的相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。兩個(gè)濾波器幅頻特性相同，相頻特性可能不一樣，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣的。選頻濾波器的技術(shù)指標(biāo)由幅頻特性給出，對相頻特性一般不作要求，但如果對輸出波形有要求，則需要考慮相頻特性的技術(shù)指標(biāo)，例如，語音合成、波形傳輸、圖像信號處理等。本章主要研究由幅頻特性提出指標(biāo)的選頻濾波器的設(shè)計(jì)。0通帶截止頻率阻帶截止頻率過渡帶通帶阻帶

通帶容限

阻帶容限在通帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以最大誤差δ1逼近于1，即

在阻帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差小于δ2而逼近于零，即

ωs≤|ω|≤π|ω|≤ωp

在過渡帶，從通帶平滑地下降到阻帶在具體技術(shù)指標(biāo)中往往使用通帶允許的最大衰減（波紋）和阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減描述，定義分別為：

假定|H(ej0)|=1(已被歸一化)|H(ejωc)|=0.707，則=3dB；wc為3db通帶截止頻率|H(ejωs)|=0.001，則=60dB。IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(jì)就是確定各系數(shù)ak,bk或零極點(diǎn)ck，dk和A，以使濾波器滿足給定的性能要求。四、

IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)方法通常有以下兩種：

1.先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器wp

,wsαp,αsH(s)H(z)巴特沃思設(shè)計(jì)切比雪夫設(shè)計(jì)脈沖響應(yīng)不變雙線性變換法2.直接設(shè)計(jì)法零極點(diǎn)位置累試法計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法6.2

常用模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法

常用的模擬濾波器原型有:

巴特沃思（Butterworth）濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性切比雪夫（Chebyshev）濾波器幅頻特性在通帶或阻帶有波動橢圓（Ellipse）濾波器通帶和阻帶均為等波紋特性貝塞爾（Bessel）濾波器

通帶內(nèi)有較好的線性相位特性以這些數(shù)學(xué)函數(shù)命名的濾波器是低通濾波器的原型圖

各種理想模擬濾波器的幅頻特性

|Ha(j)|0.707ps通帶阻帶過渡帶10Cps通帶過渡帶阻帶(dB)衰減pS0一、模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法1、模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有：Ωp、Ωs、αp、αsΩp和Ωs分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率;αp是通帶中的最大衰減系數(shù)，αs是阻帶的最小衰減系數(shù)，αp和αs一般用dB數(shù)表示。對于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：圖中Ωc稱為3dB截止頻率，因

2、逼近方法——用頻率響應(yīng)的幅度平方函數(shù)逼近由于濾波器沖激響應(yīng)ha(t)是實(shí)函數(shù)，因而Ha(jΩ)滿足

如何由|Ha(jΩ)|2求Ha(s)？？穩(wěn)定的濾波器要求左半平面的極點(diǎn)一定屬于Ha(s)，則右半平面的極點(diǎn)必屬于Ha(-s)；將以虛軸為對稱軸的對稱零點(diǎn)的任一半作為Ha(s)的零點(diǎn)，虛軸上的零點(diǎn)一半歸Ha(s)。由|Ha(jΩ)|2確定Ha(s)的方法：由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)；將Ha(s)Ha(-s)因式分解，得到各零極點(diǎn)；對比Ha(jΩ)和Ha(s)，確定增益常數(shù)；由零極點(diǎn)及增益常數(shù)，得Ha(s)。二、巴特沃思低通逼近

N為正整數(shù)，代表濾波器的階數(shù)。當(dāng)Ω=0時(shí)，|Ha(j0)|=1；當(dāng)Ω=Ωc時(shí)，|Ha(jΩc)|=0.707，20lg|Ha(j0)/Ha(jΩc)|=3dB，Ωc為3dB截止頻率。（3分貝帶寬）

1)在通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減??；

2)過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減??；

3)N越大，通帶內(nèi)特性越平坦，過渡帶越窄；

4)3dB不變性;1.幅度函數(shù)的特點(diǎn)Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)為

k=0,1,2,…,2N-1

Ha(s)Ha(-s)的2N個(gè)極點(diǎn)等間隔分布在半徑為Ωc的圓上。

2.幅度平方特性的極點(diǎn)分布全極點(diǎn)系統(tǒng)極點(diǎn)在s平面呈象限對稱，分布在巴特沃思圓上，共2N個(gè)；極點(diǎn)間的角度間隔為π/N

rad；極點(diǎn)不會落在虛軸上（起點(diǎn)(π/2)+

(π/2N)）；

N=奇數(shù)實(shí)軸上有極點(diǎn)，N=偶數(shù)實(shí)軸上無極點(diǎn)。

為形成穩(wěn)定的濾波器，Ha(s)Ha(-s)的2N個(gè)極點(diǎn)中只取S左半平面的N個(gè)極點(diǎn)為Ha(s)的極點(diǎn)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)的極點(diǎn)。k=0,1,2,…,2N-1

3.

濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)設(shè)N=3，極點(diǎn)有6個(gè)，它們分別為由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率Ωc歸一化

s/Ωc=jΩ/Ωc

λ=Ω/Ωc，λ稱為歸一化頻率；

p=jλ，p稱為歸一化復(fù)變量，歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為4、歸一化系統(tǒng)函數(shù)pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：將極點(diǎn)展開可得到的Ha(p)的分母p的N階多項(xiàng)式，用下式表示：

（1）確定模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)Ωp,Ωs，αp

αs

；（2）根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N：5.濾波器的設(shè)計(jì)步驟通帶截止頻率關(guān)于Ωc歸一化阻帶截止頻率關(guān)于Ωc歸一化取大于等于N的最小整數(shù)3）求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ha(p)k=0,1,2,…,N-1

巴特沃思圓巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項(xiàng)式的因式分解巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項(xiàng)式系數(shù)

4）去歸一化

通帶指標(biāo)剛好，阻帶指標(biāo)有富裕阻帶指標(biāo)剛好，通帶指標(biāo)有富裕例6-1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。解(1)確定階數(shù)N。

(2)其極點(diǎn)為歸一化傳輸函數(shù)為pk=ej(?+(2k+1)/2N)k=0,1,2,…,N-1由N=5，直接查表得到：極點(diǎn)：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;-1.0000b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361(3)為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率Ωc。得到：將p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：

此時(shí)算出的截止頻率比題目中給出的小，或者說在截止頻率處的衰減大于30dB，所以說阻帶指標(biāo)有富裕量。b0=1.0000、b1=3.2361、b2=5.2361、b3=5.2361、b4=3.23614Chebyshev低通濾波器的設(shè)計(jì)方法比同階的Butterworth濾波器具有更陡峭的過渡帶和更優(yōu)的阻帶衰減特性.振幅具有等波紋.(1)Chebyshev低通濾波器特點(diǎn)，表示通帶波紋大小，越大，波紋越大N：濾波器的階數(shù)幅度平方函數(shù)：：N階Chebyshev多項(xiàng)式幅度函數(shù)特點(diǎn)：N為偶數(shù)N為奇數(shù)

(2)設(shè)計(jì)原理(3)濾波器的設(shè)計(jì)步驟:其中6.3模擬濾波器的頻率變換

AF濾波器LP其他AF濾波器HP,BP,BS設(shè)：傳輸函數(shù)歸一化截止頻率歸一化拉氏變量p=jq=j歸一化傳輸函數(shù)G(p)H(q)各類模擬濾波器的設(shè)計(jì)過程圖

HPBPBS指標(biāo)LP指標(biāo)G(j)傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)頻率變換頻率變換設(shè)計(jì)00低通到高通0例6-2

設(shè)計(jì)高通濾波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性單調(diào)下降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減αs=15dB。解:①高通技術(shù)要求：fp=200Hz,αp=3dB;

fs=100Hz,αs=15dB歸一化頻率②低通技術(shù)要求：

③設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故④求模擬高通H(s)：設(shè)計(jì)技術(shù)成熟有相當(dāng)簡便的公式和圖表模擬濾波器AF由此設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器DF要求DF特性模仿AF的特性實(shí)際上是個(gè)映射問題Mapping離散時(shí)間域(Z平面)轉(zhuǎn)換關(guān)系連續(xù)時(shí)間域(S平面)（1）H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)也即S平面虛軸jΩ必須映射到Z平面的單位圓ejω上（2）因果穩(wěn)定的Ha(s)應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的H(z)

也即S平面的左半平面Re［s］<0必須映射到Z平面單位圓的內(nèi)部|z|<1

對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求:滿足上述轉(zhuǎn)換關(guān)系的映射方法有：脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法一、變換原理數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)，即將ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足：

§6.4用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器Ha(s)H(z)Ha(s)LT-1[Ha(s)]ha(t)時(shí)域采樣h(n)ZT[h(n)]H(z)所以說脈沖響應(yīng)不變法是一種時(shí)域上的變換方法S平面到Z平面的映射關(guān)系為：jS/2-S/23S/2ImZReZ二、混疊失真數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為

數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混疊失真。

|ω|<π任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時(shí)，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。

脈沖響應(yīng)不變法只適合于設(shè)計(jì)LP和BP濾波器圖

脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象

解決混疊的方法：濾波器指標(biāo)以模擬域形式給出，此時(shí)Ha(jΩ)、Ha(s)、ha(t)已確定，采樣頻率T增加，混疊減?。粸V波器指標(biāo)以數(shù)字域形式給出，此時(shí)Ha(jΩ)、Ha(s)、ha(t)未確定，但ωp

ωs已定，采樣頻率增加，為保證ωs不變，必有Ωs增加，增加濾波器的階數(shù)N，混疊減小。

三、模擬濾波器的數(shù)字化方法

設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且假定分母的階數(shù)高于分子的階數(shù)

（1）極點(diǎn)：S平面s=sk

Z平面上z=eskT（2）系數(shù)相同：Ak

（3）穩(wěn)定性不變：S平面Re［sk］<0

Z平面|eskT|<1（4）零點(diǎn)位置沒有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系Ha(s)有共軛復(fù)數(shù)對極點(diǎn)：Ha(s)的極點(diǎn)si一般是一個(gè)復(fù)數(shù)，以共軛成對的形式出現(xiàn)，將一對復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)二階基本節(jié)。AF二階基本節(jié)形式一：極點(diǎn)-1j1－AF二階基本節(jié)形式二：極點(diǎn)-1j1|ω|<π

如果采樣頻率很高，即T很小，數(shù)字濾波器可能具有太高的增益，容易溢出，這是不希望的。為了使數(shù)字濾波器增益不隨采樣頻率而變化，可以作以下簡單的修正，令

h(n)=Tha(nT)

|ω|<π

例6-3設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

試?yán)妹}沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)

解：數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

設(shè)T=1，則有

模擬濾波器的頻率響應(yīng)Ha(jΩ)以及數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)分別為:

把|Ha(jΩ)|和|H(ejω)|畫在圖上。由該圖可看出，由于Ha(jΩ)不是充分限帶的，所以H(ejω)產(chǎn)生了嚴(yán)重的頻譜混疊失真。

圖

例6-3的幅頻特性

四、優(yōu)缺點(diǎn)

1、優(yōu)點(diǎn)：

脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時(shí)域逼近良好；

模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間呈線性關(guān)系ω=ΩT。因而，一個(gè)線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個(gè)線性相位的數(shù)字濾波器。

2、缺點(diǎn)——是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)

脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。不適于高通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)，由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。如果要對高通和帶阻濾波器采用脈沖響應(yīng)不變法，就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。當(dāng)然這樣會進(jìn)一步增加設(shè)計(jì)復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)。§6.5用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器

一、變換原理從S平面到Ｚ平面是多值的映射關(guān)系造成頻率響應(yīng)的混疊失真克服：第一步先將整個(gè)S平面壓縮映射到S1平面的-π/T～π/T一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z=es1T將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。

j1j1S/2-S/2ImZReZ

為了將S平面的整個(gè)虛軸jΩ壓縮到S1平面jΩ1軸上的-π/T到π/T段上，可以通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn)

式中,T仍是采樣間隔。

當(dāng)Ω1由-π/T經(jīng)過0變化到π/T時(shí)，Ω由-∞經(jīng)過0變化到+∞，也即映射了整個(gè)jΩ軸。將式（5-42）寫成

將此關(guān)系解析延拓到整個(gè)S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，則得再將S1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面：

z=es1T

從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為：

S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個(gè)線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換。

二、逼近的情況

雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。

（1）把z=ejω代入式，可得

即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。

（2）將s=σ+jΩ代入式得

由此看出：

當(dāng)σ<0時(shí)，|z|<1；當(dāng)σ>0時(shí)，|z|>1。

即S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。

因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。

三、優(yōu)缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)镾平面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系。S平面整個(gè)jΩ軸單值地對應(yīng)于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。S平面上Ω與Z平面的ω成非線性的正切關(guān)系。

雙線性變換法的頻率變換關(guān)系

在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；當(dāng)Ω進(jìn)一步增加時(shí)，ω增長得越來越慢，最后當(dāng)Ω→∞時(shí)，ω終止在折疊頻率ω=π處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。模擬角頻率Ω和數(shù)字角頻率ω的映射關(guān)系Ha(j)2

頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。

首先，一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；

其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有畸變。

雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射

對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。

四、模擬濾波器的數(shù)字化方法雙線性變換法比起脈沖響應(yīng)不變法來，在設(shè)計(jì)和運(yùn)算上也比較直接和簡單。由于雙線性變換法中，s到z之間的變換是簡單的代數(shù)關(guān)系，即

頻率響應(yīng)也可用直接代換的方法得到

（1）如果給出的是待設(shè)計(jì)的帶通濾波器的數(shù)字域轉(zhuǎn)折頻率（通、阻帶截止頻率）ω1、ω2、ω3、ω4及采樣頻率(1/T)，則直接利用式計(jì)算出相應(yīng)的模擬濾波器的轉(zhuǎn)折頻率Ω1、Ω2、Ω3和Ω4。這樣得到的模擬濾波器Ha(s)的轉(zhuǎn)折頻率Ω1、Ω2、Ω3和Ω4，經(jīng)雙線性變換后就映射到數(shù)字濾波器H(z)的原轉(zhuǎn)折頻率ω1、ω2、ω3和ω4。

設(shè)計(jì)步驟：

如果給出的是待設(shè)計(jì)的帶通濾波器的模擬域轉(zhuǎn)折頻率（通、阻帶截止頻率）f1、f2、f3、f4和采樣頻率(1/T)，則需要先計(jì)算數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)折頻率（通、阻帶截止頻率）ω１、ω2、ω3

和ω4。

ω=2πfT再進(jìn)行預(yù)畸變得Ω1、Ω２、Ω3和Ω4Ha(s)經(jīng)雙線性變換后映射到數(shù)字濾波器H(z)的轉(zhuǎn)折頻率ω1、ω2、ω3、ω4，并且能保證數(shù)字域頻率ω1、ω2、ω3、ω4與給定的模擬域轉(zhuǎn)折頻率f1、f２、f３、f4成線性關(guān)系。

（3）將

代入Ha(s)，得H(z)為

（2）按Ω1、Ω2、Ω3和Ω4等指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)

需要特別強(qiáng)調(diào)的是，若模擬濾波器Ha(s)為低通濾波器，應(yīng)用

變換得到的數(shù)字濾波器H(z)也是低通濾波器；若Ha(s)為高通濾波器，應(yīng)用

變換得到的數(shù)字濾波器H(z)也是高通濾波器;若為帶通、帶阻濾波器也是如此。

在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，當(dāng)強(qiáng)調(diào)模仿濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法較好;而在其余情況下，大多采用雙線性變換法。

求H(z)時(shí)，若階數(shù)較高，可用兩種方法進(jìn)行簡化設(shè)計(jì)：

1.可以先將模擬系統(tǒng)函數(shù)分解成并聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)（子系統(tǒng)函數(shù)相加）或級聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)（子系統(tǒng)函數(shù)相乘），使每個(gè)子系統(tǒng)函數(shù)都變成低階的（例如一、二階的）；然后再對每個(gè)子系統(tǒng)函數(shù)分別采用雙線性變換。分解為低階的方法是在模擬系統(tǒng)函數(shù)上進(jìn)行的，而模擬系統(tǒng)函數(shù)的分解已有大量的圖表可以利用，分解起來比較方便。

2.可用表格的方法來完成雙線性變換設(shè)計(jì)，即預(yù)先求出雙線性變換法中離散系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)與模擬系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系式，并列成表格，便可利用表格進(jìn)行設(shè)計(jì)了。設(shè)模擬系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式為

雙線性變換法中Ｈa(s)的系數(shù)與H(z)的系數(shù)之間的關(guān)系

例6-4

設(shè)計(jì)一個(gè)一階數(shù)字低通濾波器，3dB截止頻率為ωc=0.25π，將雙線性變換應(yīng)用于模擬巴特沃思濾波器。

解：數(shù)字低通濾波器的截止頻率為ωc=0.25π，相應(yīng)的巴特沃思模擬濾波器的3dB截止頻率是Ωc，就有

模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

將雙線性變換應(yīng)用于模擬濾波器，有

由上題可知，T不參與設(shè)計(jì)，即雙線性變換法中用

設(shè)計(jì)與用

設(shè)計(jì)得到的結(jié)果一致。

例6-5

用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，采樣頻率為fs=4kHz（即采樣周期為T=250μs），其3dB截止頻率為fc=1kHz。三階模擬巴特沃思濾波器為

解：

確定數(shù)字域截止頻率ωc=2πfcT=0.5π。根據(jù)頻率的非線性關(guān)系式，確定預(yù)畸變的模擬濾波器的截止頻率

將Ωc代入三階模擬巴特沃思濾波器Ha(s)，得

將雙線性變換關(guān)系代入就得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

用雙線性變換法設(shè)計(jì)得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響

由于頻率的非線性變換，使截止區(qū)的衰減越來越