第3章 力矩與平面力偶系

§3-1

力矩的概念§3-2

平面力偶的概念§3-3

平面力偶系的合成與平衡第3章力矩與平面力偶系轉(zhuǎn)動效果力的大小力臂d轉(zhuǎn)動方向力對點的矩力使物體繞點轉(zhuǎn)動效果的度量；代數(shù)值（不是矢量）；絕對值等于力的大小與力臂之積；正負(fù):逆時針轉(zhuǎn)動為正，順時針轉(zhuǎn)為負(fù)；單位：牛頓·米（N.m）§3-1

力矩的概念1.力對點之矩力矩的性質(zhì)（1）力沿其作用線移動，不改變它對點的矩;（2）力的作用線通過矩心時，力矩等于零。反之也成立。(3)

互成平衡的兩個力對同一點之矩的代數(shù)和為零。(4)

Mo(F)＝±Fd=±2SΔOAB

.F1F2OFo.2.合力矩定理表達式：證明：由圖得而OxydxyFFxFyAaqa-qr則(a)

若作用在A點上的是一個匯交力系（F1、F2、…Fn）,則利用式(a)可將每個力對O點之矩相加，有由式(a)，該匯交力系的合力FR=∑F，它對矩心O的矩為比較(b)、(c)兩式有(a)(b)(c)平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任一點的力矩，等于力系中各分力對同一點的力矩的代數(shù)和。

平面匯交力系的合力矩定理：例3-1已知F=300N，l=0.5m，α=60°。試計算力F對O點之矩。解：按合力矩定理計算。F1F21、力偶的概念

力偶作用面：力偶中兩個力所決定的平面。力偶臂：兩個力作用線之間的垂直距離，以d表示。力偶：把大小相等、方向相反、作用線平行的兩個力組成的力系稱為力偶，記作(，)?！?-2

力偶的概念力偶的作用效果：使物體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變。力偶的轉(zhuǎn)動效果力的大小力偶臂轉(zhuǎn)動方向力偶使物體轉(zhuǎn)動效果的度量；代數(shù)值（不是矢量）；絕對值等于力偶中力的大小與力偶臂之積；正負(fù):逆時針轉(zhuǎn)動為正，順時針轉(zhuǎn)為負(fù)。單位：?！っ祝∟·

m）力偶矩

力偶與力偶矩(2)力偶的性質(zhì)(a)力偶在任何坐標(biāo)軸上的投影等于零；(b)力偶不能合成為一力，也不能與一個力平衡；力偶和力是靜力學(xué)的兩個基本物理量。(c)力偶對物體不產(chǎn)生移動效應(yīng)，只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)，即它可以也只能改變物體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)。xFF′d力偶臂力偶作用面2）力偶對任意點取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變。2．力偶的三要素1）力偶矩的大小2）力偶的轉(zhuǎn)向3）力偶作用面的方位d作用面2.平面力偶等效定理定理：在同一平面內(nèi)（或兩平行平面內(nèi)）的兩個力偶，如它們的力偶矩的大小相等，而且轉(zhuǎn)向相同，則此兩力偶等效。F1FF′ABF1′CD設(shè)有一力偶(F,F′),如圖所示。運用加減平衡力系的公理并注意到：證明：而推論1力偶可以在其作用平面內(nèi)任意移動或

轉(zhuǎn)動，不會改變它對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。即力偶對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)與其在作用平面的位置無關(guān)。兩個重要推論：推論2在保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變的條件下，可以任意改變力偶中力和力偶臂的大小而不改變力偶對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。注意：上述結(jié)論只適用于剛體，而不適用于變形體。力偶的表示方法====※可用力偶的轉(zhuǎn)向箭頭來代替力偶。

平面力偶系可以合成為一個合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩代數(shù)和。

§3-3

平面力偶系的合成一.平面力偶系的合成2.平面力偶系的平衡條件平面力偶系平衡的必要和充分條件是：合力偶矩等于零，即力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零，∑Mi=0利用這個平衡條件，可以求解一個未知量。M1M2Mn兩力偶作用在板上，尺寸如圖，已知F1=F2=1.5kN,F3=F4=1kN,求作用在板上的合力偶矩。180mmF1F2F3F480mm解：由式M

=M1

+M2

則M=-F1

·0.18–F3·0.08=-350N·m負(fù)號表明轉(zhuǎn)向為順時針。圖3-14例題3-2長為4m的簡支梁的兩端A、B

處作用有二個力偶，大小各為M1=16N·m，M2=4N·m，轉(zhuǎn)向如圖。試求A、B支座的約束力。解：作AB梁的受力圖，如圖(b)所示。AB梁上作用有二個力偶組成的平面力偶系，在A、B

處的約束力也必須組成一個同平面的力偶（FA，F(xiàn)B

）才能與之平衡。例題3-3FBFAM1M2AB(b)d604mABM1M2(a)圖3-15由平衡方程∑M=0得-M1+

M2+FBlcos60o=0解得故FB=6NFA、FB為正值，說明圖中所示FA、FB的指向正確。FA=FB=6NFBFAM1M2AB(b)d例題3-3如圖所示的鉸接四連桿機構(gòu)OABD，在桿OA和BD上分別作用著矩為M1和M2的力偶，而使機構(gòu)在圖示位置處于平衡。已知OA=r，DB=2r，θ=30°，不計各桿自重，試求M1和M2間的關(guān)系。BODqM1M2A例題3-4解：因為桿AB為二力桿，故其反力FAB和FBA只能沿A，B的連線方向。分別取桿OA和DB為研究對象。因為力偶只能與力偶平衡，所以支座O和D的約束力FO和FD只能分別平行于FAB和FBA

，且與其方向相反。BODqM1M2A例題3-4BDM2FDFBAOM1FOFABA因為所以求得寫出桿OA和DB的平衡方程：∑M=0思考題3-1一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面內(nèi),另一力偶(F2，F(xiàn)2′)作用在Oyz平面內(nèi),它們的力偶矩大小相等(如圖)。試問此兩力偶是否等效，為什么？xyzF2F2′F1F1′圖3-16O如圖所示，在物體上作用有兩力偶(F1,F1′)和(F2,F2′)其力多邊形封閉。問該物體是否平衡？為什么？圖3-17F1F2F1′F2′F1F2F1′F2′思考題3-2圖3-18所示圓盤由O點處的軸承支持，在力偶M和力F的作用下處于平衡。能不能說力偶被力F所平衡？為什么？力矩和力偶有什么聯(lián)系？又有什么區(qū)別？FMO圖3-18思考題3-3思考題3-4兩輪半徑同為r，一輪在輪緣上受一大小為F

的力作用，另一輪在輪緣上受兩個方向相反、大小都是F/2的力作用，各輪上的力對輪心的矩是否相同？兩輪上的力對輪的外效應(yīng)是否相同？(a)rO1Fr(b)O2F/2F/2圖3-19思考題3-4圖中所示兩輪在圖示主動力作用下能否處于平衡？為什么？若不能平衡，可否再在輪上加一個力使之平衡？如何加？(b)r(a)O1FrO2F/2F/2圖3-20思考題3-5

長為l=4m的簡支梁的兩端A、B

處作用有兩個力偶，大小各為M1=32N·m，M2=8N·m，轉(zhuǎn)向如圖。試求A、B支座的約束力。解：取AB梁為研究對象，作AB梁的受力圖。例題3-5604mABM1M2M1M2ABdFAFB由平衡方程∑Mi

=0得－

M1+

M2+FBlcos60o=0解得故FB=12NFA、FB為正值，說明圖中所設(shè)FA、FB的指向正確。FA=FB=12NM1M2ABdFAFB604mABM1M2－32+8+FB4cos60=0解：取AB梁為研究對象，作AB梁的受力圖。

如圖所示的鉸接四連桿機構(gòu)OA