概率論與隨機(jī)過程-第三講

定義1.2.2

設(shè)是定義在集合類上的集函數(shù)，若對中任第二節(jié)測度與概率則稱在A處下連續(xù)（類似于普通函數(shù)在某一點(diǎn)上的左連續(xù)）。若在?中的每一A處下連續(xù)，則稱在上下連續(xù)（類似于普通函數(shù)在某一區(qū)間上的左連續(xù)性）。類似地可定義在A處上連續(xù)（一般情況下集函數(shù)在A處的值是有限的），甚至也可推廣在上的上連續(xù)性。上連續(xù)+下連續(xù)連續(xù)意滿足條件An，且的集合序列{An}，有：2/5/20231北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院

下面討論完全可加性與連續(xù)性的關(guān)系：定理1.2.2設(shè)是集代數(shù)上的σ-可加集函數(shù)（或測度），則有限可加且連續(xù)。證明：由定理1.2.1（2）知：σ-可加有限可加因此只需說明的連續(xù)性。（1）首先說明的下連續(xù)性，不妨假設(shè){An}，An2/5/20232北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院

一般情形：若對一切n，(An)有限，則如下圖，有：且上式右邊的任意兩項(xiàng)均兩兩不交，以保證可以利用-可加性。具體證明過程略，見P11。（2）類似地可說明的上連續(xù)性，略2/5/20233北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院定理1.2.3

設(shè)是集代數(shù)上的有限可加集函數(shù)（或有限可加測度）,若滿足下列條件之一：（1）是下連續(xù)的；（2）有限，且在處連續(xù)，則是σ-可加集函數(shù)（或測度）證明：（1）若下連續(xù)，則對任意的

An，n=1,2,…，Bn，且：2/5/20234北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院則由下連續(xù)性和有限可加性，有：則：是-可加的。2/5/20235北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院（2）設(shè)有限，且對每一個(gè)n，有：則：2/5/20236北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院二、測度的擴(kuò)張定理有了定義在集代數(shù)上的測度v，我們考慮如何在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生測度ν在σ-代數(shù)σ()上的擴(kuò)張？首先必須明白什么叫“擴(kuò)張”？定理1.2.31,2是?上的兩個(gè)非空集合類,且1

2，vi是1的測度，i=1,2，若對A1,有v1(1)=v2(1)，則稱v2是v1在2上的擴(kuò)張（v1是v2在1上的限制）。第二節(jié)測度與概率2/5/20237北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院以下討論的前提是是?的集代數(shù)，ν是的測度稱?上的v*是由上的v所引出的外測度。(可列多個(gè)集合的并覆蓋集合A，該可列多個(gè)集合的測度和的下確界，即為集合A的外測度。）還需回顧下確界的性質(zhì)（1.2.1）1、?（?的一切子集所生成的σ-代數(shù)）上的外測度2/5/20238北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院下面討論外測度的性質(zhì)：引理1.2.1

由集代數(shù)上的測度v引出的?上的外測度v*，滿足：2/5/20239北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院2/5/202310北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院

由的任意性，外測度的次可加性得證。2/5/202311北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院問題：外測度ν*在?上未必滿足可加性，為了把那些滿足可加性的集合挑選出來，我們引入ν*可測集的概念，并構(gòu)成一個(gè)新的集合類，該集合類*不僅為σ-代數(shù)，而且ν*

是*上的測度。2、ν*可測集2/5/202312北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院證明：必要性顯然成立下面簡單說明充分性：

由引理1.2.1，有v*()=0

由引理1.2.1(1)知外測度函數(shù)v*具有次可加性，則在引理1.2.1(3)中取我們記*為所有ν*可測集組成的集合類。2/5/202313北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院引理1.2.3*滿足：（1）*是σ-代數(shù)；（3）ν*是*上的測度證明：（1）首先證明*是集代數(shù)2/5/202314北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院則有：AB*綜上所述知*是集代數(shù)。（1.2.5）2/5/202315北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院下面說明*是-代數(shù)，只需進(jìn)一步說明*對可列不交并運(yùn)算封閉。（要解釋原因？）

設(shè)An*是，n=1,2,…，Ai

Aj=，ij，則：對D，有：2/5/202316北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院令n，有：*，則*是-代數(shù)。（1.2.6）2/5/202317北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院2/5/202318北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院（3）欲證v*是*上的測度，只須說明v*在*上滿足完全可加性。在（2）的結(jié)論中取D=A*，則對任意的D考慮到v*()=0，所以A*上，有：v*(A)0則v*是*上的測度。整個(gè)引理的證明完畢。2/5/202319北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院3、測度擴(kuò)張定理問題：*是否是包含的σ-代數(shù)？若是，則v*便是定義在上的測度v在*的一個(gè)擴(kuò)張；進(jìn)一步地，這樣的擴(kuò)張唯一嗎？為了保證唯一性，不必將v擴(kuò)張到*上，而只需擴(kuò)張到σ(

)即可。定理1.2.4

設(shè)v是?的集代數(shù)

上的測度，則v在σ(

)

上存在一個(gè)擴(kuò)張；如果v在上是σ-有限的，則v在σ(

)

上的擴(kuò)張是唯一的。證明：由前面的一系列引理，只須說明

*即可具體證明過程略，見教材P15唯一性的證明過程也略，見教材P162/5/202320北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院三、測度的完全化初等概率中我們遇到這樣的問題：考慮某一集合BA，A\BN，且P(N)=0，但B未必屬于，即B未必是事件，未必有概率。為了克服這個(gè)問題，必須將上的測度完全化。即根本的問題在于零測集的子集未必有概率。定義1.2.4

設(shè)v是σ-代數(shù)

(或集代數(shù))上的測度,如果A

(或)，v(A)=0，BA，則B

(或)，因而必有v(B)=0

，則稱v為

(或)上的完全測度。以下介紹如何將σ-代數(shù)上的測度v完全化？2/5/202321北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院定理1.2.5（測度的完全化）設(shè)v是σ-代數(shù)上的測度，記：2/5/202322北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院證明過程略。2/5/202323北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院第三節(jié)L-S測度和L測度

本節(jié)先給出L-S測度（Lebesque-Stieltjes測度）的構(gòu)造方法，其特殊情況就是L測度。一、

n維L-S測度前面介紹過n維Borel域（由開區(qū)