大學(xué)物理 電磁感應(yīng)與電磁場(chǎng)

第七章電磁感應(yīng)與電磁場(chǎng)（Electromagneticinduction）

引言

電流可以產(chǎn)生磁場(chǎng)，磁場(chǎng)能否產(chǎn)生電流呢？法拉第關(guān)于電磁感應(yīng)現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)對(duì)這一問題給出了回答,這個(gè)發(fā)現(xiàn)為麥克斯韋電磁理論的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)。后來根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)人們發(fā)明了發(fā)電機(jī)、變壓器等一系列電器設(shè)備，使電能在生產(chǎn)和生活中得到廣泛應(yīng)用，人類從此進(jìn)入了電氣化時(shí)代，而由麥克斯韋電磁理論直接導(dǎo)致的電磁波的發(fā)現(xiàn)則將人類帶入了信息化時(shí)代。因此，電磁感應(yīng)現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)和麥克斯韋電磁理論的創(chuàng)立標(biāo)志著新技術(shù)革命和工業(yè)革命的開始，它們?cè)跉v史上具有極為重要的地位。本章介紹電磁感應(yīng)的基本規(guī)律和麥克斯韋電磁理論，對(duì)它們的一些重要應(yīng)用也進(jìn)行討論。§1法拉第電磁感應(yīng)定律

(Faradaylawofelectromagneticinduction)

一、電磁感應(yīng)現(xiàn)象電可以生磁，磁能否生電?1831年夏，法拉第發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象,時(shí)年40歲。與奧斯特電流磁效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)不同，法拉第對(duì)電磁感應(yīng)的研究經(jīng)過了漫長的歷程。他在1822年就將“磁產(chǎn)生電流”作為自己研究的戰(zhàn)略目標(biāo)，長期系統(tǒng)地探索才使他最終獲得了成功。

M.Faraday在法拉第工作的實(shí)驗(yàn)室里堆滿了各種磁鐵、銅導(dǎo)線和鐵環(huán)。他在一個(gè)緊纏著兩組線圈的鐵環(huán)(見圖)上完成了關(guān)于電磁感應(yīng)現(xiàn)象的第一次成功的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)在其中一個(gè)導(dǎo)線通電或斷電的瞬間，會(huì)導(dǎo)致另一個(gè)導(dǎo)線產(chǎn)生短暫的電流。這個(gè)鐵環(huán)如今已成為著名的科學(xué)文物。法拉第不僅是一位卓越的科學(xué)家，而且也是一位出色的演說家，上圖是法拉第在英國皇家學(xué)會(huì)主辦的科學(xué)晚會(huì)上發(fā)表演說的木刻圖。實(shí)際上，也正是過去的這類講座引導(dǎo)他走上了科學(xué)之路。這一講座備受重視乃至被制成木刻，是由于當(dāng)年的王儲(chǔ)威爾斯王子出席了這次講座，而今天它之所以值得紀(jì)念卻是因?yàn)閳D中的演講人是法拉第。電磁感應(yīng)的經(jīng)典實(shí)驗(yàn)：磁鐵與線圈有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，線圈中產(chǎn)生電流。

一個(gè)線圈電流變化，在附近其它線圈中產(chǎn)生電流若在磁場(chǎng)中的導(dǎo)體回路的一邊移動(dòng)，回路中有電流產(chǎn)生。S9第一類第二類Φ

變化本質(zhì)是電動(dòng)勢(shì)基本結(jié)論當(dāng)穿過閉合導(dǎo)體回路所包圍面積的磁通量發(fā)生變化時(shí)，導(dǎo)體回路中就將產(chǎn)生電流，這種現(xiàn)象稱為電磁感應(yīng)現(xiàn)象，此時(shí)產(chǎn)生的電流稱為感應(yīng)電流（inductioncurrent）。二、法拉第電磁感應(yīng)定律在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，導(dǎo)體回路中產(chǎn)生了感應(yīng)電流，表明在回路中產(chǎn)生了感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，法拉第給出了電動(dòng)勢(shì)的基本規(guī)律：感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小與通過導(dǎo)體回路的磁通量的變化率成正比.K為比例系數(shù)

在SI制中

閉合回路中感應(yīng)電流的方向總是要用自己激發(fā)的磁場(chǎng)來阻礙引起感應(yīng)電流的磁通量的變化。電動(dòng)勢(shì)的方向由楞次定律(Lenzlaw)給出:

12

感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向N與回路取向相反（與回路成右螺旋）13N當(dāng)線圈有N

匝時(shí)與回路取向相同勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，導(dǎo)線可在導(dǎo)軌上滑動(dòng)，求回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解：在t時(shí)刻舉例1兩個(gè)同心圓環(huán)，已知r1<<r2,大線圈中通有電流I,當(dāng)小圓環(huán)繞直徑以

轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)求小圓環(huán)中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解：大圓環(huán)在圓心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)

通過小線圈的磁通量

舉例2在無限長直載流導(dǎo)線的磁場(chǎng)中，有一運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)體線框，導(dǎo)體線框與載流導(dǎo)線共面，求線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解：通過面積元的磁通量

（方向順時(shí)針方向）舉例317真中有兩平行長直導(dǎo)線，通以等值反向電流I=I0sinωt，式中I表示瞬間電流，

I0和ω均為常量，在兩導(dǎo)線間有一共面的矩形平面線圈，如圖所示。求：線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解：在某一瞬時(shí)，距離直導(dǎo)線為x處的磁感強(qiáng)度為舉例4§2感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)(inductionelectromotiveforce)

感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生有兩種不同的機(jī)制：磁場(chǎng)不變，而導(dǎo)體回路運(yùn)動(dòng)。（切割磁場(chǎng)線）動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)導(dǎo)體回路靜止，磁場(chǎng)隨時(shí)間變化。感生電動(dòng)勢(shì)19電動(dòng)勢(shì)+-I

閉合電路的總電動(dòng)勢(shì):非靜電的電場(chǎng)強(qiáng)度.–––將單位正電荷從電源負(fù)極經(jīng)由電源內(nèi)部移到正極，非靜電力所作的功方向：負(fù)極內(nèi)部正極一、動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)(motionalelectromotiveforce)

ab×××××××××××××××××××××××××××××××××××○Gfmfe

當(dāng)時(shí)達(dá)到平衡微觀機(jī)理由于導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)稱動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)誰充當(dāng)非靜電力?洛倫茲力導(dǎo)線成為電源應(yīng)用直導(dǎo)線ab以一定速率沿平行于長直載流導(dǎo)線的方向運(yùn)動(dòng)。求導(dǎo)線ab中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，并判斷哪端電勢(shì)較高。解：在距r處取線元dr,方向向右。由于

,表明電動(dòng)勢(shì)的方向由a指向b,b端電勢(shì)較高。舉例1在勻強(qiáng)磁場(chǎng)B

中，長R

的銅棒繞其一端O在垂直于B

的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為，求棒上的電動(dòng)勢(shì)。解：法1(動(dòng)生電動(dòng)勢(shì))方向：方法2(法拉第電磁感應(yīng)定律):在dt時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒切割磁場(chǎng)線（方向由楞次定律確定）ORdl舉例2在半徑為R的圓形截面區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)B

，一直導(dǎo)線垂直于磁場(chǎng)方向以速度v掃過磁場(chǎng)區(qū)。求當(dāng)導(dǎo)線距區(qū)域中心軸垂直距離為r

時(shí)的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。解：法1，用動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)法2：用法拉第電磁感應(yīng)定律在dt

時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒切割磁場(chǎng)線（方向由楞次定律確定）舉例3實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng)磁場(chǎng)變化時(shí)，靜止導(dǎo)體中也出現(xiàn)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，此電動(dòng)勢(shì)稱感生電動(dòng)勢(shì)。二.感生電動(dòng)勢(shì)(inducedelectromotiveforce)

誰提供非靜電力？感生電場(chǎng)麥克斯韋感生電場(chǎng)假設(shè)：不論有無導(dǎo)體或?qū)w回路，變化的磁場(chǎng)都將在其周圍空間產(chǎn)生具有閉合電場(chǎng)線的渦旋電場(chǎng)，此電場(chǎng)稱感生電場(chǎng)，用Ek表示。感生電場(chǎng)的電場(chǎng)力充當(dāng)非靜電力！由感生電場(chǎng)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)稱感生電動(dòng)勢(shì)閉合回路中感生電場(chǎng)與變化磁場(chǎng)之間的關(guān)系在變化的磁場(chǎng)中，有旋電場(chǎng)(感生電場(chǎng))強(qiáng)度對(duì)任意閉合路徑L的線積分等于這一閉合路徑所包圍面積上磁通量的變化率的負(fù)值。(1)感生電場(chǎng)是無源有旋場(chǎng)(閉合電場(chǎng)線)靜電場(chǎng)與感生電場(chǎng)的比較場(chǎng)源環(huán)流靜電荷變化的磁場(chǎng)通量靜電場(chǎng)為保守場(chǎng)感生電場(chǎng)為非保守場(chǎng)靜電場(chǎng)為有源場(chǎng)感生電場(chǎng)為無源場(chǎng)(磁生電)討論

(2)感生電場(chǎng)與磁場(chǎng)的變化率的關(guān)系滿足楞次定律(導(dǎo)體不閉合)(導(dǎo)體閉合)(3)既有動(dòng)生、又有感生電動(dòng)勢(shì)時(shí)，則總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為BEkBEk設(shè)一個(gè)半徑為R的長直載流螺線管，內(nèi)部磁場(chǎng)強(qiáng)度為若為大于零的恒量，求管內(nèi)外的感應(yīng)電場(chǎng)。例題1解：一個(gè)被限制在半徑為R

的無限長圓柱內(nèi)的均勻磁場(chǎng)B，B

均勻增加，求導(dǎo)體棒MN、CD的感生電動(dòng)勢(shì)。解：法1(用感生電場(chǎng)計(jì)算):法2(用法拉第電磁感應(yīng)定律):(補(bǔ)逆時(shí)針回路OCDO)例題2感生電場(chǎng)會(huì)在導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生感應(yīng)電流，這些感應(yīng)電流的流線呈閉合的渦旋狀，故稱渦電流(eddycurrent)1.渦流應(yīng)用交變電流交變電流整塊鐵心彼此絕緣的薄片減小電流截面，減少渦流損耗。高頻感應(yīng)加熱抽真空電子感應(yīng)加速器是利用感應(yīng)電場(chǎng)來加速電子的設(shè)備線圈鐵芯電子束環(huán)形真空管道2.電子感應(yīng)加速器電子感應(yīng)加速器全貌電子感應(yīng)加速器的一部分它的柱形電磁鐵在兩極間產(chǎn)生磁場(chǎng)。在磁場(chǎng)中安置一個(gè)環(huán)形真空管道作為電子運(yùn)行的軌道。當(dāng)磁場(chǎng)發(fā)生變化時(shí)，就會(huì)沿管道方向產(chǎn)生感應(yīng)電場(chǎng)。射入其中的電子就受到這感應(yīng)電場(chǎng)的持續(xù)作用而被不斷加速。只有在第一個(gè)四分之一周期內(nèi)，電子才受到感生電場(chǎng)的加速，并且洛倫茲力的方向指向圓心。37

§3自感與互感(Self-inductanceandMutualinductance)

一、自感1.自感現(xiàn)象遵從法拉第定律當(dāng)回路中的電流發(fā)生變化時(shí)，它所激發(fā)的磁場(chǎng)產(chǎn)生的通過自身回路的磁通量也會(huì)發(fā)生變化，這種變化將在自身回路中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。這種現(xiàn)象稱為自感現(xiàn)象，產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)稱為自感電動(dòng)勢(shì)。由畢—薩定律知穿過線圈自身總的磁通量與電流I成正比：2.自感電動(dòng)勢(shì)與自感系數(shù)討論若自感系數(shù)是常量

自感具有使回路電流保持不變的性質(zhì)——

電磁慣性L與線圈的形狀、大小、匝數(shù)等有關(guān)自感系數(shù)單位是享利(H)負(fù)號(hào)表明自感電動(dòng)勢(shì)阻礙回路中電流的變化

——楞次定律應(yīng)用：穩(wěn)流,LC諧振電路,濾波電路,感應(yīng)圈等.

有一個(gè)長直螺線管，長為l，截面積為S，線圈總匝數(shù)為N，求其自感系數(shù)。例題1解：當(dāng)螺線管中通有電流I時(shí)，管內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為式中V=LS為螺線管的體積。通過螺線管的總磁通量為

螺線管的自感系數(shù)為

同軸電纜為兩個(gè)無限長同軸導(dǎo)體和柱面組成，求單位長度上的自感。解由安培環(huán)路定理可知例題2載流回路由兩根平行的長直導(dǎo)線組成，求這一對(duì)導(dǎo)線單位長度的自感。

解：設(shè)回路電流為I取一段長為

h的導(dǎo)線例題3二、互感對(duì)于兩個(gè)鄰近的載流回路1和2，當(dāng)回路1中的電流變化時(shí)，電流所激發(fā)的變化磁場(chǎng)會(huì)在回路2中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；同理，回路2中的變化電流也會(huì)在回路1中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。這種現(xiàn)象稱為互感現(xiàn)象，對(duì)應(yīng)的電動(dòng)勢(shì)稱為互感電動(dòng)勢(shì)。M21是回路1對(duì)回路2的互感系數(shù)若回路周圍不存在鐵磁質(zhì)且兩線圈結(jié)構(gòu)、相對(duì)位置及其周圍介質(zhì)分布不變由畢—薩定律知(1)可以證明：改變兩線圈的相對(duì)位置,可改變兩線圈之間的耦合程度。k=1兩線圈為完全耦合：k=0兩線圈間無相互影響：(3)兩個(gè)線圈的互感與各自的自感有一定的關(guān)系k為兩線圈的耦合系數(shù)討論(2)互感同樣反映了電磁慣性的性質(zhì)(4)線圈之間的連接線圈的順接等效總自感：線圈的反接時(shí)：abd求互感系數(shù)在半徑為a的N匝線圈的軸線上d處，有一半徑為b

、匝數(shù)為的圓線圈,且兩線圈法線間夾角為解：由于例1求兩同軸長直密繞螺線管的互感解：設(shè)小線圈中通有電流I1

穿過大線圈的磁通匝數(shù)為例2證明解：設(shè)長直導(dǎo)線通電流I

在磁導(dǎo)率為的均勻無限大磁介質(zhì)中,無限長直導(dǎo)線與一矩形線圈共面,求二者的互感系數(shù).例3三、磁場(chǎng)的能量回路電阻所放出的焦耳熱電源做功電源反抗自感電動(dòng)勢(shì)做的功電源反抗自感電動(dòng)勢(shì)所做的功轉(zhuǎn)化為磁場(chǎng)的能量與電容儲(chǔ)能比較自感線圈也是一個(gè)儲(chǔ)能元件，自感系數(shù)反映線圈儲(chǔ)能的本領(lǐng)磁能集中在電感上？以無限長直螺線管為例磁能集中在磁場(chǎng)中！磁場(chǎng)能量密度上式不僅適用于無限長直螺線管中的均勻磁場(chǎng),也適用于非均勻磁場(chǎng),其一般是空間和時(shí)間的函數(shù)。討論在有限區(qū)域內(nèi)積分遍及磁場(chǎng)存在的空間磁場(chǎng)能量公式與電場(chǎng)能量公式具有完全對(duì)稱的形式取體積元由N

匝線圈繞成的螺繞環(huán)，通有電流

I

，其中充有均勻磁介質(zhì)，求磁場(chǎng)能量。解：根據(jù)安培環(huán)路定理,螺繞環(huán)內(nèi)例題1求自感系數(shù)？r計(jì)算低速運(yùn)動(dòng)電子的磁場(chǎng)能量，設(shè)其半徑為a解：低速運(yùn)動(dòng)的電子在空間產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為取體積元a例題2§4電磁場(chǎng)與電磁波一、位移電流假說1.問題的提出變化磁場(chǎng)產(chǎn)生感生電場(chǎng)變化電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)？問題（1）：?jiǎn)栴}（2）：對(duì)于變化的電場(chǎng)和變化的磁場(chǎng)，這四個(gè)方程還成立嗎？相加合并概括了渦旋電場(chǎng)和靜電場(chǎng)兩種情況，說明了變化的磁場(chǎng)可以產(chǎn)生渦旋電場(chǎng)，而靜電場(chǎng)的環(huán)路定律只是其特例。

假定在普遍情況下仍然成立

在非恒定條件下，安培環(huán)路定理仍成立嗎?穿過以L為邊界的任意曲面的傳導(dǎo)電流都相等，因?yàn)樵撌降淖蠖酥慌c回路L有關(guān)。注意L的意義！對(duì)穩(wěn)恒電流對(duì)S1面對(duì)S2面矛盾！穩(wěn)恒磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理已不適用于非穩(wěn)恒電流的電路失效的原因是電流只進(jìn)不出，電量積存在閉合曲面內(nèi)！

2.位移電流假設(shè)（displacementcurrent）麥克斯韋提出由其將在閉合曲面內(nèi)中斷的傳導(dǎo)電流連續(xù)起來適用于非恒定的情況

具有電流的量綱，故其稱之為位移電流稱為位移電流密度討論（1）位移電流名為電流，實(shí)為變化的電場(chǎng)。通過電場(chǎng)中某一截面的位移電流等于通過該截面電位移通量對(duì)時(shí)間的變化率.（2）位移電流與傳導(dǎo)電流連接起來恰好構(gòu)成連續(xù)的閉合電流以平行板電容器為例（3）麥克斯韋全電流的概念在普遍情形下，全電流在空間永遠(yuǎn)是連續(xù)不中斷的，并且構(gòu)成閉合回路。（4）全電流安培環(huán)路定理（5）若傳導(dǎo)電流為零變化電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)（6）位移電流與傳導(dǎo)電流的異同點(diǎn)位移電流可以存在于真空、導(dǎo)體和介質(zhì)中相同點(diǎn)：都具有磁效應(yīng)不同點(diǎn)：產(chǎn)生機(jī)理不同；存在條件不同；傳導(dǎo)電流產(chǎn)生焦耳熱，位移電流不會(huì)產(chǎn)生焦耳熱，但介質(zhì)分子會(huì)在交變電場(chǎng)中反復(fù)極化，分子間摩擦而生熱（微波加熱原理，該熱與焦耳熱的機(jī)理不同）例設(shè)平行板電容器極板為圓板，半徑為R，兩極板間距為d,用緩變電流IC

對(duì)電容器充電。求P1,P2點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：任一時(shí)刻極板間的電場(chǎng)

極板間任一點(diǎn)的位移電流由全電流安培環(huán)路定理二、麥克斯韋方程組變化的磁場(chǎng)伴隨著渦旋電場(chǎng)傳導(dǎo)電流和變化的電場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生渦旋磁場(chǎng)麥克斯韋方程組介質(zhì)方程同一方程式內(nèi)既有磁學(xué)量，又有電學(xué)量，說明隨時(shí)間變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)是不可分割，電場(chǎng)和磁場(chǎng)通過變化耦合成不可分割的和諧統(tǒng)一體，這就是電磁場(chǎng)。麥克斯韋方程組是麥克斯韋所建立的電磁場(chǎng)理論的核心，也是繼牛頓之后人類對(duì)自然界認(rèn)識(shí)的又一次大綜合。半個(gè)世紀(jì)后，愛因斯坦建立了相對(duì)論，人們發(fā)現(xiàn)在高速運(yùn)動(dòng)情況下牛頓定律必須進(jìn)行修改，而麥克斯韋方程卻不必修改。又經(jīng)過二十年，量子論建立了，人們又發(fā)現(xiàn)在微觀世界中牛頓定律不再適用，而麥克斯韋方程仍然正確。這說明麥克斯韋的工作是何等的出色！19世紀(jì)最偉大的兩位物理學(xué)家，是法拉第和麥克斯韋。法拉第快活、和藹、講話娓娓動(dòng)聽，引人人勝；麥克斯韋嚴(yán)肅、機(jī)智、才思敏捷卻不善辭令。法拉第是實(shí)驗(yàn)巨匠，善于運(yùn)用直覺形象思維，把握住物理現(xiàn)象的本質(zhì)，設(shè)計(jì)巧妙的實(shí)驗(yàn)，觀察、記錄、歸納；麥克斯韋卻是數(shù)學(xué)高手，擅長建立物理模型，進(jìn)行理論概括，運(yùn)用數(shù)學(xué)技巧，演繹、分析、提高。麥克斯韋電磁理論是理論和實(shí)驗(yàn)的完美結(jié)合，電磁學(xué)的騰飛開始了！三、電磁波(electromagneticwave)

1.電磁波的預(yù)言變化的磁場(chǎng)能激發(fā)出渦旋電場(chǎng)，變化的電場(chǎng)也能激發(fā)出渦旋磁場(chǎng)，二者相互激發(fā)使得變化的電磁場(chǎng)在空間傳播，在空間傳播的電磁場(chǎng)稱電磁波。并且，光是一種電磁波。2.赫茲實(shí)驗(yàn)與電磁波的產(chǎn)生亥姆霍茲赫茲赫茲振子產(chǎn)生的間歇性阻尼振蕩赫茲實(shí)驗(yàn)示意圖

赫茲的實(shí)驗(yàn)轟動(dòng)了當(dāng)時(shí)整個(gè)物理學(xué)界，他不僅證明了麥克斯韋所預(yù)言的真理，更重要的是導(dǎo)致了無線電技術(shù)的發(fā)展。理論只能認(rèn)識(shí)世界，它回到實(shí)踐才能改造世界，顯示出理論的巨大作用，赫茲實(shí)驗(yàn)促成了這一轉(zhuǎn)變。此后，全世界許多實(shí)驗(yàn)室立即投入對(duì)電磁波及其應(yīng)用的研究。在赫茲宣布他的發(fā)現(xiàn)后不到六年，意大利人馬可尼（Marcohi，1874～1937）與俄羅斯人波波夫(Popov，1859～1906)分別實(shí)現(xiàn)了無線電遠(yuǎn)距離傳播，并很快投入實(shí)際應(yīng)用。在此后的三四十年間，無線電報(bào)(1894)、無線電廣播（1906）、導(dǎo)航（1911）、無線電話（1916）、短波通訊（1921）、傳真（1923）、電