理論力學 2 匯交力系

2匯交力系匯交力系（Concurrentforcesystem）是指作用在物體上的所有力的作用線匯交與同一點的力系。平面匯交力系：各力作用線在同一平面內且匯交于同一點的力系。空間匯交力系：各力作用線不在同一平面內且匯交于同一點的力系。2.1

匯交力系合成的幾何法

2.1.1合成的幾何法F

1F2F3F4AF

RaF2bF3cdF4FRoF1FR1FR2FR=F1+F2+F3+F4（2-1）匯交力系一般可合成為一合力，合力的作用線通過力系的匯交點，合力矢FR等于力系各力的矢量和(見圖2-1)。圖2-1

把各力矢首尾相接，形成一條有向折線段（稱為力鏈）。加上一封閉邊，就得到一個多邊形，稱為力多邊形（Forcepolygon）

見圖2-2。2.1.2力的多邊形規(guī)則aF2bF3cdF4FRoF1F2F3F4FRF1對空間匯交力系，仍可接上述確定力的多邊形，且主矢仍由式（2-1）確定。但空間匯交力系的力多邊形是空間折線多邊形。給實際作圖帶來困難。圖2-22.2

匯交力系平衡的幾何法設剛體上作用n個作用線匯交與同一點的匯交力系F1、F2、…、Fn，則該剛體平衡的必要與充分條件為合力矢等于零矢量。（2-2）匯交力系平衡的必要與充分的幾何條件：力多邊形自行封閉。例2-1如圖2-3所示托架。A為鉸鏈，B、C為固定鉸支座，在托架的C處作用有力F，F(xiàn)=10kN，不計各桿重。試求AB、AC桿所受的力。解：(1)取整個托架作為研究對象。(4)解出：(2)畫出受力圖。(3)應用平衡條件畫出閉合力三角形。

30

oABCFFBABCFFC30

oFCFBF30

oabc圖2-3(a)(b)2.3

匯交力系合成與平衡的解析法（2-3）

2.3.1力在坐標軸上的投影按照矢量的運算規(guī)則，可將一個力矢分解成兩個或兩個以上的分力。最常用的是將一個力分解成為沿直角坐標軸x、y、z的三個分力。其中i、j、k是沿坐標軸正向的單位矢量，

Fx、Fy、Fz分別是力F在x、y、z軸上的投影，如圖2-4所示。圖2-4

2.3.1.1直接投影法（2-5）（2-4）力在某一軸上的投影，等于該力與沿該軸方向的單位矢量之標積。如果已知F與坐標軸正向的夾角分別為a、b、g(見圖2-5)，則圖2-5

這結論不僅適用于力在直角坐標軸上的投影，也適用于在任何一軸上的投影。例如，設有一軸x，沿該軸正向的單位矢量為n，則力F在x軸上的投影為設n在坐標系Oxy中的方向余弦為l1

、l2

、l3

，則

（2-6）

2.3.1.2二次投影法

若已知的是力F與坐標軸z的夾角為j，以及力F在平行于xy平面上的投影F′與x軸正向的夾角q

，如圖2-6所示。則力F在坐標軸上的投影為（2-7）若已知力F在x、y、z

軸上的投影Fx

、Fy、Fz

，則可求得力F的大小及方向余弦為

（2-8）

（2-9）圖2-62.3.2匯交力系合成的解析法由式（2-1）可得匯交力系的合力矢為

（2-10）

設剛體上作用有匯交力系F1、F2、…、Fn

。在剛體上n個力的匯交點處建立標準正交坐標系{0；i、j、k}。則力矢F1、F2、…、Fn可表示為由式（2-10），得合力矢的大小及方向余弦為（2-11

）

（2-12）解(1)求合力矢FR在坐標軸上的投影：(2)求合力矢FR的大小及方向余弦

合力矢FR的方向角為

例2-2

如圖2-7所示平面匯交力系，已知：試求匯交力系的合力矢。圖2-72.3.3匯交力系平衡的解析法設在剛體上作用匯交力系F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，則由式（2-2）匯交力系平衡的必要與充分條件及式（2-11）得

（2-13）匯交力系平衡的必要與充分的解析條件是：力系中各力在直角坐標軸上的投影的代數(shù)和均為零。式(2-13)稱為空間匯交力系的平衡方程（Equationsofequilibriumofthreedimensionalconcurrentforcesystem）

。此式包含三個獨立方程，可求解三個未知量。對于平面匯交力系，可取力系作用面為坐標平面Oxy，則有意義的平衡方程只有兩個，即

（2-14）平衡方程式（2-13）雖然是在直角坐標系下推導的，但在實際應用中，三根投影軸并不限定必須相互垂直，只要三個投影軸既不共面，又不相互平行即可。根據(jù)這一原則，可恰當選取投影軸，以簡化計算。例2-3如圖2-8所示簡易起重設備，重力G=20kN的重物吊在鋼絲繩一端，鋼絲繩另一端繞過定滑輪A接在絞車D上。A、B、C處為鉸鏈連接。不計滑輪和各桿重力。試求重物勻速提升時，桿AB、AC作用于滑輪上的力。GABCD30o

30o

FT2FACFT1A解：取滑輪作為研究對象，作其受力圖(見圖2-9)。FAB圖2-8FT2FACFT1yxAFAB建立坐標系Axy，列平衡方程有

（1）

（2）聯(lián)解式（1）、式（2）得kNkN（與假設相反）圖2-9例2-4桿系由球形鉸鏈連接，位于正方體的對角線上，如圖2-10所示。在節(jié)點B沿

BG邊鉛直向下作用力F。如球形鉸鏈H、K和L固定，桿重不計，求各桿的內力。解：

取節(jié)點B為研究對象，作受力圖312yzxFGKLDCHBAaF2F