新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題25 極值點(diǎn)偏移之積(x1x2)型不等式的證明 (教師版)

(2)設(shè)g(x)＝f(x)－eq\f(1,2)x2＋1，若函數(shù)g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1<x2，證明：g(x1)＋g(x2)>2．6．解析(1)f(x)＝ex＋ax－1，則f′(x)＝ex＋a，由已知得，函數(shù)y＝ex＋a的圖象與直線y＝x有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程ex－x＋a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，設(shè)h(x)＝ex－x＋a，則h′(x)＝ex－1，令h′(x)＝0，解得x＝0，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(0)＝a＋1，所以a＋1<0，所以a<－1，當(dāng)x→－∞時(shí)，h(x)→＋∞；當(dāng)x→＋∞時(shí)，h(x)→＋∞所以a<－1時(shí)，函數(shù)y＝f′(x)的圖象與直線y＝x有且只有兩個(gè)交點(diǎn)．(2)g(x)＝f(x)－eq\f(1,2)x2＋1＝ex－eq\f(1,2)x2－ax，g′(x)＝ex－x－a，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，SKIPIF1<0方程g′(x)＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1，x2，由(1)知，h(x)＝ex－x＋a，h(x1)＝h(x2)＝0，且x1<0<x2，所以g(x)在區(qū)間(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(x1，x2)上單調(diào)遞減，且得a＝SKIPIF1<0－x2，所以h(－x2)＝SKIPIF1<0＋x2－a＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＋2x2．設(shè)k(x)＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＋2x(x>0)，則k′(x)＝－SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＋2<0，所以k(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以k(x)<k(0)＝0，h(x2)＝h(－x2)<0，所以x1<－x2<0．又因?yàn)間(x)在(x1，0)單調(diào)遞減，所以g(x1)>g(－x2)，要證g(x1)＋g(x2)>2，只須證g(－x2)＋g(x2)>2，即證SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0－SKIPIF1<0－2>0，設(shè)r(x)＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0－SKIPIF1<0－2，則r′(x)＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0－2x，令p(x)＝r′(x)＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0－2x，則p′(x)＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0－2>0，所以p(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增，p(x)>p(0)＝0，即r′(x)>0，所以r(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增，r(x)>r(0)＝0，故當(dāng)x>0時(shí)，SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0－SKIPIF1<0－2>0，即SKIPIF1<0＋SKIPIF1