第九章 總體比率的推斷

職教學(xué)院劉春雷E-mail：lcl2156@126.com《教育統(tǒng)計學(xué)》12第九章總體比率的推斷第一節(jié)比率的抽樣分布第二節(jié)總體比率的區(qū)間估計第三節(jié)總體比率的假設(shè)檢驗第四節(jié)總體比率差異的顯著性檢驗3第一節(jié)比率的抽樣分布一、數(shù)據(jù)的特點總體平均數(shù)、方差的統(tǒng)計推斷——都是對由測量獲得的、正態(tài)連續(xù)變量的數(shù)據(jù)所進行的統(tǒng)計推斷。由點計而來的間斷變量的數(shù)據(jù)或比率——按性質(zhì)不同所劃分的各種類別的個體的數(shù)目或比率。如：男女學(xué)生獲獎的人數(shù)或比率；——按一定標(biāo)準將測量獲得的、正態(tài)連續(xù)變量的數(shù)據(jù)劃分成不同類別。如：考試成績分成及格和不及格的人數(shù)及比率。4第一節(jié)比率的抽樣分布一、數(shù)據(jù)的特點對點計數(shù)據(jù)的統(tǒng)計推斷應(yīng)采用總體比率的推斷方法或卡方檢驗。當(dāng)事物被劃分成兩類——總體比率的統(tǒng)計推斷；當(dāng)事物被劃分成兩類以上——卡方檢驗（也可對僅有兩種類別——凡是可以應(yīng)用比率進行檢驗的資料，都可以應(yīng)用卡方檢驗。）5第一節(jié)比率的抽樣分布二、比率的抽樣分布比率的抽樣分布是二項分布。二項概率分布是進行總體比率統(tǒng)計推斷的理論依據(jù)。6第一節(jié)比率的抽樣分布二、比率的抽樣分布——假設(shè)有一個二項分布的總體，現(xiàn)從中隨機抽取一個容量為n的樣本，成功事件出現(xiàn)的比率p=X/n，——然后將其還回總體中去，再從中隨機抽取一個容量為n的樣本，又可算得一個成功事件出現(xiàn)的比率p?！@樣反復(fù)抽下去，就可以獲得一切可能個樣本，將這一切可能個樣本的p值進行頻數(shù)分布，就形成一個實驗性的比率的抽樣分布。7第一節(jié)比率的抽樣分布二、比率的抽樣分布當(dāng)p=q，無論n的大小，二項分布呈對稱形；當(dāng)p<q且np≥5，或p>q且nq≥5時，即：np、nq其中一個最小頻數(shù)等于或大于5時，二項分布已經(jīng)開始接近正態(tài)分布。8第一節(jié)比率的抽樣分布三、比率的標(biāo)準誤——二項試驗成功事件一切可能樣本的比率在抽樣分布上的標(biāo)準差為比率的標(biāo)準誤?！傮w比率的標(biāo)準誤是由二項分布的標(biāo)準差除以n而獲得。σp——總體比率的標(biāo)準誤；p'——總體比率，q'=1-p'n——樣本容量9第一節(jié)比率的抽樣分布三、比率的標(biāo)準誤當(dāng)總體比率未知時，需用樣本比率p=X/n作為總體比率p'的點估計?？傮w比率標(biāo)準誤的估計量為Sp——總體比率標(biāo)準誤的估計量P——樣本的比率，q=1-pn——樣本容量10第一節(jié)比率的抽樣分布三、比率的標(biāo)準誤例如從某區(qū)隨機抽取100個中學(xué)生，查得正常視力有65人，若用樣本比率p=65/100=0.65來估計全區(qū)中學(xué)生正常視力的比率時，其抽樣誤差根據(jù)公式為11第二節(jié)總體比率的區(qū)間估計總體比率的區(qū)間估計——根據(jù)一定概率的要求，估計總體比率的所在范圍，稱為總體比率的區(qū)間估計。一、正態(tài)近似法當(dāng)p=q，無論n的大小，二項分布呈對稱形；即便p≠q，np、nq其中一個最小頻數(shù)等于或大于5，二項分布已經(jīng)開始接近正態(tài)分布，故可用正態(tài)分布近似處理。其統(tǒng)計量為：12第二節(jié)總體比率的區(qū)間估計一、正態(tài)近似法令Z在-1.96和1.96之間變動，在此期間的概率為95%，即13第二節(jié)總體比率的區(qū)間估計一、正態(tài)近似法令Z在-1.96和1.96之間變動，在此期間的概率為95%，即于是，總體比率95%的置信下限和置信上限為14第二節(jié)總體比率的區(qū)間估計一、正態(tài)近似法令Z在-2.58和2.58之間變動，在此期間的概率為99%，即于是，總體比率99%的置信下限和置信上限為15例如從某區(qū)隨機抽取100個中學(xué)生，查得正常視力有65人，若用樣本比率p=65/100=0.65來估計全區(qū)中學(xué)生正常視力的比率。本例總體比率95%的置信區(qū)間為：P(0.557<p'<0.744)=0.95，因此該區(qū)中學(xué)生正常視力比率有95%的可能在0.557（55.7%）至0.744（74.4%）的范圍內(nèi)。本例總體比率99%的置信區(qū)間為：P(0.527<p'<0.773)=0.99，因此該區(qū)中學(xué)生正常視力比率有99%的可能在0.527（52.7%）至0.773（77.3%）的范圍內(nèi)。第二節(jié)總體比率的區(qū)間估計16二、查表法當(dāng)p在0或1附近，或者樣本容量n較小，二項分布呈偏態(tài)，這時不能用正態(tài)近似法估計總體比率的置信限，而可以采用查表法。附表6將1≤n≤1000，p≥1%的二項分布置信限列出?！缫阎獙嶒灥拇螖?shù)n和——二項分布成功事件出現(xiàn)的絕對頻數(shù)X，——就可根據(jù)此表查出總體比率95%或99%的置信限。第二節(jié)總體比率的區(qū)間估計17二、查表法例1：從某小學(xué)三年級隨機抽取24個學(xué)生，測得漢語拼音成績優(yōu)秀者有5人，試估計該校三年級學(xué)生此次測驗優(yōu)秀的百分比是多少？根據(jù)n=24，X=5，查百分率的可信限表，成績優(yōu)秀的有95%的可能在7%-42%的范圍內(nèi)，有99%的可能在5%-49%范圍內(nèi)。第二節(jié)總體比率的區(qū)間估計18二、查表法例2：向53人調(diào)查關(guān)于全國統(tǒng)一高考的意見，其中表示贊成者有23人，試估計贊成全國統(tǒng)一高考總體比率95%及99%的置信區(qū)間。根據(jù)n=53，X=23，查表：n=50，相對應(yīng)95%的置信限為32，61；n=60，相對應(yīng)95%的置信限為26，52；第二節(jié)總體比率的區(qū)間估計19二、查表法例2：根據(jù)n=53，X=23，查表：n=50，相對應(yīng)95%的置信限為32，61；n=60，相對應(yīng)95%的置信限為26，52；設(shè)n=53的95%置信下限為p1，上限為p2，則（50-60）：（53-60）=（32-26）：（p1-26）置信下限p1=30.2（50-60）：（53-60）=（61-52）：（p2-52）置信上限p2=58.3同理可求得99%的置信區(qū)間為26.5%-62.3%結(jié)論：贊成全國統(tǒng)一高考95%的可能在30.2%-58.3%范圍內(nèi)，99%的可能在26.5%-62.3%范圍內(nèi)。第二節(jié)總體比率的區(qū)間估計20一、正態(tài)近似法當(dāng)p=q，無論n的大??；或者np、nq其中一個最小頻數(shù)等于或大于5，這時二項分布近似正態(tài)分布，可用Z檢驗總體比率的顯著性。例如：某市中學(xué)教師中大學(xué)本科畢業(yè)的比率為0.60，現(xiàn)從某區(qū)隨機抽取50名中學(xué)教師，其中大學(xué)本科畢業(yè)的有32人，問該區(qū)中學(xué)教師大學(xué)本科畢業(yè)的比率與全市中學(xué)教師大學(xué)本科畢業(yè)的比率是否有顯著性差異？檢驗的步驟：（1）提出假設(shè)H0：p'=0.60H1：p'≠0.60第三節(jié)總體比率的假設(shè)檢驗21一、正態(tài)近似法（2）選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值本例屬于二項分布，但由于最小頻數(shù)nq=50×0.36=18>5，其二項分布接近正態(tài)分布，故可選擇Z作為檢驗統(tǒng)計量。第三節(jié)總體比率的假設(shè)檢驗p——樣本的比率p'——總體的比率，q'

=1-p'n——樣本的容量22一、正態(tài)近似法（3）統(tǒng)計決斷根據(jù)雙側(cè)Z檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則，Z=0.58<1.96=Z0.05，則P>0.05，差異不顯著。于是保留H0而拒絕H1。結(jié)論：該區(qū)中學(xué)教師大學(xué)本科畢業(yè)的比率與全市沒有顯著性差異。也可以說，中學(xué)教師大學(xué)本科畢業(yè)的樣本比率0.64是來自于比率為0.60的總體。本例也可以不用比率（相對頻數(shù)）而用絕對頻數(shù)進行Z檢驗。即將分子分母同乘以n。第三節(jié)總體比率的假設(shè)檢驗23二、查表法例如：某區(qū)高考錄取率為0.25，其中甲校26個畢業(yè)生中有4人被錄取，問甲校與全區(qū)錄取率是否有顯著性差異？檢驗的步驟：（1）提出假設(shè)H0：p'=0.25H1：p'≠0.25第三節(jié)總體比率的假設(shè)檢驗24二、查表法（2）計算總體比率的臨界值——由于最小頻數(shù)np=4<5的二項分布呈偏態(tài)，——對于總體比率的顯著性檢驗不能用正態(tài)分布處理，——可通過查百分率的可信限表，求二項分布的兩端臨界值加以解決。根據(jù)n=26，X=4，查百分率的可信限表找到總體比率95%的置信區(qū)間為4%-35%第三節(jié)總體比率的假設(shè)檢驗25二、查表法（3）統(tǒng)計決斷由于假設(shè)的總體比率落在樣本所來自的總體比率95%兩端臨界限的中間，即0.04<0.25<0.35，故應(yīng)保留H0而拒絕H1。結(jié)論：甲校高考錄取率與全區(qū)錄取率無顯著性差異。第三節(jié)總體比率的假設(shè)檢驗26總體比率假設(shè)檢驗——根據(jù)一個樣本的比率比較兩個相應(yīng)總體的比率——根據(jù)兩個樣本的比率一、兩個獨立樣本比率差異的顯著性檢驗兩個獨立樣本比率之差的標(biāo)準誤為第四節(jié)總體比率差異的假設(shè)檢驗p1——第一個樣本的比率，q1=1-p1p2——第二個樣本的比率，q2=1-q2n1和n2——樣本容量27一、兩個獨立樣本比率差異的顯著性檢驗在檢驗兩個獨立樣本比率差異的顯著性時，——以假設(shè)這兩個樣本比率來自同一個總體為前提，——于是就用兩個樣本比率的加權(quán)平均數(shù)作為總體比率的估計量，即第四節(jié)總體比率差異的假設(shè)檢驗28一、兩個獨立樣本比率差異的顯著性檢驗于是，兩個獨立樣本比率之差的標(biāo)準誤有兩種情況：當(dāng)n1≠n2時，當(dāng)n1=n2時，第四節(jié)總體比率差異的假設(shè)檢驗29一、兩個獨立樣本比率差異的顯著性檢驗如果兩個獨立樣本的最小頻數(shù)都等于或大于5，兩個樣本比率之差的抽樣分布也接近于正態(tài)，于是可用Z檢驗兩個比率之差的顯著性。其檢驗統(tǒng)計量為：第四節(jié)總體比率差異的假設(shè)檢驗30一、兩個獨立樣本比率差異的顯著性檢驗例如：關(guān)于人體血液循環(huán)的講授，在實驗組運用形象直觀的投影片。在對照組由教師畫圖說明。授課結(jié)束，當(dāng)堂測驗的結(jié)果如下表，問兩種教學(xué)用具的效果是否有顯著性差異？檢驗的步驟：（1）提出假設(shè)H0：p1'=P2'H1：p1'≠P2'第四節(jié)總體比率差異的假設(shè)檢驗31一、兩個獨立樣本比率差異的顯著性檢驗例如：檢驗的步驟：（2）選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值由于實驗組和對照組為兩個獨立樣本，兩組的最小頻數(shù)n1q1=100×0.30=30，n2p2=60×0.40=24，均大于5，于是兩個樣本比率之差的抽樣分布接近于正態(tài)，故可用上式對兩個比率差異進行顯著性檢驗。第四節(jié)總體比率差異的假設(shè)檢驗32一、兩個獨立樣本比率差異的顯著性檢驗例如：檢驗的步驟：（3）統(tǒng)計決斷根據(jù)雙側(cè)Z檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則，∣Z∣=3.73﹡﹡>2.58=Z0.01，則P<0.01，于是在0.01顯著性水平上拒絕H0而接受H1。其結(jié)論為：兩種方法的效果有極其顯著性差異。第四節(jié)總體比率差異的假設(shè)檢驗33二、兩個相關(guān)樣本比率差異的顯著性檢驗如果檢驗兩個相關(guān)樣本比率之差，——即檢驗同一組對象實驗前后兩個比率之差，——或兩個配對組比率之差，可不必計算比率之差的標(biāo)準誤，而采用一種簡單的方法處理。例如：某校120個學(xué)生期末代數(shù)測驗之后，讓他們在寒假獨立完成教師編選的代數(shù)練習(xí)題，開學(xué)初進行同類題目的測驗，兩次測驗結(jié)果見下面頻數(shù)表，問學(xué)生獨立完成教師編選的代數(shù)練習(xí)題，對提高代數(shù)成績是否有顯著效果？第四節(jié)總體比率差異的假設(shè)檢驗34二、兩個相關(guān)樣本比率差異的顯著性檢驗第二次測驗合計良非良第一次測驗良a48b14a+b62p1=(a+b)/n非良c22d36c+d58q1=(c+d)/n合計a+c70b+d50p2=(a+c)/nq2=(b+d)/n第四節(jié)總體比率差異的