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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在正方體中,E是棱的中點(diǎn),F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且與平面的垂線垂直,如圖所示,下列說(shuō)法不正確的是()A.點(diǎn)F的軌跡是一條線段 B.與BE是異面直線C.與不可能平行 D.三棱錐的體積為定值2.已知三點(diǎn)A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()A. B.C. D.3.某地區(qū)高考改革,實(shí)行“3+2+1”模式,即“3”指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)必考科目,“1”指在物理、歷史兩門(mén)科目中必選一門(mén),“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理以及除了必選一門(mén)以外的歷史或物理這五門(mén)學(xué)科中任意選擇兩門(mén)學(xué)科,則一名學(xué)生的不同選科組合有()A.8種 B.12種 C.16種 D.20種4.已知銳角滿足則()A. B. C. D.5.某中學(xué)2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.2倍,為了更好地對(duì)比該??忌纳龑W(xué)情況,統(tǒng)計(jì)了該校2016年和2019年的高考情況,得到如圖柱狀圖:則下列結(jié)論正確的是().A.與2016年相比,2019年不上線的人數(shù)有所增加B.與2016年相比,2019年一本達(dá)線人數(shù)減少C.與2016年相比,2019年二本達(dá)線人數(shù)增加了0.3倍D.2016年與2019年藝體達(dá)線人數(shù)相同6.已知函數(shù),,若總有恒成立.記的最小值為,則的最大值為()A.1 B. C. D.7.已知復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.定義運(yùn)算,則函數(shù)的圖象是().A. B.C. D.9.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,則()A.4 B.8 C.16 D.210.在正方體中,球同時(shí)與以為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切,球同時(shí)與以為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切,且兩球相切于點(diǎn).若以為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線經(jīng)過(guò),設(shè)球的半徑分別為,則()A. B. C. D.11.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.1012.若滿足,且目標(biāo)函數(shù)的最大值為2,則的最小值為()A.8 B.4 C. D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.三棱柱中,,側(cè)棱底面,且三棱柱的側(cè)面積為.若該三棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的表面上,則球的表面積的最小值為_(kāi)____.14.已知,,,且,則的最小值為_(kāi)__________.15.若,則的最小值為_(kāi)_______.16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A,B為x軸正半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),P(異于原點(diǎn)O)為y軸上的一個(gè)定點(diǎn).若以AB為直徑的圓與圓x2+(y-2)2=1相外切,且∠APB的大小恒為定值,則線段OP的長(zhǎng)為_(kāi)____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在中,已知,,,為線段的中點(diǎn),是由繞直線旋轉(zhuǎn)而成,記二面角的大小為.(1)當(dāng)平面平面時(shí),求的值;(2)當(dāng)時(shí),求二面角的余弦值.18.(12分)已知函數(shù).(1)若,解關(guān)于的不等式;(2)若當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)設(shè)函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)若,證明在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn);(2)在上恒成立,求的取值范圍.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,,,,是正三角形,,是的中點(diǎn).(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)如圖,四棱錐中,底面是菱形,對(duì)角線交于點(diǎn)為棱的中點(diǎn),.求證:(1)平面;(2)平面平面.22.(10分)已知中,內(nèi)角所對(duì)邊分別是其中.(1)若角為銳角,且,求的值;(2)設(shè),求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義,體積公式分別進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于,設(shè)平面與直線交于點(diǎn),連接、,則為的中點(diǎn)分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,,平面,平面,平面.同理可得平面,、是平面內(nèi)的相交直線平面平面,由此結(jié)合平面,可得直線平面,即點(diǎn)是線段上上的動(dòng)點(diǎn).正確.對(duì)于,平面平面,和平面相交,與是異面直線,正確.對(duì)于,由知,平面平面,與不可能平行,錯(cuò)誤.對(duì)于,因?yàn)?,則到平面的距離是定值,三棱錐的體積為定值,所以正確;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.2.B【解析】
選B.考點(diǎn):圓心坐標(biāo)3.C【解析】
分兩類(lèi)進(jìn)行討論:物理和歷史只選一門(mén);物理和歷史都選,分別求出兩種情況對(duì)應(yīng)的組合數(shù),即可求出結(jié)果.【詳解】若一名學(xué)生只選物理和歷史中的一門(mén),則有種組合;若一名學(xué)生物理和歷史都選,則有種組合;因此共有種組合.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理,熟記其計(jì)數(shù)原理的概念,即可求出結(jié)果,屬于??碱}型.4.C【解析】
利用代入計(jì)算即可.【詳解】由已知,,因?yàn)殇J角,所以,,即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.5.A【解析】
設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為,通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算逐一驗(yàn)證選項(xiàng)A、B、C、D.【詳解】設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為,2016年高考不上線人數(shù)為,2019年不上線人數(shù)為,故A正確;2016年高考一本人數(shù),2019年高考一本人數(shù),故B錯(cuò)誤;2019年二本達(dá)線人數(shù),2016年二本達(dá)線人數(shù),增加了倍,故C錯(cuò)誤;2016年藝體達(dá)線人數(shù),2019年藝體達(dá)線人數(shù),故D錯(cuò)誤.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查柱狀圖的應(yīng)用,考查學(xué)生識(shí)圖的能力,是一道較為簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)類(lèi)的題目.6.C【解析】
根據(jù)總有恒成立可構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得,求得,再換元求導(dǎo)分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設(shè),則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增,無(wú)最大值.若,則當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡(jiǎn)得.故,令,可令,故,當(dāng)時(shí),,在遞減;當(dāng)時(shí),,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問(wèn)題,需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進(jìn)而求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.7.D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算,求得,再求其對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可判斷.【詳解】,故其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.其位于第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,以及復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),屬綜合基礎(chǔ)題.8.A【解析】
由已知新運(yùn)算的意義就是取得中的最小值,因此函數(shù),只有選項(xiàng)中的圖象符合要求,故選A.9.A【解析】
利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì),考查基本量的計(jì)算,難度容易.10.D【解析】
由題先畫(huà)出立體圖,再畫(huà)出平面處的截面圖,由拋物線第一定義可知,點(diǎn)到點(diǎn)的距離即半徑,也即點(diǎn)到面的距離,點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到面的距離因此球內(nèi)切于正方體,設(shè),兩球球心和公切點(diǎn)都在體對(duì)角線上,通過(guò)幾何關(guān)系可轉(zhuǎn)化出,進(jìn)而求解【詳解】根據(jù)拋物線的定義,點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等,其中點(diǎn)到點(diǎn)的距離即半徑,也即點(diǎn)到面的距離,點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到面的距離,因此球內(nèi)切于正方體,不妨設(shè),兩個(gè)球心和兩球的切點(diǎn)均在體對(duì)角線上,兩個(gè)球在平面處的截面如圖所示,則,所以.又因?yàn)椋虼?,得,所?故選:D【點(diǎn)睛】本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化,拋物線幾何性質(zhì)的使用,內(nèi)切球的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化思想,直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)11.C【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?,所以,,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的定義及復(fù)數(shù)模的性質(zhì),屬于容易題.12.A【解析】
作出可行域,由,可得.當(dāng)直線過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí),最大,可得.再由基本不等式可求的最小值.【詳解】作出可行域,如圖所示由,可得.平移直線,當(dāng)直線過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí),最大,即最大,最大值為2.解方程組,得..,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.的最小值為8.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,考查基本不等式,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
分析題意可知,三棱柱為正三棱柱,所以三棱柱的中心即為外接球的球心,設(shè)棱柱的底面邊長(zhǎng)為,高為,則三棱柱的側(cè)面積為,球的半徑表示為,再由重要不等式即可得球表面積的最小值【詳解】如下圖,∵三棱柱為正三棱柱∴設(shè),∴三棱柱的側(cè)面積為∴又外接球半徑∴外接球表面積.故答案為:【點(diǎn)睛】考查學(xué)生對(duì)幾何體的正確認(rèn)識(shí),能通過(guò)題意了解到題目傳達(dá)的意思,培養(yǎng)學(xué)生空間想象力,能夠利用題目條件,畫(huà)出圖形,尋找外接球的球心以及半徑,屬于中檔題14.【解析】
由,先將變形為,運(yùn)用基本不等式可得最小值,再求的最小值,運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性即可得到所求值.【詳解】解:因?yàn)?,,,且,所以因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),所以令,則,令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以所以則所求最小值為故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查基本不等式的運(yùn)用:求最值,注意變形和滿足的條件:一正二定三相等,考查利用單調(diào)性求最值,考查化簡(jiǎn)和運(yùn)算能力,屬于中檔題.15.【解析】
由基本不等式,可得到,然后利用,可得到最小值,要注意等號(hào)取得的條件?!驹斀狻坑深}意,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以當(dāng)時(shí),取得最小值.【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值必須具備三個(gè)條件:①各項(xiàng)都是正數(shù);②和(或積)為定值;③等號(hào)取得的條件。16.【解析】分析:設(shè)O2(a,0),圓O2的半徑為r(變量),OP=t(常數(shù)),利用差角的正切公式,結(jié)合以AB為直徑的圓與圓x2+(y-2)2=1相外切.且∠APB的大小恒為定值,即可求出線段OP的長(zhǎng).詳解:設(shè)O2(a,0),圓O2的半徑為r(變量),OP=t(常數(shù)),則∵∠APB的大小恒為定值,
∴t=,∴|OP|=.故答案為點(diǎn)睛:本題考查圓與圓的位置關(guān)系,考查差角的正切公式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)平面平面,建立坐標(biāo)系,根據(jù)法向量互相垂直求得;(2)求兩個(gè)平面的法向量的夾角.【詳解】(1)如圖,以為原點(diǎn),在平面內(nèi)垂直于的直線為軸所在的直線分別為軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)為平面的一個(gè)法向量,由得,取,則因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為由平面平面,得所以即.(2)設(shè)二面角的大小為,當(dāng)平面的一個(gè)法向量為,綜上,二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,難度一般.18.(1)(2)【解析】
(1)利用零點(diǎn)分段法將表示為分段函數(shù)的形式,由此求得不等式的解集.(2)對(duì)分成三種情況,求得的最小值,由此求得的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,由此可知,的解集為(2)當(dāng)時(shí),的最小值為和中的最小值,其中,.所以恒成立.當(dāng)時(shí),,且,不恒成立,不符合題意.當(dāng)時(shí),,若,則,故不恒成立,不符合題意;若,則,故不恒成立,不符合題意.綜上,.【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對(duì)值不等式的解法,考查根據(jù)絕對(duì)值不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.19.(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式求出,再由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,而,,可知在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn);(2)由題意可將轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)討論研究其在上的單調(diào)性,由,即可求出的取值范圍.【詳解】(1)若,則,,設(shè),則,,,故函數(shù)是奇函數(shù).當(dāng)時(shí),,,這時(shí),又函數(shù)是奇函數(shù),所以當(dāng)時(shí),.綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減.又,,故在區(qū)間上恒成立,所以在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).(2),由,所以恒成立,若,則,設(shè),.故當(dāng)時(shí),,又,所以當(dāng)時(shí),,滿足題意;當(dāng)時(shí),有,與條件矛盾,舍去;當(dāng)時(shí),令,則,又,故在區(qū)間上有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn),設(shè)最小的零點(diǎn)為,則當(dāng)時(shí),,因此在上單調(diào)遞增.,所以.于是,當(dāng)時(shí),,得,與條件矛盾.故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,涉及分類(lèi)討論思想和放縮法的應(yīng)用,難度較大,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.20.(1)見(jiàn)證明;(2)【解析】
(1)設(shè)是的中點(diǎn),連接、,先證明是平行四
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