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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若復數(shù)z滿足,則()A. B. C. D.2.函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B. C. D.3.若,則“”是“的展開式中項的系數(shù)為90”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知滿足,則()A. B. C. D.5.復數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知拋物線經(jīng)過點,焦點為,則直線的斜率為()A. B. C. D.7.若關(guān)于的不等式有正整數(shù)解,則實數(shù)的最小值為()A. B. C. D.8.已知數(shù)列中,,且當為奇數(shù)時,;當為偶數(shù)時,.則此數(shù)列的前項的和為()A. B. C. D.9.已知銳角滿足則()A. B. C. D.10.某四棱錐的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是()A.8 B. C.4 D.11.若直線的傾斜角為,則的值為()A. B. C. D.12.已知函數(shù)滿足,且,則不等式的解集為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.平面向量,,(R),且與的夾角等于與的夾角,則.14.已知直線與圓心為的圓相交于兩點,且,則實數(shù)的值為_________.15.已知函數(shù)的最大值為3,的圖象與y軸的交點坐標為,其相鄰兩條對稱軸間的距離為2,則16.已知為拋物線:的焦點,過作兩條互相垂直的直線,,直線與交于、兩點,直線與交于、兩點,則的最小值為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在以ABCDEF為頂點的五面體中,底面ABCD為菱形,∠ABC=120°,AB=AE=ED=2EF,EFAB,點G為CD中點,平面EAD⊥平面ABCD.(1)證明:BD⊥EG;(2)若三棱錐,求菱形ABCD的邊長.18.(12分)已知函數(shù).(1)求的極值;(2)若,且,證明:.19.(12分)已知數(shù)列,其前項和為,滿足,,其中,,,.⑴若,,(),求證:數(shù)列是等比數(shù)列;⑵若數(shù)列是等比數(shù)列,求,的值;⑶若,且,求證:數(shù)列是等差數(shù)列.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是矩形,是的中點,平面,且,.()求與平面所成角的正弦.()求二面角的余弦值.21.(12分)已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點,與的公共弦的長為.(1)求的方程;(2)過點的直線與相交于、兩點,與相交于、兩點,且與同向,設在點處的切線與軸的交點為,證明:直線繞點旋轉(zhuǎn)時,總是鈍角三角形;(3)為上的動點,、為長軸的兩個端點,過點作的平行線交橢圓于點,過點作的平行線交橢圓于點,請問的面積是否為定值,并說明理由.22.(10分)某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設計了一個實驗,并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時間的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表),得到了散點圖(如下圖).表中,.(1)根據(jù)散點圖判斷,與哪一個更適宜作燒水時間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說明理由)(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;(3)若單位時間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比,那么,利用第(2)問求得的回歸方程知為多少時,燒開一壺水最省煤氣?附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計值分別為,
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
先化簡得再求得解.【詳解】所以.故選:D【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算和模的計算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.2.D【解析】
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式和輔助角公式化簡表達式,再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,求得的單調(diào)區(qū)間,由此確定正確選項.【詳解】因為,由單調(diào)遞增,則(),解得(),當時,D選項正確.C選項是遞減區(qū)間,A,B選項中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選:D【點睛】本小題考查三角函數(shù)的恒等變換,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎知識;考查運算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結(jié)合思想,應用意識.3.B【解析】
求得的二項展開式的通項為,令時,可得項的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結(jié)果.【詳解】若則二項展開式的通項為,令,即,則項的系數(shù)為,充分性成立;當?shù)恼归_式中項的系數(shù)為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【點睛】本題考查二項式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識,考查考生的分析問題的能力和計算能力,難度較易.4.A【解析】
利用兩角和與差的余弦公式展開計算可得結(jié)果.【詳解】,.故選:A.【點睛】本題考查三角求值,涉及兩角和與差的余弦公式的應用,考查計算能力,屬于基礎題.5.B【解析】
利用復數(shù)的四則運算以及幾何意義即可求解.【詳解】解:,則復數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為:,位于第二象限.故選:B.【點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算以及復數(shù)的幾何意義,屬于基礎題.6.A【解析】
先求出,再求焦點坐標,最后求的斜率【詳解】解:拋物線經(jīng)過點,,,,故選:A【點睛】考查拋物線的基礎知識及斜率的運算公式,基礎題.7.A【解析】
根據(jù)題意可將轉(zhuǎn)化為,令,利用導數(shù),判斷其單調(diào)性即可得到實數(shù)的最小值.【詳解】因為不等式有正整數(shù)解,所以,于是轉(zhuǎn)化為,顯然不是不等式的解,當時,,所以可變形為.令,則,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,而,所以當時,,故,解得.故選:A.【點睛】本題主要考查不等式能成立問題的解法,涉及到對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應用,構(gòu)造函數(shù)法的應用,導數(shù)的應用等,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.8.A【解析】
根據(jù)分組求和法,利用等差數(shù)列的前項和公式求出前項的奇數(shù)項的和,利用等比數(shù)列的前項和公式求出前項的偶數(shù)項的和,進而可求解.【詳解】當為奇數(shù)時,,則數(shù)列奇數(shù)項是以為首項,以為公差的等差數(shù)列,當為偶數(shù)時,,則數(shù)列中每個偶數(shù)項加是以為首項,以為公比的等比數(shù)列.所以.故選:A【點睛】本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前項和公式、等比數(shù)列的前項和公式,需熟記公式,屬于基礎題.9.C【解析】
利用代入計算即可.【詳解】由已知,,因為銳角,所以,,即.故選:C.【點睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應用,考查學生的運算能力,是一道基礎題.10.D【解析】
根據(jù)三視圖知,該幾何體是一條垂直于底面的側(cè)棱為2的四棱錐,畫出圖形,結(jié)合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積.【詳解】根據(jù)三視圖知,該幾何體是側(cè)棱底面的四棱錐,如圖所示:結(jié)合圖中數(shù)據(jù)知,該四棱錐底面為對角線為2的正方形,高為PA=2,∴四棱錐的體積為.故選:D.【點睛】本題考查由三視圖求幾何體體積,由三視圖正確復原幾何體是解題的關(guān)鍵,考查空間想象能力.屬于中等題.11.B【解析】
根據(jù)題意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡,再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,將代入計算即可求出值.【詳解】由于直線的傾斜角為,所以,則故答案選B【點睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.12.B【解析】
構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,即可得到結(jié)論.【詳解】設,則函數(shù)的導數(shù),,,即函數(shù)為減函數(shù),,,則不等式等價為,則不等式的解集為,即的解為,,由得或,解得或,故不等式的解集為.故選:.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式,考查學生分析問題解決問題的能力,是難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.2【解析】試題分析:,與的夾角等于與的夾角,所以考點:向量的坐標運算與向量夾角14.0或6【解析】
計算得到圓心,半徑,根據(jù)得到,利用圓心到直線的距離公式解得答案.【詳解】,即,圓心,半徑.,故圓心到直線的距離為,即,故或.故答案為:或.【點睛】本題考查了根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求參數(shù),意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力。15.【解析】,由題意,得,解得,則的周期為4,且,所以.考點:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).16.16.【解析】由題意可知拋物線的焦點,準線為設直線的解析式為∵直線互相垂直∴的斜率為與拋物線的方程聯(lián)立,消去得設點由跟與系數(shù)的關(guān)系得,同理∵根據(jù)拋物線的性質(zhì),拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離∴,同理∴,當且僅當時取等號.故答案為16點睛:(1)與拋物線有關(guān)的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).利用定義可將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離,可以使運算化繁為簡.“看到準線想焦點,看到焦點想準線”,這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑;(2)圓錐曲線中的最值問題,可利用基本不等式求解,但要注意不等式成立的條件.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)詳見解析;(2).【解析】
(1)取中點,連,可得,結(jié)合平面EAD⊥平面ABCD,可證平面ABCD,進而有,再由底面是菱形可得,可得,可證得平面,即可證明結(jié)論;(2)設底面邊長為,由EFAB,AB=2EF,,求出體積,建立的方程,即可求出結(jié)論.【詳解】(1)取中點,連,底面ABCD為菱形,,,平面EAD⊥平面ABCD,平面平面平面,平面平面,底面ABCD為菱形,,為中點,,平面,平面平面,;(2)設菱形ABCD的邊長為,則,,,,,所以菱形ABCD的邊長為.【點睛】本題考查線線垂直的證明和椎體的體積,注意空間中垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化,體積問題要熟練應用等體積方法,屬于中檔題.18.(1)極大值為;極小值為;(2)見解析【解析】
(1)對函數(shù)求導,進而可求出單調(diào)性,從而可求出函數(shù)的極值;(2)構(gòu)造函數(shù),求導并判斷單調(diào)性可得,從而在上恒成立,再結(jié)合,,可得到,即可證明結(jié)論成立.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為,,所以當時,;當時,,則的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.故的極大值為;的極小值為.(2)證明:由(1)知,設函數(shù),則,,則在上恒成立,即在上單調(diào)遞增,故,又,則,即在上恒成立.因為,所以,又,則,因為,且在上單調(diào)遞減,所以,故.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查了利用導數(shù)證明不等式,構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵,屬于難題.19.(1)見解析(2)(3)見解析【解析】試題分析:(1)(),所以,故數(shù)列是等比數(shù)列;(2)利用特殊值法,得,故;(3)得,所以,得,可證數(shù)列是等差數(shù)列.試題解析:(1)證明:若,則當(),所以,即,所以,又由,,得,,即,所以,故數(shù)列是等比數(shù)列.(2)若是等比數(shù)列,設其公比為(),當時,,即,得,①當時,,即,得,②當時,,即,得,③②①,得,③②,得,解得.代入①式,得.此時(),所以,是公比為1的等比數(shù)列,故.(3)證明:若,由,得,又,解得.由,,,,代入得,所以,,成等差數(shù)列,由,得,兩式相減得:即所以相減得:所以所以,因為,所以,即數(shù)列是等差數(shù)列.20.(1).(2).【解析】分析:(1)直接建立空間直角坐標系,然后求出面的法向量和已知線的向量,再結(jié)合向量的夾角公式求解即可;(2)先分別得出兩個面的法向量,然后根據(jù)向量交角公式求解即可.詳解:()∵是矩形,∴,又∵平面,∴,,即,,兩兩垂直,∴以為原點,,,分別為軸,軸,軸建立如圖空間直角坐標系,由,,得,,,,,,則,,,設平面的一個法向量為,則,即,令,得,,∴,∴,故與平面所成角的正弦值為.()由()可得,設平面的一個法向量為,則,即,令,得,,∴,∴,故二面角的余弦值為.點睛:考查空間立體幾何的線面角,二面角問題,一般直接建立坐標系,結(jié)合向量夾角公式求解即可,但要注意坐標的正確性,坐標錯則結(jié)果必錯,務必細心,屬于中檔題.21.(1);(2)證明見解析;(3)是,理由見解析.【解析】
(1)根據(jù)兩個曲線的焦點相同,得到,再根據(jù)與的公共弦長為得出,可求出和的值,進而可得出曲線的方程;(2)設點,根據(jù)導數(shù)的幾何意義得到曲線在點處的切線方程,求出點的坐標,利用向量的數(shù)量積得出,則問題得以證明;(3)設直線,直線,、、,推導出以及,求出和,通過化簡計算可得出為定值,進而可得出結(jié)論.【詳解】(1)由知其焦點的坐標為,也是橢圓的一個焦點,,①又與的公共弦的長為,與都關(guān)于軸對稱,且的方程為,由此易知與的公共點的坐標為,,②聯(lián)立①②,得,,故的方程為;(2)如圖,,由得,在點處的切線方程為,即,令,得,即,,而,于是,因此是銳角,從而是鈍角.故直線繞點旋轉(zhuǎn)時,總是鈍角三角形;(3)設直線,直線,、、,則,設向量和的夾角為,則的面積為,由,可得,同理可得,故有.又,故,則,因此,的面積為定值.【點睛】本題考查了圓錐曲線的和直線的位置與關(guān)系,考查鈍角三角形的判定以及三角形面積為定值的求解
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