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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.復數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復數(shù)在復平面上對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題;“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次后腳痛遞減半,六朝才得到其關(guān),要見每朝行里數(shù),請公仔細算相還.”其意思為:“有一個人走了378里路,第一天健步走行,從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到達目的地,求該人每天走的路程.”由這個描述請算出這人第四天走的路程為()A.6里 B.12里 C.24里 D.48里3.將函數(shù)向左平移個單位,得到的圖象,則滿足()A.圖象關(guān)于點對稱,在區(qū)間上為增函數(shù)B.函數(shù)最大值為2,圖象關(guān)于點對稱C.圖象關(guān)于直線對稱,在上的最小值為1D.最小正周期為,在有兩個根4.一個盒子里有4個分別標有號碼為1,2,3,4的小球,每次取出一個,記下它的標號后再放回盒子中,共取3次,則取得小球標號最大值是4的取法有()A.17種 B.27種 C.37種 D.47種5.在中,角,,的對邊分別為,,,若,,,則()A. B.3 C. D.46.設為的兩個零點,且的最小值為1,則()A. B. C. D.7.一物體作變速直線運動,其曲線如圖所示,則該物體在間的運動路程為()m.A.1 B. C. D.28.若,則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是()A.B.C.D.9.已知F是雙曲線(k為常數(shù))的一個焦點,則點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為()A.2k B.4k C.4 D.210.已知正項等比數(shù)列中,存在兩項,使得,,則的最小值是()A. B. C. D.11.若集合,則=()A. B. C. D.12.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動;“書”,指各種歷史文化知識;“數(shù)”,指數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“數(shù)”必須排在第三節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰排課,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)有兩個極值點、,則的取值范圍為_________.14.已知橢圓的左右焦點分別為,過且斜率為的直線交橢圓于,若三角形的面積等于,則該橢圓的離心率為________.15.在三棱錐中,,,兩兩垂直且,點為的外接球上任意一點,則的最大值為______.16.在長方體中,,,,為的中點,則點到平面的距離是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱錐中,平面平面,,.點,,分別為線段,,的中點,點是線段的中點.(1)求證:平面.(2)判斷與平面的位置關(guān)系,并證明.18.(12分)某商店舉行促銷反饋活動,顧客購物每滿200元,有一次抽獎機會(即滿200元可以抽獎一次,滿400元可以抽獎兩次,依次類推).抽獎的規(guī)則如下:在一個不透明口袋中裝有編號分別為1,2,3,4,5的5個完全相同的小球,顧客每次從口袋中摸出一個小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球編號一次比一次大(如1,2,5),則獲得一等獎,獎金40元;若摸得的小球編號一次比一次?。ㄈ?,3,1),則獲得二等獎,獎金20元;其余情況獲得三等獎,獎金10元.(1)某人抽獎一次,求其獲獎金額X的概率分布和數(shù)學期望;(2)趙四購物恰好滿600元,假設他不放棄每次抽獎機會,求他獲得的獎金恰好為60元的概率.19.(12分)在三角形中,角,,的對邊分別為,,,若.(Ⅰ)求角;(Ⅱ)若,,求.20.(12分)已知函數(shù)()(1)函數(shù)在點處的切線方程為,求函數(shù)的極值;(2)當時,對于任意,當時,不等式恒成立,求出實數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知數(shù)列和滿足:.(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項和.22.(10分)已知矩陣,求矩陣的特征值及其相應的特征向量.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
由復數(shù)除法求出,寫出共軛復數(shù),寫出共軛復數(shù)對應點坐標即得【詳解】解析:,,對應點為,在第三象限.故選:C.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算,共軛復數(shù)的概念,復數(shù)的幾何意義.掌握復數(shù)除法法則是解題關(guān)鍵.2.C【解析】
設第一天走里,則是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,由題意得,求出(里,由此能求出該人第四天走的路程.【詳解】設第一天走里,則是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,由題意得:,解得(里,(里.故選:C.【點睛】本題考查等比數(shù)列的某一項的求法,考查等比數(shù)列等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是基礎題.3.C【解析】
由輔助角公式化簡三角函數(shù)式,結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷各選項.【詳解】函數(shù),則,將向左平移個單位,可得,由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,的對稱中心滿足,解得,所以A、B選項中的對稱中心錯誤;對于C,的對稱軸滿足,解得,所以圖象關(guān)于直線對稱;當時,,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知,所以在上的最小值為1,所以C正確;對于D,最小正周期為,當,,由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,時僅有一個解為,所以D錯誤;綜上可知,正確的為C,故選:C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡,三角函數(shù)圖象平移變換,正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用,屬于中檔題.4.C【解析】
由于是放回抽取,故每次的情況有4種,共有64種;先找到最大值不是4的情況,即三次取出標號均不為4的球的情況,進而求解.【詳解】所有可能的情況有種,其中最大值不是4的情況有種,所以取得小球標號最大值是4的取法有種,故選:C【點睛】本題考查古典概型,考查補集思想的應用,屬于基礎題.5.B【解析】由正弦定理及條件可得,即.,∴,由余弦定理得?!?選B。6.A【解析】
先化簡已知得,再根據(jù)題意得出f(x)的最小值正周期T為1×2,再求出ω的值.【詳解】由題得,設x1,x2為f(x)=2sin(ωx﹣)(ω>0)的兩個零點,且的最小值為1,∴=1,解得T=2;∴=2,解得ω=π.故選A.【點睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題,是基礎題.7.C【解析】
由圖像用分段函數(shù)表示,該物體在間的運動路程可用定積分表示,計算即得解【詳解】由題中圖像可得,由變速直線運動的路程公式,可得.所以物體在間的運動路程是.故選:C【點睛】本題考查了定積分的實際應用,考查了學生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.8.B【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,,在恒成立,在恒成立,,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是,故選B.9.D【解析】
分析可得,再去絕對值化簡成標準形式,進而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】當時,等式不是雙曲線的方程;當時,,可化為,可得虛半軸長,所以點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選:D【點睛】本題考查雙曲線的方程與點到直線的距離.屬于基礎題.10.C【解析】
由已知求出等比數(shù)列的公比,進而求出,嘗試用基本不等式,但取不到等號,所以考慮直接取的值代入比較即可.【詳解】,,或(舍).,,.當,時;當,時;當,時,,所以最小值為.故選:C.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算及最小值,屬于基礎題.11.C【解析】
求出集合,然后與集合取交集即可.【詳解】由題意,,,則,故答案為C.【點睛】本題考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了計算能力,屬于基礎題.12.C【解析】
根據(jù)“數(shù)”排在第三節(jié),則“射”和“御”兩門課程相鄰有3類排法,再考慮兩者的順序,有種,剩余的3門全排列,即可求解.【詳解】由題意,“數(shù)”排在第三節(jié),則“射”和“御”兩門課程相鄰時,可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié),有3種,再考慮兩者的順序,有種,剩余的3門全排列,安排在剩下的3個位置,有種,所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有種不同的排法.故選:C.【點睛】本題主要考查了排列、組合的應用,其中解答中認真審題,根據(jù)題設條件,先排列有限制條件的元素是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
確定函數(shù)的定義域,求導函數(shù),利用極值的定義,建立方程,結(jié)合韋達定理,即可求的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為,,依題意,方程有兩個不等的正根、(其中),則,由韋達定理得,,所以,令,則,,當時,,則函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,.因此,的取值范圍是.故答案為:.【點睛】本題考查了函數(shù)極值點問題,考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值,將的取值范圍轉(zhuǎn)化為以為自變量的函數(shù)的值域問題是解答的關(guān)鍵,考查計算能力,屬于中等題.14.【解析】
由題得直線的方程為,代入橢圓方程得:,設點,則有,由,且解出,進而求解出離心率.【詳解】由題知,直線的方程為,代入消得:,設點,則有,,而,又,解得:,所以離心率.故答案為:【點睛】本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系,三角形面積計算與離心率的求解,考查了學生的運算求解能力15.【解析】
先根據(jù)三棱錐的幾何性質(zhì),求出外接球的半徑,結(jié)合向量的運算,將問題轉(zhuǎn)化為求球體表面一點到外心距離最大的問題,即可求得結(jié)果.【詳解】因為兩兩垂直且,故三棱錐的外接球就是對應棱長為2的正方體的外接球.且外接球的球心為正方體的體對角線的中點,如下圖所示:容易知外接球半徑為.設線段的中點為,故可得,故當取得最大值時,取得最大值.而當在同一個大圓上,且,點與線段在球心的異側(cè)時,取得最大值,如圖所示:此時,故答案為:.【點睛】本題考查球體的幾何性質(zhì),幾何體的外接球問題,涉及向量的線性運算以及數(shù)量積運算,屬綜合性困難題.16.【解析】
利用等體積法求解點到平面的距離【詳解】由題在長方體中,,,所以,所以,設點到平面的距離為,解得故答案為:【點睛】此題考查求點到平面的距離,通過在三棱錐中利用等體積法求解,關(guān)鍵在于合理變換三棱錐的頂點.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析(2)平面.見解析【解析】
(1)要證平面,只需證明,,即可求得答案;(2)連接交于點,連接,根據(jù)已知條件求證,即可判斷與平面的位置關(guān)系,進而求得答案.【詳解】(1),為邊的中點,,平面平面,平面平面,平面,平面,,在內(nèi),,為所在邊的中點,,又,,平面.(2)判斷可知,平面,證明如下:連接交于點,連接.、、分別為邊、、的中點,.又是的重心,,,平面,平面,平面.【點睛】本題主要考查了求證線面垂直和線面平行,解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判定定理和線面平行判斷定理,考查了分析能力和空間想象能力,屬于中檔題.18.(1)分布見解析,期望為;(2).【解析】
(1)先明確X的可能取值,分別求解其概率,然后寫出分布列,利用期望公式可求期望;(2)獲得的獎金恰好為60元,可能是三次二等獎,也可能是一次一等獎,兩次三等獎,然后分別求解概率即可.【詳解】(1)由題意知,隨機變量X的可能取值為10,20,40且,,所以,即隨機變量X的概率分布為X102040P所以隨機變量X的數(shù)學期望.(2)由題意知,趙四有三次抽獎機會,設恰好獲得60元為事件A,因為60=20×3=40+10+10,所以.【點睛】本題主要考查隨機變量的分布列及數(shù)學期望,明確隨機變量的所有取值是求解的第一步,再求解對應的概率,側(cè)重考查數(shù)學建模的核心素養(yǎng).19.(Ⅰ)(Ⅱ)8【解析】
(Ⅰ)由余弦定理可得,即可求出A,(Ⅱ)根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和兩角和的正弦公式和正弦定理即可求出.【詳解】(Ⅰ)由余弦定理,所以,所以,即,因為,所以;(Ⅱ)因為,所以,因為,,由正弦定理得,所以.【點睛】本題考查利用正弦定理與余弦定理解三角形,屬于簡單題.20.(1)極小值為,極大值為.(2)【解析】
(1)根據(jù)斜線的斜率即可求得參數(shù),再對函數(shù)求導,即可求得函數(shù)的極值;(2)根據(jù)題意,對目標式進行變形,構(gòu)造函數(shù),根據(jù)是單調(diào)減函數(shù),分離參數(shù),求函數(shù)的最值即可求得結(jié)果.【詳解】(
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