捕魚問題數(shù)學(xué)建模論文

PAGE17捕魚問題摘要 就個體漁業(yè)養(yǎng)殖戶而言，其經(jīng)濟(jì)效益會受到捕撈水位等多方面因素的影響．依據(jù)題中所給的影響因素，如果不能進(jìn)行合理的計(jì)劃，就會導(dǎo)致個體漁業(yè)養(yǎng)殖戶經(jīng)濟(jì)效益的下降，甚至使其遇到破產(chǎn)危機(jī)．因此，有必要通過建立合理的數(shù)學(xué)模型的方法，求得最佳的捕撈計(jì)劃，從而使個體漁業(yè)養(yǎng)殖戶的經(jīng)濟(jì)效益達(dá)到最佳．問題一：以日供應(yīng)量為研究對象，采用分段函數(shù)的方法，將日供應(yīng)量分為四個階段,其范圍分別為：，，，，列出各階段銷售收益隨供應(yīng)量的變化的函數(shù)關(guān)系為：問題二：首先，以水位高度為研究對象，由題意得水位高度和時間為線性關(guān)系；其次，以捕撈成本為研究對象，捕撈成本和水位高度之間滿足二次非線性關(guān)系，將已知的兩點(diǎn)帶人所關(guān)系得出捕撈成本與水位高度的函數(shù)關(guān)系；最后，聯(lián)立上述所得的兩個函數(shù)，得出捕撈成本隨時間的變化函數(shù)關(guān)系為：問題三：當(dāng)水位下降時，捕魚的損失率會越來越大，并且其損失率會加速增大，據(jù)查詢的資料得出水位和損失率的關(guān)系跟反函數(shù)圖像最接近，采用以水位為自變量，損失率為因變量建立模型，最終得出其函數(shù)模型，聯(lián)系水位與時間的關(guān)系，最終可以得出草魚的損失率與時間變化的函數(shù)關(guān)系為：問題四：最優(yōu)問題，用目標(biāo)規(guī)劃．目標(biāo)函數(shù)為最大的總經(jīng)濟(jì)效益最大,總的經(jīng)濟(jì)效益由每一天都的經(jīng)濟(jì)利潤組成．每天的經(jīng)濟(jì)利潤由銷售效益、捕魚成本和損失率組成，成本和損失率是隨時間的變化，建立相應(yīng)的目標(biāo)規(guī)劃模型，用lingo軟件求解得出最大利潤．關(guān)鍵詞：分段函數(shù)反比例函數(shù)目標(biāo)規(guī)劃MATLAB軟件LINGO軟件問題重述已知日供應(yīng)量在400公斤以下，價格為20元/公斤，日供應(yīng)量在400—1200公斤，超過部分價格降至18元/公斤，日供應(yīng)量超過1200公斤時，超過部分價格降至15元/公斤，當(dāng)水位于10米時，捕撈成本為每公斤5元，當(dāng)水位降至2米時，為1元/公斤，隨著水位的下降草魚死亡和捕撈造成損失增加，至最低水位2米時損失率為20%，聯(lián)系魚的總量、水位、水位隨時間的變化關(guān)系、魚損失的變化率隨水位的變化關(guān)系、捕魚成本隨水位的變化關(guān)系及不同供應(yīng)量時魚的價格的情況下，解決以下的幾個問題：問題1：建立草魚的銷售收益隨供應(yīng)量變化的函數(shù)關(guān)系；問題2：建立草魚的捕撈成本隨時間變化的函數(shù)關(guān)系；問題3：討論損失率與水位關(guān)系，并進(jìn)一步建立簡明合理的草魚損失率隨時間變化的函數(shù)關(guān)系；問題4：如何捕撈并將鮮活草魚投放市場，效益最佳？模型假設(shè)假設(shè)不考慮草魚的出生率與死亡率；假設(shè)草魚體重不變；假設(shè)草魚的損失率是自捕撈后到死亡的數(shù)量；假設(shè)成本不會出現(xiàn)意外的變故；5.假設(shè)市場價格在一定的時間段內(nèi)維持題目已知的規(guī)律；符號說明日供應(yīng)量z銷售收益水位高度捕撈成本天數(shù)每日捕撈量0-1變量，=1表示第i天的價格在第j種情況日利潤總利潤問題分析針對第一問，隨著供應(yīng)量的變化，草魚的單價在不斷的變化，而銷售收益為單價與供應(yīng)量的乘積，即銷售收益與供應(yīng)量的函數(shù)關(guān)系為分段函數(shù)，求得函數(shù)之后再用MATLAB制圖．針對第二問，由于水的深度降低時，捕撈成本越來越低，并且降低的速度越來越快，所以設(shè)其為二次函數(shù)，將水深與時間的一次函數(shù)帶入即可得到章魚的捕撈成本隨時間的函數(shù)關(guān)系，求得函數(shù)之后再用MATLAB制圖．針對第三問，水深降低時，捕魚的損失率也呈加速增加，所以并不能單純地考慮用一次函數(shù)，應(yīng)設(shè)其為反函數(shù)，將水深與時間的一次函數(shù)帶入即可得到章魚的損失率隨時間的函數(shù)關(guān)系，求得函數(shù)之后再用MATLAB制圖．針對第四問，要求最佳的效益，就必須求得每天的捕魚量、損失率、捕撈成本，建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)、約束條件，最后用LINGO求解．模型的建立與求解5.1草魚的銷售收益與供應(yīng)量的關(guān)系：銷售收益即為供應(yīng)量與單價的積，題中已知魚的供應(yīng)量在400kg以下，價格為20元/kg，日供應(yīng)量在400—1200公斤，超過部分價格降至18元/公斤，日供應(yīng)量超過1200公斤時，超過部分價格降至15元/公斤以下，日供應(yīng)量到1800公斤處于飽和。據(jù)此可得出草魚的銷售收益隨供應(yīng)量量變化的分段函數(shù)關(guān)系．日供應(yīng)量,銷售收益；日供應(yīng)量,銷售收益；日供應(yīng)量,銷售收益；日供應(yīng)量，銷售收益為31400；即可列此分段函數(shù)：用Matlab對上述函數(shù)作圖如下：草魚的銷售收益隨供應(yīng)量變化的函數(shù)關(guān)系圖一5.2草魚的捕撈成本與時間的關(guān)系：建立草魚的捕撈成本隨時間變化的函數(shù)關(guān)系需要先確定水位隨時間的變化關(guān)系然后確定水位與捕撈成本之間的函數(shù)關(guān)系．水位是一個中間變化量通過水位可以將捕撈成本與時間的函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來．因?yàn)樗畮飕F(xiàn)有水位為10m，自然放水每天水位降低0.4m，水位最低為2m．所以水位與時間的函數(shù)關(guān)系為：捕撈成本與水位的實(shí)際情況應(yīng)該是隨著水位的降低，最初幾天水位降低引起捕撈成本快速減少，時間越接近20時水位的降低引起的捕撈成本則是緩慢減少，所以我們可以以將捕撈成本與水位的函數(shù)關(guān)系近似的認(rèn)為是一個二次函數(shù)，函數(shù)關(guān)系為：因?yàn)檫@個函數(shù)關(guān)系必須通過（10，5）和（2，1）兩個點(diǎn)，將這兩個點(diǎn)帶入C函數(shù)得到：即作圖如下：捕撈成本與水深的關(guān)系圖圖二將帶入上式得到捕撈成本隨時間變化的函數(shù)關(guān)系：使用Matlab軟件對上述函數(shù)作圖如下：捕撈成本與時間的關(guān)系圖圖三5.3草魚的損失率與時間的關(guān)系：由實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，水位勻速下降時，捕魚的損失率加速增大，并且其損失率會加速增大，即水位和損失率的關(guān)系跟反函數(shù)圖像最接近，最后就采用以水位為自變量，損失率為因變量建立模型．然后再聯(lián)系水位與時間的關(guān)系，最終可以得出草魚的損失率與時間變化的函數(shù)關(guān)系．其基本模型為：將最低水位2米時損失率為20%代入基本模型，即可以求出，所以損失率與水位的關(guān)系：作圖如下：水深與損失率的關(guān)系圖圖四再聯(lián)系水位與時間的關(guān)系將其帶入損失率與水位的關(guān)系式中，即得出損失率與時間的關(guān)系：使用Matlab軟件對上述函數(shù)作圖如下：損失率與時間的關(guān)系圖圖五5.4最佳效益的捕撈方案：該問屬于優(yōu)化問題即求得總的最優(yōu)利益，將總的最優(yōu)利益分為每一天的最優(yōu)利益，每21天的最優(yōu)利益之和就是總的最有利益．一天的最優(yōu)利益為：在一定的損失率的情況下最大的銷售收益減去最小的成本就是最優(yōu)的利益．設(shè)0-1變量為第i天的供應(yīng)量為第j種情況，所以第i天的利益為：可根據(jù)第二文中的成本與時間的函數(shù)關(guān)系得出；根據(jù)第三問中的損失率與時間的函數(shù)關(guān)系得出；,的結(jié)果在附錄中給出．所以目標(biāo)函數(shù)為：約束條件為：每天的供應(yīng)量只能為三種情況中的一種即：20天的捕撈量之和不大于20000即：；每天的捕撈量大于0即：通過Lingo求解（具體過程在附錄中），可得如下結(jié)果：總收益為：321093.4元．每天的結(jié)果如下表：天數(shù)1234567成本54.754.444.143.853.583.32捕撈量(公斤)416.654417.3847418.1052419.0675420.10861263.1021266.637損失率00.04170.04350.04550.04760.05000.0526利益(元)5884.5306017.0186143.346266.4426384.58717881.3118199.12天數(shù)891011121314成本3.072.842.622.412.222.041.87捕撈量（公斤）1270.6581274.8861285.7812101.7121300.0461309.0741319.872損失率0.05560.05880.06250.06670.07140.07690.0833利益（元）18499.2218782.1519035.7926334.8719519.2719734.2319929.95天數(shù)15161718192021成本1.721.581.451.341.241.151捕撈量（公斤）1333.1961350.0681371.3621400.1241439.906500223.9683損失率0.09090.10000.11110.12500.14290.16670.2000利益(元)20109.0820272.4820410.4820529.152061774253118.377表一六、模型的評價與改進(jìn)本文運(yùn)用MATLAB制圖，明了、形象，有利于問題的后期探討．最后一問為目標(biāo)規(guī)劃模型，運(yùn)用LINGO求解，準(zhǔn)確、易解，并比較合理地求出了每天的捕撈量及最佳利潤．但由于題目所給的數(shù)據(jù)不夠，不能做到100%精確．對于模型的改進(jìn)，應(yīng)該增加數(shù)據(jù)量以便提高模型的精確度,應(yīng)考慮到魚的自然死亡和生長．參考文獻(xiàn)[1]崔國華.2000.計(jì)算方法.武漢：華中理工大學(xué)出版社.[2]卓金武，魏永生，秦建，李必文．Matlab在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[M]．北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2011．[3]胡運(yùn)權(quán)，郭耀煌.運(yùn)籌學(xué)教程.清華大學(xué)出版社，2010.[4]韓中庚.《數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用》.高等教育出版社.2009.[5]劉衛(wèi)國.2005.MATLAB程序設(shè)計(jì)教程.北京：中國水利水電出版社.附錄附錄一： 使用Matlab軟件，運(yùn)行程序：>>x1=[1:100:400];y1=20*x1;x2=[401:100:1200];y2=8000+18*(x2-400);x3=[1201:100:1800];y3=22400+15*(x3-1200);x4=[1801:1000:20000];y4=31400;plot(x1,y1,'-k.',x2,y2,'-b',x3,y3,'-r^',x4,y4,'-g.');xlabel('捕撈量單位：kg');ylabel('收益單位：元');legend('捕撈量小于400kg','捕撈量大于400kg,小于1200kg','捕撈量1200kg，1800kg','捕撈量大于1800小于20000','NorthEastOutside')title('草魚的銷售收益隨供應(yīng)量變化的函數(shù)關(guān)系')>>附錄二：使用Matlab軟件，運(yùn)行程序：x=1:1:21;y=(1/24)*x.^2+5/6;plot(y,'-g^');xlabel('水深');ylabel('捕撈成本');title('捕撈成本與水深的關(guān)系圖')使用Matlab軟件，運(yùn)行程序：>>t=[1:1:21];c=(0.04*t.^2-2.08*t+32.5)/6;plot(c,'-g^');xlabel('時間');ylabel('捕撈成本');title('捕撈成本與時間的關(guān)系圖')附錄三：使用Matlab軟件，運(yùn)行程序：>>x=0:2:20;y=0.4./x;plot(y,'-r*');xlabel('水深');ylabel('損失率');title('水深與損失率關(guān)系圖')>>使用Matlab軟件，運(yùn)行程序：>>t=1:1:21;y=0.4./(10.4-0.4*t);plot(y,'-r*');xlabel('時間');ylabel('損失率');title('損失率與時間關(guān)系圖');>>附錄四：使用Lingo軟件，運(yùn)行如下程序：max=w1+w2+w3+w4+w5+w6+w7+w8+w9+w10+w11+w12+w13+w14+w15+w16+w17+w18+w19+w20+w21;w1=(a11*x1*20+a12*(x1*18+800)+a13*(x1*15+4400)+a14*(31400))-c1*p1;w2=(a21*x2*20+a22*(x2*18+800)+a23*(x2*15+4400)+a24*(31400))-c2*p2;w3=(a31*x3*20+a32*(x3*18+800)+a33*(x3*15+4400)+a34*(31400))-c3*p3;w4=(a41*x4*20+a42*(x4*18+800)+a43*(x4*15+4400)+a44*(31400))-c4*p4;w5=(a51*x5*20+a52*(x5*18+800)+a53*(x5*15+4400)+a54*(31400))-c5*p5;w6=(a61*x6*20+a62*(x6*18+800)+a63*(x6*15+4400)+a64*(31400))-c6*p6;w7=(a71*x7*20+a72*(x7*18+800)+a73*(x7*15+4400)+a74*(31400))-c7*p7;w8=(a81*x8*20+a82*(x8*18+800)+a83*(x8*15+4400)+a84*(31400))-c8*p8;w9=(a91*x9*20+a92*(x9*18+800)+a93*(x9*15+4400)+a94*(31400))-c9*p9;w10=(a101*x10*20+a102*(x10*18+800)+a103*(x10*15+4400)+a104*(31400))-c10*p10;w11=(a111*x11*20+a112*(x11*18+800)+a113*(x11*15+4400)+a114*(31400))-c11*p11;w12=(a121*x12*20+a122*(x12*18+800)+a123*(x12*15+4400)+a124*(31400))-c12*p12;w13=(a131*x13*20+a132*(x13*18+800)+a133*(x13*15+4400)+a134*(31400))-c13*p13;w14=(a141*x14*20+a142*(x14*18+800)+a143*(x14*15+4400)+a144*(31400))-c14*p14;w15=(a151*x15*20+a152*(x15*18+800)+a153*(x15*15+4400)+a154*(31400))-c15*p15;w16=(a161*x16*20+a162*(x16*18+800)+a163*(x16*15+4400)+a164*(31400))-c16*p16;w17=(a171*x17*20+a172*(x17*18+800)+a173*(x17*15+4400)+a174*(31400))-c17*p17;w18=(a181*x18*20+a182*(x18*18+800)+a183*(x18*15+4400)+a184*(31400))-c18*p18;w19=(a191*x19*20+a192*(x19*18+800)+a193*(x19*15+4400)+a194*(31400))-c19*p19;w20=(a201*x20*20+a202*(x20*18+800)+a203*(x20*15+4400)+a204*(31400))-c20*p20;w21=(a211*x21*20+a212*(x21*18+800)+a213*(x21*15+4400)+a214*(31400))-c21*p21;@bin(a11);@bin(a12);@bin(a13);@bin(a14);@bin(a21);@bin(a22);@bin(a23);@bin(a24);@bin(a31);@bin(a32);@bin(a33);@bin(a34);@bin(a41);@bin(a42);@bin(a43);@bin(a44);@bin(a51);@bin(a52);@bin(a53);@bin(a54);@bin(a61);@bin(a62);@bin(a63);@bin(a64);@bin(a71);@bin(a72);@bin(a73);@bin(a74);@bin(a81);@bin(a82);@bin(a83);@bin(a84);@bin(a91);@bin(a92);@bin(a93);@bin(a94);@bin(a101);@bin(a102);@bin(a103);@bin(a104);@bin(a111);@bin(a112);@bin(a113);@bin(a114);@bin(a121);@bin(a122);@bin(a123);@bin(a124);@bin(a131);@bin(a132);@bin(a133);@bin(a134);@bin(a141);@bin(a142);@bin(a143);@bin(a144);@bin(a151);@bin(a152);@bin(a153);@bin(a154);@bin(a161);@bin(a162);@bin(a163);@bin(a164);@bin(a171);@bin(a172);@bin(a173);@bin(a174);@bin(a181);@bin(a182);@bin(a183);@bin(a184);@bin(a191);@bin(a192);@bin(a193);@bin(a194);@bin(a201);@bin(a202);@bin(a203);@bin(a204);@bin(a211);@bin(a212);@bin(a213);@bin(a214);a11+a12+a13+a14=1;a21+a22+a23+a24=1;a31+a32+a33+a34=1;a41+a42+a43+a44=1;a51+a52+a53+a54=1;a61+a62+a63+a64=1;a71+a72+a73+a74=1;a81+a82+a83+a84=1;a91+a92+a93+a94=1;a101+a102+a103+a104=1;a111+a112+a113+a114=1;a121+a122+a123+a124=1;a131+a132+a133+a134=1;a141+a142+a143+a144=1;a151+a152+a153+a154=1;a161+a162+a163+a164=1;a171+a172+a173+a174=1;a181+a182+a183+a184=1;a191+a192+a193+a194=1;a201+a202+a203+a204=1;a211+a212+a213+a214=1;a11=x1#le#400;a12=x1#le#1200#and#x1#gt#400;a13=x1#le#1800#and#x1#gt#1200;a14=x1#le#20000#and#x1#gt#1800;a21=x2#le#400;a22=x2#le#1200#and#x2#gt#400;a23=x2#le#1800#and#x2#gt#1200;a24=x2#le#20000#and#x2#gt#1800;a31=x3#le#400;a32=x3#le#1200#and#x3#gt#400;a33=x2#le#1800#and#x3#gt#1200;a34=x3#le#20000#and#x3#gt#1800;a41=x4#le#400;a42=x4#le#1200#and#x4#gt#400;a43=x4#le#1800#and#x4#gt#1200;a44=x4#le#20000#and#x4#gt#1800;a51=x5#le#400;a52=x5#le#1200#and#x5#gt#400;a53=x5#le#1800#and#x5#gt#1200;a54=x5#le#20000#and#x5#gt#1800;a61=x6#le#400;a62=x6#le#1200#and#x6#gt#400;a63=x6#le#1800#and#x6#gt#1200;a64=x6#le#20000#and#x6#gt#1800;a71=x7#le#400;a72=x7#le#1200#and#x7#gt#400;a73=x7#le#1800#and#x7#gt#1200;a74=x7#le#20000#and#x7#gt#1800;a81=x8#le#400;a82=x8#le#1200#and#x8#gt#400;a83=x8#le#1800#and#x8#gt#1200;a84=x8#le#20000#and#x8#gt#1800;a91=x9#le#400;a89=x9#le#1200#and#x9#gt#400;a93=x9#le#1800#and#x9#gt#1200;a94=x9#le#20000#and#x9#gt#1800;a101=x10#le#400;a102=x10#le#1200#and#x10#gt#400;a103=x10#le#1800#and#x10#gt#1200;a104=x10#le#20000#and#x10#gt#1800;a111=x11#le#400;a112=x11#le#1200#and#x11#gt#400;a113=x11#le#1800#and#x11#gt#1200;a114=x11#le#20000#and#x11#gt#1800;a121=x12#le#400;a122=x12#le#1200#and#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