參數(shù)估計課件

8.2參數(shù)估計我們自然會想到利用這一組數(shù)據(jù)來估計這一個或在實際問題中，經(jīng)常遇到隨機變量X（即總體X）的分布函數(shù)的形式已知，但它的一個或者多個參數(shù)未知的情形，此時寫不出確切的概率密度函數(shù).若通.過簡單隨機抽樣，得到總體X的一個樣本觀測值參數(shù)估計點估計區(qū)間估計用某一數(shù)值作為參數(shù)的近似值在要求的精度范圍內(nèi)指出參數(shù)所在的區(qū)間諸如此類利用樣本去估計總體未知參數(shù)的問題，稱為參數(shù)估計問題.分為點估計和區(qū)間估計一.參數(shù)的點估計經(jīng)常考慮的參數(shù)包含下面幾種1)總體分布中所含參數(shù);2)總體分布的某種特征數(shù),如總體均值,方差,標準差等;3)某事件的概率,或具有某特性的對象在總體所占的比率.參數(shù)的取值范圍稱為參數(shù)空間,用來表示1.參數(shù)與參數(shù)空間設(shè)總體X的分布函數(shù)形式已知，其中θ是待估計的參數(shù)，

點估計問題就是利用樣本

構(gòu)造一個統(tǒng)計量來估計θ

我們稱為θ的點估計量

它是一個隨機變量。2.矩法估計將樣本觀測值代入估計量，就得到它的一個具體數(shù)值,稱之為θ的點估計值.定義設(shè)是隨機變量,若E(k),k=1,2,存在，則稱它為的k階原點矩或k階矩。

若E[(-E)k]

，k=1,2,存在則稱它為的k階中心矩。由定義知,數(shù)學期望E是的一階原點矩；方差D是的二階中心矩.

定義用樣本矩來代替總體矩,從而得到總體分布中參數(shù)的一種估計.這種估計方法稱為矩法估計.它的思想實質(zhì)是用樣本的經(jīng)驗分布和樣本矩去替換總體的分布和總體矩.

矩法的優(yōu)點是簡單易行,并不需要事先知道總體是什么分布。缺點是，當總體類型已知時，沒有充分利用分布提供的信息。一般場合下,矩估計量不具有唯一性。其主要原因在于建立矩法方程時，選取那些總體矩用相應(yīng)樣本矩代替帶有一定的隨意性。常用的一些估計解

總體X的期望為用樣本均值估計總體均值所以λ的矩估計量為解:

其概率密度函數(shù)為總體X的期望為從而得到方程所以λ的矩估計量為解:

由于故令3.點估計的評價

對于總體的同一個未知參數(shù)，由于采用的估計方法不同，可能會產(chǎn)生多個不同的估計量。這就提出了一個問題，當總體的同一個參數(shù)存在不同的估計量時，究竟采用哪一個更好？這涉及到用什么樣的標準來評價估計量的好壞問題，對此，我們介紹幾個常用的評價標準：無偏性、有效性和一致性。在評價一個估計量的好壞時,我們當然希望估計量與被估參數(shù)越接近越好.但估計量是一個隨機變量,它的取值隨樣本的觀測值而變,有時與被估參數(shù)的真值近些,有時遠些,我們只能從平均意義上看估計量是否與被估參數(shù)盡量接近,最好是等于被估參數(shù).于是有無偏估計量的概念.一個參數(shù)的無偏估計量不是唯一的,假若參數(shù)θ有兩個無偏估計量,我們認為其觀測值更密集在參數(shù)θ真值附近的一個較為理想.由于方差是隨機變量取值與其數(shù)學期望的偏離程度的度量,所以無偏估計以方差小者為好.這就引出了估計量的有效性這一概念.證明由于總體服從泊松分布，故同理但是例對明年小麥的畝產(chǎn)量作出估計為:即若設(shè)X表示明年小麥畝產(chǎn)量,則估計結(jié)果為區(qū)間估計二參數(shù)的區(qū)間估計點估計有使用方便、直觀等優(yōu)點,但它并沒有提供關(guān)于估計精度的任何信息,為此提出了未知參數(shù)的區(qū)間估計法.明年小麥畝產(chǎn)量八成為800-1000斤.P(800≤X≤1000)=80%對應(yīng)總體的某一個樣本觀測值，我們可以得的一個觀測值，但是它僅僅是參數(shù).

θ的一個近似值.由于是一個隨機變量，它會隨著樣本的抽取而隨機

變化，不會總是和θ相等，而存在著或大、或小，或正、或負的誤差.即便點估計量具備了很好的性質(zhì)，但是它本身無法反映這種近似的精確度，且無法給出誤差的范圍.到點估計量為了彌補這些不足，我們希望估計出一個范圍，并知道該范圍包含真實值的可靠程度.這樣的范圍通常以區(qū)間的形式給出，同時還要給出該區(qū)間包含參數(shù)θ真實值的可靠程度.這種形式的估計稱之為區(qū)間估計.定義1.置信區(qū)間與置信度說明這時必有2.正態(tài)總體均值μ的區(qū)間估計首先由定理8.1知因此例

已知幼兒身高服從正態(tài)分布，現(xiàn)從5~6歲的幼兒中隨機地抽查了9人，其高度分別為：

115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;解

0a/2a/2-ta/2(n-1)ta/2(n-1)解

經(jīng)計算得查表可得從而所以μ的置信度為0.99置信區(qū)間是例:

用儀器測量溫度，重復(fù)測量7次，測得溫度分別為：115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;設(shè)溫度解

§3.2正態(tài)總體方差的區(qū)間估計§3.2.1

均值已知時方差的區(qū)間估計a/2a/2§3.2.2

均值未知時方差的區(qū)間估計a/2a/2解

由題意得查表得算得所求置信區(qū)間為(0.038,0.506)例:

設(shè)某機床加工的零件長度今抽查16個零件，測得長度（單位：mm）如下：12.15,12.12,12.01,12.08