高等工程數(shù)學 第四講 方差分析

1方差分析引論2單因素方差分析第四講方差分析在實際問題中，影響一事物的因素往往是很多的。例如，在化工生產(chǎn)中，有原料成分、原料劑量、催化劑、反應溫度、壓力、反映時間等因素，每一因素的改變都有可能影響產(chǎn)品的質(zhì)量。有些因素影響較大，有些影響較小.方差分析就是根據(jù)試驗的結(jié)果進行分析，鑒別各有關因素對試驗結(jié)果影響的有效方法。1方差分析引論1.1方差分析及其有關術語1.2方差分析的基本思想和原理1.3方差分析的基本假定1.4問題的一般提法方差分析及其有關術語什么是方差分析(ANOVA)?

(analysisofvariance)

檢驗多個總體均值是否相等通過分析數(shù)據(jù)的誤差判斷各總體均值是否相等有單因素方差分析和雙因素方差分析單因素方差分析：涉及一個分類的自變量雙因素方差分析：涉及兩個分類的自變量什么是方差分析?

(例題分析)消費者對四個行業(yè)的投訴次數(shù)行業(yè)觀測值零售業(yè)旅游業(yè)航空公司家電制造業(yè)12345675766494034534468392945565131492134404451657758【例】為了對幾個行業(yè)的服務質(zhì)量進行評價，消費者協(xié)會在4個行業(yè)分別抽取了不同的企業(yè)作為樣本。最近一年中消費者對總共23家企業(yè)投訴的次數(shù)如下表什么是方差分析?

(例題分析)分析4個行業(yè)之間的服務質(zhì)量是否有顯著差異，也就是要判斷“行業(yè)”對“投訴次數(shù)”是否有顯著影響作出這種判斷最終被歸結(jié)為檢驗這四個行業(yè)被投訴次數(shù)的均值是否相等若它們的均值相等，則意味著“行業(yè)”對投訴次數(shù)是沒有影響的，即它們之間的服務質(zhì)量沒有顯著差異；若均值不全相等，則意味著“行業(yè)”對投訴次數(shù)是有影響的，它們之間的服務質(zhì)量有顯著差異方差分析中的有關術語因素或因子(factor)所要檢驗的對象分析行業(yè)對投訴次數(shù)的影響，行業(yè)是要檢驗的因子水平或處理(treatment)因子的不同表現(xiàn)零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)觀察值在每個因素水平下得到的樣本數(shù)據(jù)每個行業(yè)被投訴的次數(shù)方差分析中的有關術語試驗這里只涉及一個因素，因此稱為單因素4水平的試驗總體因素的每一個水平可以看作是一個總體零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)是4個總體樣本數(shù)據(jù)被投訴次數(shù)可以看作是從這4個總體中抽取的樣本數(shù)據(jù)例

某消防隊要考察4種不同型號冒煙報警器的反應時間（單位：秒）。今將每種型號的報警器5個安裝在同一條煙道中，當煙量均勻時觀測報警器的反應時間，得數(shù)據(jù)如下：報警器型號反應時間A1（甲型）5.26.34.93.26.8A2（乙型）7.48.15.96.54.9A3（丙型）3.96.47.99.24.1A4（丁型）12.39.47.810.88.5這里，試驗的指標是報警器的反應時間，報警器為因素。4種不同型號的報警器是因素的4個不同水平。這是一個單因素試驗.我們要考察：①各種型號的報警器的反應時間有無顯著性差異？②如果各種型號的報警器的反應時間有顯著性差異，那么何種型號的報警器最優(yōu)？

上表中數(shù)據(jù)可看作來自4個不同總體（每個水平對應一個總體）的樣本值，將各個總體均值依記為則各型號報警器的反應時間有無顯著性差異的問題相當于需檢驗假設不全相等。若再假定各總體均值為正態(tài)總體，且各總體方差相等，那么這是一個檢驗同方差的多個正態(tài)總體均值是否相等的問題。顯然，檢驗假設H0可以用前面所講的t檢驗法，只要檢驗任何二個總體均值相等就可以了。下面所要討論的方差分析法就是解決這類問題的一種檢驗方法。但是這樣做要檢驗3次，比較繁瑣.…總體均值…樣本均值Xs2X22X12Xs1X21X11As…A2A1

水平觀測值設影響指標值的因素A有s個水平A1，A2，…，As在水平Ai（i=1,…,s）下，進行

ni(ni>1次)獨立試驗，得樣本Xij，j=1，…，ni：假定水平Ai下的樣本來自正態(tài)總體，未知，且不同水平Ai下的樣本獨立記有j=1,…，ni

i=1，……，sXij相互獨立方差分析的基本假定每個總體都應服從正態(tài)分布對于因素的每一個水平，其觀察值是來自服從正態(tài)分布總體的簡單隨機樣本比如，每個行業(yè)被投訴的次數(shù)必須服從正態(tài)分布各個總體的方差必須相同各組觀察數(shù)據(jù)是從具有相同方差的總體中抽取的比如，4個行業(yè)被投訴次數(shù)的方差都相等觀察值是獨立的比如，每個行業(yè)被投訴的次數(shù)與其他行業(yè)被投訴的次數(shù)獨立現(xiàn)在，要檢驗等價于檢驗不全為零下面從平方和的分解著手,導出上述假設H0的檢驗方案記ST能反映全部試驗數(shù)據(jù)之間的差異，因此稱ST為總偏差平方和由于于是有平方和分解式：ST=SE+SA其中稱SE為誤差平方和，SA為因素A的平方和SE反映了各水平Ai內(nèi)由于隨機誤差而引起的抽樣誤差SA反映了因素A的水平不同而引起的誤差外加隨機誤差定理1（1）（2）SE與ST相互獨立；（3）當時，。為了檢驗取F~F（s-1，n-s）當H0成立時，由定理1，直觀上，當H0成立時，由因素水平的不同引起的偏差相對于隨機誤差而言可以忽略不計，即F的值應較小；反之，若F值較大，自然認為H0不成立。若檢驗結(jié)果認為假設H0不成立，則可用作為的點估計，或者對進行區(qū)間估計。由得到：在顯著性水平a

下H0的拒絕域：計算F的值可用表1所示的方差分析表n-1ST總和n-sSE誤差s-1SA因素AF值均方和自由度平方和偏差來源表1單因素方差方析表分析步驟提出假設構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量統(tǒng)計決策提出假設一般提法H0

：m1=m2=…=

ms

自變量對因變量沒有顯著影響

H1：m1

，m2

，…

，ms不全相等自變量對因變量有顯著影響

注意：拒絕原假設，只表明至少有兩個總體的均值不相等，并不意味著所有的均值都不相等構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量構(gòu)造統(tǒng)計量需要計算水平的均值全部觀察值的總均值誤差平方和均方(MS)構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算水平的均值)假定從第i個總體中抽取一個容量為ni的簡單隨機樣本，第i個總體的樣本均值為該樣本的全部觀察值總和除以觀察值的個數(shù)計算公式為式中：ni為第i個總體的樣本觀察值個數(shù)

xij

為第i個總體的第j個觀察值

構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算全部觀察值的總均值)全部觀察值的總和除以觀察值的總個數(shù)計算公式為構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(例題分析)構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算總誤差平方和ST)全部觀察值與總平均值的離差平方和反映全部觀察值的離散狀況其計算公式為

前例的計算結(jié)果

ST

=(57-47.869565)2+…+(58-47.869565)2=115.9295構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算組間平方和SA)各組平均值與總平均值的離差平方和反映各總體的樣本均值之間的差異程度該平方和既包括隨機誤差，也包括系統(tǒng)誤差計算公式為

前例的計算結(jié)果SA

=1456.608696構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算組內(nèi)平方和SE

)每個水平或組的各樣本數(shù)據(jù)與其組平均值的離差平方和反映每個樣本各觀察值的離散狀況該平方和反映的是隨機誤差的大小計算公式為

前例的計算結(jié)果SE

=2708構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算檢驗統(tǒng)計量F)均方和構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(F分布與拒絕域)如果均值相等，F(xiàn)1a

F分布F(s-1,n-s)0拒絕H0不能拒絕H0F統(tǒng)計決策

將統(tǒng)計量的值F與給定的顯著性水平的臨界值F進行比較，作出對原假設H0的決策根據(jù)給定的顯著性水平，在F分布表中查找與第一自由度df1＝s-1、第二自由度df2=n-s

相應的臨界值F

若F>F

，則拒絕原假設H0

，表明均值之間的差異是顯著的，所檢驗的因素對觀察值有顯著影響若F<F

，則不拒絕原假設H0

，無證據(jù)表明所檢驗的因素對觀察值有顯著影響單因素方差分析表

(基本結(jié)構(gòu))誤差來源平方和(SS)自由度(df)均方(MS)F值P值F臨界值組間(因素影響)SSAk-1MSAMSAMSE組內(nèi)(誤差)SSEn-kMSE總和SSTn-1例

某消防隊要考察4種不同型號冒煙報警器的反應時間（單位：秒）。今將每種型號的報警器5個安裝在同一條煙道中，當煙量均勻時觀測報警器的反應時間，得數(shù)據(jù)如下：報警器型號反應時間A1（甲型）5.26.34.93.26.8A2（乙型）7.48.15.96.54.9A3（丙型）3.96.47.99.24.1A4（丁型）12.39.47.810.88.5來源平方和自由度均方和F值因素A56.29318.76F=6.15誤差48.77163.05在實際應用中，一般在下若仍不能拒絕H0時則接受原假設H0在例中，s=4,n1=n2=n3=n4=5,n=20，經(jīng)計算列方差分析表如下：查表，得F0.10（3.16）=2.46，F(xiàn)0.05（3.16）=3.24從而在顯著性水平下檢驗結(jié)果拒絕H0由方差分析可知，4種型號的報警器的反應時間確有顯著性差異計算：故即反應時間較短的是甲，丙次之用Excel進行方差分析

(Excel分析步驟)第1步：選擇“工具”下拉菜單第2步：選擇【數(shù)據(jù)分析】選項第3步：在分析工具中選擇【單因素方差分析】

，然后選擇【確定】第4步：當對話框出現(xiàn)時

在【輸入?yún)^(qū)域

】方框內(nèi)鍵入數(shù)據(jù)單元格區(qū)域在【】方框內(nèi)鍵入0.05(可根據(jù)需要確定)