高等工程數(shù)學(xué) 第四講 方差分析

1方差分析引論2單因素方差分析第四講方差分析在實(shí)際問(wèn)題中，影響一事物的因素往往是很多的。例如，在化工生產(chǎn)中，有原料成分、原料劑量、催化劑、反應(yīng)溫度、壓力、反映時(shí)間等因素，每一因素的改變都有可能影響產(chǎn)品的質(zhì)量。有些因素影響較大，有些影響較小.方差分析就是根據(jù)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行分析，鑒別各有關(guān)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響的有效方法。1方差分析引論1.1方差分析及其有關(guān)術(shù)語(yǔ)1.2方差分析的基本思想和原理1.3方差分析的基本假定1.4問(wèn)題的一般提法方差分析及其有關(guān)術(shù)語(yǔ)什么是方差分析(ANOVA)?

(analysisofvariance)

檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否相等通過(guò)分析數(shù)據(jù)的誤差判斷各總體均值是否相等有單因素方差分析和雙因素方差分析單因素方差分析：涉及一個(gè)分類的自變量雙因素方差分析：涉及兩個(gè)分類的自變量什么是方差分析?

(例題分析)消費(fèi)者對(duì)四個(gè)行業(yè)的投訴次數(shù)行業(yè)觀測(cè)值零售業(yè)旅游業(yè)航空公司家電制造業(yè)12345675766494034534468392945565131492134404451657758【例】為了對(duì)幾個(gè)行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)，消費(fèi)者協(xié)會(huì)在4個(gè)行業(yè)分別抽取了不同的企業(yè)作為樣本。最近一年中消費(fèi)者對(duì)總共23家企業(yè)投訴的次數(shù)如下表什么是方差分析?

(例題分析)分析4個(gè)行業(yè)之間的服務(wù)質(zhì)量是否有顯著差異，也就是要判斷“行業(yè)”對(duì)“投訴次數(shù)”是否有顯著影響作出這種判斷最終被歸結(jié)為檢驗(yàn)這四個(gè)行業(yè)被投訴次數(shù)的均值是否相等若它們的均值相等，則意味著“行業(yè)”對(duì)投訴次數(shù)是沒(méi)有影響的，即它們之間的服務(wù)質(zhì)量沒(méi)有顯著差異；若均值不全相等，則意味著“行業(yè)”對(duì)投訴次數(shù)是有影響的，它們之間的服務(wù)質(zhì)量有顯著差異方差分析中的有關(guān)術(shù)語(yǔ)因素或因子(factor)所要檢驗(yàn)的對(duì)象分析行業(yè)對(duì)投訴次數(shù)的影響，行業(yè)是要檢驗(yàn)的因子水平或處理(treatment)因子的不同表現(xiàn)零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)觀察值在每個(gè)因素水平下得到的樣本數(shù)據(jù)每個(gè)行業(yè)被投訴的次數(shù)方差分析中的有關(guān)術(shù)語(yǔ)試驗(yàn)這里只涉及一個(gè)因素，因此稱為單因素4水平的試驗(yàn)總體因素的每一個(gè)水平可以看作是一個(gè)總體零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)是4個(gè)總體樣本數(shù)據(jù)被投訴次數(shù)可以看作是從這4個(gè)總體中抽取的樣本數(shù)據(jù)例

某消防隊(duì)要考察4種不同型號(hào)冒煙報(bào)警器的反應(yīng)時(shí)間（單位：秒）。今將每種型號(hào)的報(bào)警器5個(gè)安裝在同一條煙道中，當(dāng)煙量均勻時(shí)觀測(cè)報(bào)警器的反應(yīng)時(shí)間，得數(shù)據(jù)如下：報(bào)警器型號(hào)反應(yīng)時(shí)間A1（甲型）5.26.34.93.26.8A2（乙型）7.48.15.96.54.9A3（丙型）3.96.47.99.24.1A4（丁型）12.39.47.810.88.5這里，試驗(yàn)的指標(biāo)是報(bào)警器的反應(yīng)時(shí)間，報(bào)警器為因素。4種不同型號(hào)的報(bào)警器是因素的4個(gè)不同水平。這是一個(gè)單因素試驗(yàn).我們要考察：①各種型號(hào)的報(bào)警器的反應(yīng)時(shí)間有無(wú)顯著性差異？②如果各種型號(hào)的報(bào)警器的反應(yīng)時(shí)間有顯著性差異，那么何種型號(hào)的報(bào)警器最優(yōu)？

上表中數(shù)據(jù)可看作來(lái)自4個(gè)不同總體（每個(gè)水平對(duì)應(yīng)一個(gè)總體）的樣本值，將各個(gè)總體均值依記為則各型號(hào)報(bào)警器的反應(yīng)時(shí)間有無(wú)顯著性差異的問(wèn)題相當(dāng)于需檢驗(yàn)假設(shè)不全相等。若再假定各總體均值為正態(tài)總體，且各總體方差相等，那么這是一個(gè)檢驗(yàn)同方差的多個(gè)正態(tài)總體均值是否相等的問(wèn)題。顯然，檢驗(yàn)假設(shè)H0可以用前面所講的t檢驗(yàn)法，只要檢驗(yàn)任何二個(gè)總體均值相等就可以了。下面所要討論的方差分析法就是解決這類問(wèn)題的一種檢驗(yàn)方法。但是這樣做要檢驗(yàn)3次，比較繁瑣.…總體均值…樣本均值Xs2X22X12Xs1X21X11As…A2A1

水平觀測(cè)值設(shè)影響指標(biāo)值的因素A有s個(gè)水平A1，A2，…，As在水平Ai（i=1,…,s）下，進(jìn)行

ni(ni>1次)獨(dú)立試驗(yàn)，得樣本Xij，j=1，…，ni：假定水平Ai下的樣本來(lái)自正態(tài)總體，未知，且不同水平Ai下的樣本獨(dú)立記有j=1,…，ni

i=1，……，sXij相互獨(dú)立方差分析的基本假定每個(gè)總體都應(yīng)服從正態(tài)分布對(duì)于因素的每一個(gè)水平，其觀察值是來(lái)自服從正態(tài)分布總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本比如，每個(gè)行業(yè)被投訴的次數(shù)必須服從正態(tài)分布各個(gè)總體的方差必須相同各組觀察數(shù)據(jù)是從具有相同方差的總體中抽取的比如，4個(gè)行業(yè)被投訴次數(shù)的方差都相等觀察值是獨(dú)立的比如，每個(gè)行業(yè)被投訴的次數(shù)與其他行業(yè)被投訴的次數(shù)獨(dú)立現(xiàn)在，要檢驗(yàn)等價(jià)于檢驗(yàn)不全為零下面從平方和的分解著手,導(dǎo)出上述假設(shè)H0的檢驗(yàn)方案記ST能反映全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的差異，因此稱ST為總偏差平方和由于于是有平方和分解式：ST=SE+SA其中稱SE為誤差平方和，SA為因素A的平方和SE反映了各水平Ai內(nèi)由于隨機(jī)誤差而引起的抽樣誤差SA反映了因素A的水平不同而引起的誤差外加隨機(jī)誤差定理1（1）（2）SE與ST相互獨(dú)立；（3）當(dāng)時(shí)，。為了檢驗(yàn)取F~F（s-1，n-s）當(dāng)H0成立時(shí)，由定理1，直觀上，當(dāng)H0成立時(shí)，由因素水平的不同引起的偏差相對(duì)于隨機(jī)誤差而言可以忽略不計(jì)，即F的值應(yīng)較小；反之，若F值較大，自然認(rèn)為H0不成立。若檢驗(yàn)結(jié)果認(rèn)為假設(shè)H0不成立，則可用作為的點(diǎn)估計(jì)，或者對(duì)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。由得到：在顯著性水平a

下H0的拒絕域：計(jì)算F的值可用表1所示的方差分析表n-1ST總和n-sSE誤差s-1SA因素AF值均方和自由度平方和偏差來(lái)源表1單因素方差方析表分析步驟提出假設(shè)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)決策提出假設(shè)一般提法H0

：m1=m2=…=

ms

自變量對(duì)因變量沒(méi)有顯著影響

H1：m1

，m2

，…

，ms不全相等自變量對(duì)因變量有顯著影響

注意：拒絕原假設(shè)，只表明至少有兩個(gè)總體的均值不相等，并不意味著所有的均值都不相等構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量需要計(jì)算水平的均值全部觀察值的總均值誤差平方和均方(MS)構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算水平的均值)假定從第i個(gè)總體中抽取一個(gè)容量為ni的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，第i個(gè)總體的樣本均值為該樣本的全部觀察值總和除以觀察值的個(gè)數(shù)計(jì)算公式為式中：ni為第i個(gè)總體的樣本觀察值個(gè)數(shù)

xij

為第i個(gè)總體的第j個(gè)觀察值

構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算全部觀察值的總均值)全部觀察值的總和除以觀察值的總個(gè)數(shù)計(jì)算公式為構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(例題分析)構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算總誤差平方和ST)全部觀察值與總平均值的離差平方和反映全部觀察值的離散狀況其計(jì)算公式為

前例的計(jì)算結(jié)果

ST

=(57-47.869565)2+…+(58-47.869565)2=115.9295構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算組間平方和SA)各組平均值與總平均值的離差平方和反映各總體的樣本均值之間的差異程度該平方和既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差計(jì)算公式為

前例的計(jì)算結(jié)果SA

=1456.608696構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算組內(nèi)平方和SE

)每個(gè)水平或組的各樣本數(shù)據(jù)與其組平均值的離差平方和反映每個(gè)樣本各觀察值的離散狀況該平方和反映的是隨機(jī)誤差的大小計(jì)算公式為

前例的計(jì)算結(jié)果SE

=2708構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F)均方和構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(F分布與拒絕域)如果均值相等，F(xiàn)1a

F分布F(s-1,n-s)0拒絕H0不能拒絕H0F統(tǒng)計(jì)決策

將統(tǒng)計(jì)量的值F與給定的顯著性水平的臨界值F進(jìn)行比較，作出對(duì)原假設(shè)H0的決策根據(jù)給定的顯著性水平，在F分布表中查找與第一自由度df1＝s-1、第二自由度df2=n-s

相應(yīng)的臨界值F

若F>F

，則拒絕原假設(shè)H0

，表明均值之間的差異是顯著的，所檢驗(yàn)的因素對(duì)觀察值有顯著影響若F<F

，則不拒絕原假設(shè)H0

，無(wú)證據(jù)表明所檢驗(yàn)的因素對(duì)觀察值有顯著影響單因素方差分析表

(基本結(jié)構(gòu))誤差來(lái)源平方和(SS)自由度(df)均方(MS)F值P值F臨界值組間(因素影響)SSAk-1MSAMSAMSE組內(nèi)(誤差)SSEn-kMSE總和SSTn-1例

某消防隊(duì)要考察4種不同型號(hào)冒煙報(bào)警器的反應(yīng)時(shí)間（單位：秒）。今將每種型號(hào)的報(bào)警器5個(gè)安裝在同一條煙道中，當(dāng)煙量均勻時(shí)觀測(cè)報(bào)警器的反應(yīng)時(shí)間，得數(shù)據(jù)如下：報(bào)警器型號(hào)反應(yīng)時(shí)間A1（甲型）5.26.34.93.26.8A2（乙型）7.48.15.96.54.9A3（丙型）3.96.47.99.24.1A4（丁型）12.39.47.810.88.5來(lái)源平方和自由度均方和F值因素A56.29318.76F=6.15誤差48.77163.05在實(shí)際應(yīng)用中，一般在下若仍不能拒絕H0時(shí)則接受原假設(shè)H0在例中，s=4,n1=n2=n3=n4=5,n=20，經(jīng)計(jì)算列方差分析表如下：查表，得F0.10（3.16）=2.46，F(xiàn)0.05（3.16）=3.24從而在顯著性水平下檢驗(yàn)結(jié)果拒絕H0由方差分析可知，4種型號(hào)的報(bào)警器的反應(yīng)時(shí)間確有顯著性差異計(jì)算：故即反應(yīng)時(shí)間較短的是甲，丙次之用Excel進(jìn)行方差分析

(Excel分析步驟)第1步：選擇“工具”下拉菜單第2步：選擇【數(shù)據(jù)分析】選項(xiàng)第3步：在分析工具中選擇【單因素方差分析】

，然后選擇【確定】第4步：當(dāng)對(duì)話框出現(xiàn)時(shí)

在【輸入?yún)^(qū)域

】方框內(nèi)鍵入數(shù)據(jù)單元格區(qū)域在【】方框內(nèi)鍵入0.05(可根據(jù)需要確定)