平面向量的數(shù)量積

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積考綱考情三年22考高考指數(shù):★★★★☆

1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式,會進行平面向量數(shù)量積的運算4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系三年考題13年(10考):湖北T6上海T18大綱版全國卷T3

湖南T6重慶T10安徽T9

新課標(biāo)全國卷ⅠT13浙江T17

江西T12新課標(biāo)全國卷ⅡT1312年(6考):廣東T8江蘇T9安徽T14浙江T5

湖南T7北京T1311年(6考):廣東T3廣東T5江蘇T10

福建T10遼寧T10湖南T14

考情播報1.數(shù)量積的運算、投影、模與夾角是近幾年各地高考命題的亮點2.常與三角函數(shù)、三角恒等變換、平面幾何、解析幾何等相結(jié)合考查3.題型以選擇題、填空題為主,屬中檔題【知識梳理】1.向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a和b，作則______就是向量a與b的夾角.∠AOB(2)圖示：(3)范圍:設(shè)θ是向量a與b的夾角,則0°≤θ≤180°.(4)共線與垂直:若θ=0°,則a與b_____;若θ=180°,則a與b_____;若θ=90°,則a與b_____.同向反向垂直2.平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向量a,b的夾角為θ,則數(shù)量____________叫做a與b的數(shù)量積,記作a·b投影_________叫做向量a在b方向上的投影,_________叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影_________的乘積|a||b|cosθ|a|cosθ|b|cosθ|b|cosθ3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a,b都是非零向量,e是單位向量,θ為a與b(或e)的夾角.則(1)e·a=a·e=|a|cosθ.(2)a⊥b?_______.(3)當(dāng)a與b同向時,a·b=|a|·|b|.當(dāng)a與b反向時,a·b=-|a|·|b|,特別地,a·a=____或者|a|=_______.(4)cosθ=_________.(5)a·b≤_______.a·b=0|a|2|a||b|4.數(shù)量積的運算律(1)交換律:a·b=b·a.(2)數(shù)乘結(jié)合律:(λa)·b=_________=_________.(3)分配律:a·(b+c)=__________.λ(a·b)a·(λb)a·b+a·c5.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a與b的夾角為θ,則數(shù)量積a·b=_________模|a|=_________夾角

cosθ=_____________向量垂直的充要條件a⊥b?a·b=0?__________x1x2+y1y2x1x2+y1y2=0【考點自測】1.(思考)給出下列結(jié)論:①向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量,而不是向量;②兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量;③由a·b=0可得a=0或b=0;④(a·b)c=a(b·c).其中正確的是(

)A.①②B.②③C.②④D.③④【解析】選A.由向量投影的定義可知①正確;由數(shù)量積及線性運算的意義知②正確;由a·b=|a||b|cosθ知,當(dāng)兩個非零向量的夾角θ=90°時,a·b=0,而不必a=0或b=0,所以③不正確;由向量數(shù)量積及向量的數(shù)乘的意義知,當(dāng)a·b≠0時,(a·b)c是與c方向相同或相反的向量,而當(dāng)b·c≠0時a(b·c)是與a方向相同或相反的向量,所以④不正確.綜上應(yīng)選A.2.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=4，且a·b=2,則a與b的夾角為()【解析】選C.設(shè)a與b的夾角為θ，則又因為θ∈［0,π］，所以3.(2014·天津模擬)已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，則實數(shù)x等于()A.9B.4C.0D.-4【解析】選A.a－b＝(1－x,4)．由a⊥(a－b)，得1－x＋8＝0.所以x＝9.4.已知單位向量a，b的夾角是120°，則|a+b|=()A.B.1C.D.【解析】選B.由題意，得|a|=|b|=1,所以5.(2014·青島模擬)已知|a|=2,向量a與b的夾角是則a在b上的投影是________.【解析】a在b上的投影是答案：

6.已知等邊三角形ABC的邊長為1，設(shè)則a·b+b·c+c·a=________.【解析】如圖，得a與b,b與c,c與a的夾角都是120°，又|a|=|b|=|c|=1,所以原式=1×1×cos120°+1×1×cos120°+1×1×cos120°答案：

考點1平面向量數(shù)量積的運算【典例1】(1)(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知兩個單位向量a,b的夾角為60°，c=ta+(1-t)b,若b·c=0,則t=_______.(2)(2014·長春模擬)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點.則的值為______，的最大值為_______.【解題視點】(1)根據(jù)向量數(shù)量積的運算律及數(shù)量積的運算公式列方程求解.(2)結(jié)合圖形建立平面直角坐標(biāo)系，用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解，或選取基向量，用基向量表示后再根據(jù)向量數(shù)量積的運算公式求解.【規(guī)范解答】(1)由c=ta+(1-t)b得,b·c=ta·b+(1-t)b2=0,整理得t|a||b|cos60°+(1-t)|b|2=0,化簡得t+1-t=0,所以t=2.答案：2(2)方法一：如圖所示，以AB，AD所在的直線分別為x,y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)E(t，0)，0≤t≤1，則D(0,1)，B(1，0)，C(1，1)，所以所以方法二：選取作為基底，設(shè)0≤t≤1，則答案：11【互動探究】本例(2)中，當(dāng)E是AB的中點時，試求上的投影.【解析】方法一：如圖，過點E作EF⊥DC，垂足為F，由投影的定義知，方法二：如圖，向量的夾角是∠EDC，所以【規(guī)律方法】向量數(shù)量積的兩種計算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角θ時,可利用定義法求解,即a·b=|a||b|cosθ.(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時,可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.運用兩向量的數(shù)量積可解決長度、夾角、垂直等問題,解題時應(yīng)靈活選擇相應(yīng)公式求解.平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2.(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.【變式訓(xùn)練】(2014·青島模擬)已知△ABC為等邊三角形，AB=2，設(shè)點P，Q滿足若則λ=()【解析】選A.由題意得【加固訓(xùn)練】1.若向量a=(1,1)，b=(2，5)，c=(3，x)滿足條件(8a-b)·c=30，則x=()A.6B.5C.4D.3【解析】選C.8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3)，所以(8a-b)·c=(6,3)·(3,x)=30,即18+3x=30，解得x=4.2.已知兩個單位向量e1，e2的夾角為若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2，則b1·b2=_______.【解析】b1·b2=(e1-2e2)·(3e1+4e2)=3|e1|2-2e1·e2-8|e2|2.又因為e1,e2的夾角為|e1|=1,|e2|=1,所以b1·b2=3-2cos-8=3-1-8=-6.答案：-6考點2平面向量的垂直與夾角問題【典例2】(1)(2014·衡水模擬)若|a|=2,|b|=4且(a+b)⊥a,則a與b的夾角是()A.B.C.D.(2)設(shè)向量a=(x-1,1),b=(-x+1,3),若a⊥(a-b)，則x=_____.(3)設(shè)兩個向量a,b，滿足|a|＝2，|b|＝1，a與b的夾角為若向量2ta＋7b與a＋tb的夾角為鈍角，求實數(shù)t的范圍．【解題視點】(1)由向量的數(shù)量積公式知，只需根據(jù)(a+b)⊥a求出a·b即可.(2)根據(jù)向量垂直列方程求解.(3)把問題轉(zhuǎn)化為兩向量的數(shù)量積小于0且兩向量不共線反向求解.【規(guī)范解答】(1)選A.根據(jù)題意，由于|a|=2,|b|=4且(a+b)⊥a，則有(a+b)·a=0?a2+b·a=0?4+b·a=0,所以b·a=-4，那么可知a與b的夾角的余弦值為則a與b的夾角是(2)由題知a-b=(x-1+x-1,1-3)=(2x-2,-2),又因為a⊥(a-b)，所以a·(a-b)=0,所以(x-1)(2x-2)+1×(-2)=0,即x2-2x=0,所以x=0或x=2.答案：0或2(3)由向量2ta＋7b與a＋tb的夾角為鈍角，得即(2ta＋7b)·(a＋tb)<0，化簡即得2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<當(dāng)夾角為π時，也有(2ta＋7b)·(a＋tb)<0，但此時夾角不是鈍角，設(shè)2ta＋7b＝λ(a＋tb)，λ<0，所以所求實數(shù)t的范圍是【易錯警示】解答本例(3)易忽視向量2ta+7b與a+tb共線反向的情況，而得錯誤答案.【互動探究】本例(2)中，若把“a⊥(a-b)”改為“a+b與a-b的夾角為120°”,試求x的值.【解析】由本例(2)知，a+b=(0,4),a-b=(2x-2,-2)，由題意，【規(guī)律方法】平面向量數(shù)量積的兩個應(yīng)用(1)求夾角大?。喝鬭,b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得

(夾角公式)，所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題.(2)確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角.【變式訓(xùn)練】(2013·安徽高考)若非零向量a，b滿足|a|=3|b|=|a+2b|，則a與b夾角的余弦值為_____.【解析】由|a|=|a+2b|，設(shè)a與b的夾角為θ，等式兩邊平方得a2+4a·b+4b2=a2?a·b=-b2，所以答案：【加固訓(xùn)練】1.(2014·株洲模擬)若向量a=(1,2),b=(1，-1)，則2a+b與a-b的夾角等于()【解析】選C.因為2a+b=(3,3)，a-b=(0,3)，設(shè)2a+b與a-b的夾角為α，所以又α∈［0,π］，故2.已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量a+b與向量ka-b垂直，則k=________.【解析】因為(a+b)⊥(ka-b)，所以(a+b)·(ka-b)=0，即ka2+(k-1)a·b-b2=0.(*)又因為a,b為兩個不共線的單位向量，所以(*)式可化為k-1=(1-k)a·b，若1-k≠0，則a·b=-1，這與a，b不共線矛盾；若1-k=0，則k-1=(1-k)a·b恒成立.綜上可知，k=1時符合題意.答案：13.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a與b的夾角θ.(2)求|a+b|和|a-b|.(3)若作△ABC，求△ABC的面積．【解析】(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.因為|a|＝4，|b|＝3，代入上式求得a·b＝－6，所以又θ∈［0，π］，所以(2)可先平方轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積．|a+b|2＝(a+b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以(3)由(1)知所以考點3平面向量的模及其應(yīng)用【考情】平面向量的模的計算與平面向量的數(shù)量積密切相關(guān)，平面向量模的有關(guān)問題是近幾年高考的熱點.常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，考查求模的最值、求模的取值范圍等問題，具有一定的綜合性.高頻考點

通關(guān)【典例3】(1)(2013·湖南高考)已知a,b是單位向量，a·b=0.若向量c滿足|c－a－b|=1,則|c|的取值范圍是()(2)(2013·浙江高考)設(shè)e1,e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2，x,y∈R.若e1,e2的夾角為的最大值等于_________.【解題視點】(1)首先弄懂向量a,b是一組正交基底，且|a+b|=

由|c－(a+b)|=1利用圓的知識可求得結(jié)果，或利用代數(shù)運算，轉(zhuǎn)化為不等式求解.(2)先求的最大值，其處理方法是變形構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的最值解答.【規(guī)范解答】(1)方法一：選A.條件|c－a－b|=1,可以理解成如圖的情況,而|a+b|=向量c的終點在單位圓上，故|c|的最大值為最小值是故選A.方法二：選A.由題意，得|a|=|b|=1,a·b=0,所以|a+b|=因為|c-a-b|=1,所以|c-a-b|2=c2-2c·(a+b)+(a+b)2=1.設(shè)c與a+b的夾角為θ,則|c|2-2|c|×cosθ+2=1,即|c|2+1=2|c|cosθ≤2|c|,|c|2-2|c|+1≤0,解得

-1≤|c|≤+1.(2)所以的最大值為2.答案：2【通關(guān)錦囊】

高考指數(shù)重點題型破解策略◆◆◆求模的最值或取值范圍幾何法求最值:利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則,結(jié)合模的幾何意義求模的最值或取值范圍代數(shù)法求最值:利用向量的數(shù)量積及運算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍◆◆

求模的大小注意模的計算公式

或坐標(biāo)公式

的應(yīng)用,另外也可以運用向量數(shù)量積的運算公式列方程求解◆◆

求參數(shù)值根據(jù)模的有關(guān)公式列方程求參數(shù)值【通關(guān)題組】

1.(2014·成都模擬)已知向量a=(1,1),b=(2,y)，若|a+b|=a·b，則y=()A.-3B.-1C.1D.3【解析】選D.因為a=(1,1),b=(2,y),所以a+b=(3,y+1),a·b=2+y,因為|a+b|=a·b.所以所以y=3.2.(2014·西安模擬)已知單位向量a,b滿足|a-kb|=|ka+b|，其中k＞0,則下列與向量b垂直的向量可以是()A.6a+2b

B.a+bC.a-b

D.a+b【解析】選D.因為單位向量a,b滿足|a-kb|=|ka+b|，其中k＞0，所以(a-kb)2=3(ka+b)2，即a·b=因為k＞0,所以a·b≤b·(6a+2b)=6a·b+2b2=6a·b+2≤-1,即b與6a+2b不垂直，所以A不正確；即b與不垂直，所以B不正確；即b與不垂直，所以C不正確；所以b與的數(shù)量積可以為零，即b與

可以垂直，故選D.3.(2013·重慶高考)在平面上，的取值范圍是()A.B.C.D.【解析】選D.因為所以即所以因為所以所以【加固訓(xùn)練】1.(2014·嘉興模擬)已知平面向量a,b滿足|a|=2,|b|=3，a·(a-2b)=0，則|a-b|=()A.2B.3C.4D.6【解析】選B.因為|a|=2,|b|=3,所以a·(a-2b)=a2-2a·b=4-2a·b=0，即a·b=2，所以2.(2014·北京模擬)若a,b,c均為單位向量，且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0，則|a+b-c|的最大值為()A.B.1C.D.2【解析】選B.由向量a,b,c都是單位向量，可得a2=1，b2=1，c2=1，由a·b=0及(a-c)·(b-c)≤0，可以知道(a+b)·c≥c2=1，因為|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c，所以有|a+b-c|2=3-2(a·c+b·c)=3-2(a+b)·c，故|a+b-c|≤1.【創(chuàng)新體驗3】以平面向量的數(shù)量積為載體的創(chuàng)新問題【典例】(2014·福州模擬)對任意兩個非零向量定義若平面向量a,b滿足|a|≥|b|>0，a與b的夾角且都在集合中，則=()A.B.1C.D.【審題視點】創(chuàng)新點①定義運算對任意兩個非零向量②

都在集合中切入點根據(jù)條件

確定的取值范圍,又在集合中,先確定

的值,由此再確定

的取值范圍,最后定其值【解析】選C.根據(jù)題中的向量的新運算及向量的數(shù)量積，可知因為又因為|a|≥|b|>0,所以即由①×②得,所以【創(chuàng)新點撥】1.高考考情：以向量為背景的新定義問題，是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點，考查頻次較高.2.命題形式：常見的有新定義，新運算等.【備考指導(dǎo)】1.準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化：解決新定義問題時，一定要弄清新定義的含義，由此把問題轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的定義、運算，切忌同已有的定義或運算相混淆.2.方法選取：成功轉(zhuǎn)化后，可結(jié)合特例法、推理法，并注意到向量的概念及數(shù)量積的運算特點，根據(jù)題目的條件求解，要注意培養(yǎng)學(xué)生獲取新信息、利用新知識的能力.【新題快遞】1.(2014·煙臺模擬)定義平面向量之間的一種運算“☉”如下:對任意的a=(m,n),b=(p,q),令a☉b=mq-np,下面說法錯誤的是(