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第三章空間解析幾何與向量代數(shù)第三節(jié)數(shù)量積向量積一、兩向量的數(shù)量積力與位移的夾角為沿直線運(yùn)動(dòng),引例

設(shè)一物體在常力F作用下移動(dòng)的位移為s,則力F

所做的功為1

定義設(shè)向量的夾角為,稱

記作數(shù)量積(點(diǎn)積、內(nèi)積).一、兩向量的數(shù)量積故2

數(shù)量積的性質(zhì)為兩個(gè)非零向量,則有(3)基向量(1)交換律(3)結(jié)合律(2)分配律3

數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律例1

設(shè)向量a與b有，求|a

+

b|解

設(shè)向量則對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積之和4

數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示當(dāng)為非零向量時(shí),由于兩向量的夾角公式得且有垂直，且為單位向量，所以有例2

在xOy坐標(biāo)平面上求一單位向量，使之與已知向量垂直．xOy坐標(biāo)平面內(nèi)，可設(shè)向量b與a解方程組得故所求向量為，解

因?yàn)樗笙蛄吭诙?、兩向量的向量積矩是一個(gè)向量M

引例

設(shè)O

為杠桿L的支點(diǎn),有一個(gè)與杠桿夾角為的力F作用在杠桿的P點(diǎn)上,則力F

作用在杠桿上的力，它的模為指向符合右手規(guī)則，即定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向量積，稱為鄰邊的平行四邊形面積，即向量積的模的幾何意義為以向量a與b1向量積的定義二、兩向量的向量積為非零向量,則∥3

運(yùn)算律(3)分配律(2)結(jié)合律2向量積的性質(zhì)4向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)向量則向量積的行列式計(jì)算法角形

ABC

的面積.解

求三例3

已知三點(diǎn)例4

設(shè)單位向量與三個(gè)坐標(biāo)軸夾角相等，B是點(diǎn)M(1,-3,2)關(guān)于N(-1,2,1)的對(duì)稱點(diǎn).求解OA=(cos,cos,cos).由

=

=

可得cos2+cos2+

cos2=

3

cos2＝1.設(shè),,是OA的方向角，則設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)是(x,y,z)

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