第三章熱傳導(dǎo)問(wèn)題的數(shù)值解法

第三章導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法任好玲機(jī)電實(shí)驗(yàn)大樓B506TelQ:45075614一、導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想及內(nèi)部節(jié)點(diǎn)離散方程的建二、邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解三、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法（自學(xué)）四、導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值計(jì)算實(shí)例主要內(nèi)容數(shù)值求解的基本思想及常用的數(shù)值求解方法有限差分法節(jié)點(diǎn)離散方程的建立——泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法與熱平衡法。節(jié)點(diǎn)離散方程(組)的求解

直接求解;

簡(jiǎn)接求解——高斯-賽德?tīng)?Gauss-Seidel)迭代法非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的有關(guān)概念

重點(diǎn)：用熱平衡法建立穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的離散方程，數(shù)值求解的高斯-賽德?tīng)?Gauss-Seidel)迭代法主要內(nèi)容數(shù)值求解的基本方法及過(guò)程求解導(dǎo)熱問(wèn)題的三種基本方法：(1)理論分析法；(2)數(shù)值計(jì)算法；(3)實(shí)驗(yàn)法三種方法的基本求解過(guò)程

所謂理論分析方法，就是在理論分析的基礎(chǔ)上，直接對(duì)微分方程在給定的定解條件下進(jìn)行積分，這樣獲得的解稱之為分析解，或叫理論解；數(shù)值計(jì)算法，把原來(lái)在時(shí)間和空間連續(xù)的物理量的場(chǎng)，用有限個(gè)離散點(diǎn)上的值的集合來(lái)代替，通過(guò)求解按一定方法建立起來(lái)的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，從而獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值；并稱之為數(shù)值解；實(shí)驗(yàn)法，就是在傳熱學(xué)基本理論的指導(dǎo)下，采用對(duì)所研究對(duì)象的傳熱過(guò)程所求量的方法主要內(nèi)容數(shù)值求解方法的特點(diǎn)分析法

能獲得所研究問(wèn)題的精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算提供比較依據(jù)；局限性很大，對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題無(wú)法求解；分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見(jiàn).數(shù)值法：在很大程度上彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)，適應(yīng)性強(qiáng)，特別對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題更顯其優(yōu)越性；與實(shí)驗(yàn)法相比成本低實(shí)驗(yàn)法:是傳熱學(xué)的基本研究方法

適應(yīng)性不好；費(fèi)用昂貴.有限差分法（finite-difference）有限元法（finite-element）邊界元法（boundary-element）分子動(dòng)力學(xué)模擬（MD）

導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想及內(nèi)部節(jié)點(diǎn)離散方程的建立物理問(wèn)題的數(shù)值求解過(guò)程建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場(chǎng)的迭代初值求解代數(shù)方程是否收斂解的分析改進(jìn)初場(chǎng)是否導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想及內(nèi)部節(jié)點(diǎn)離散方程的建立有限差分法解方程,并用節(jié)點(diǎn)的解的集合(離散值)來(lái)代替原物體內(nèi)的連續(xù)溫度分布離散：將連續(xù)體用網(wǎng)格分割成有限單元體取節(jié)點(diǎn)：以單元體的中心點(diǎn)代表該單元體建立節(jié)點(diǎn)離散方程：對(duì)每一單元體按一定方法，將針對(duì)微元體得出的導(dǎo)熱微分方程簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化成針對(duì)有限單元體的節(jié)點(diǎn)離散方程(代數(shù)方程組)導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想及內(nèi)部節(jié)點(diǎn)離散方程的建立有限差分法例題：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題控制方程：是指描寫(xiě)物理問(wèn)題的微分方程針對(duì)圖示的導(dǎo)熱問(wèn)題，它的控制方程（即導(dǎo)熱微分方程）為：其四個(gè)邊的邊界條件為三個(gè)邊界條件中的一種，三個(gè)邊界條件為：控制容積、網(wǎng)格線、節(jié)點(diǎn)、界面線、步長(zhǎng)導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想及內(nèi)部節(jié)點(diǎn)離散方程的建立有限差分法例題：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）首先劃分各節(jié)點(diǎn)的類(lèi)型；其次，建立節(jié)點(diǎn)離散方程；最后，代數(shù)方程組的形成。對(duì)節(jié)點(diǎn)(m,n)的代數(shù)方程，當(dāng)△x=△y時(shí)，有設(shè)立迭代初場(chǎng)

:直接解法與迭代解法，傳熱問(wèn)題的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解時(shí)，需對(duì)被求的溫度場(chǎng)預(yù)先設(shè)定一個(gè)解，這個(gè)解稱為初場(chǎng)，并在求解過(guò)程中不斷改進(jìn)導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想及內(nèi)部節(jié)點(diǎn)離散方程的建立有限差分法例題：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題求解代數(shù)方程組求解時(shí)遇到的問(wèn)題：①線性；②非線性；③收斂性等。m=1的左邊界上各節(jié)點(diǎn)的溫度已知外，其余(M-1)N個(gè)節(jié)點(diǎn)均需建立離散方程，共有(M-1)N個(gè)方程，則構(gòu)成一個(gè)封閉的代數(shù)方程組。線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其各項(xiàng)系數(shù)在整個(gè)求解過(guò)程中不再變化；非線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其各項(xiàng)系數(shù)在整個(gè)求解過(guò)程中不斷更新。是否收斂判斷：是指用迭代法求解代數(shù)方程是否收斂，即本次迭代計(jì)算所得之解與上一次迭代計(jì)算所得之解的偏差是否小于允許值。解的分析：通過(guò)求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分布，根據(jù)溫度場(chǎng)應(yīng)進(jìn)一步計(jì)算通過(guò)的熱流量，熱應(yīng)力及熱變形等。因此，對(duì)于數(shù)值分析計(jì)算所得的溫度場(chǎng)及其它物理量應(yīng)作詳細(xì)分析，以獲得定性或定量上的結(jié)論。建立離散方程的常用方法節(jié)點(diǎn)類(lèi)型這是導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值計(jì)算的關(guān)鍵一步。要得出節(jié)點(diǎn)的離散方程，首先要了解該節(jié)點(diǎn)是哪種類(lèi)型。具有對(duì)流邊界條件的外角頂；具有對(duì)流邊界條件的平直邊界節(jié)點(diǎn)；具有對(duì)流邊界條件和對(duì)稱絕熱角頂；具有絕熱邊界條件的平直邊界節(jié)點(diǎn)；具有對(duì)流邊界條件的內(nèi)角頂；內(nèi)部節(jié)點(diǎn)。建立離散方程的常用方法

泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法對(duì)于節(jié)點(diǎn)（m+1,n）及（m-1,n）分別寫(xiě)出函數(shù)t對(duì)（m,n）點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)建立離散方程的常用方法

泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法中心差分二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的微分方程式為其在節(jié)點(diǎn)（m,n）處的中心差分方程式為若△x=△y則有建立離散方程的常用方法控制容積平衡法(熱平衡法)基本思想：對(duì)每個(gè)有限大小的控制容積（元體）應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場(chǎng)的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和Fourier導(dǎo)熱定律即可。能量守恒：導(dǎo)入元體的總熱流量＋元體內(nèi)熱源生成熱＝導(dǎo)出元體的總熱流量＋元體內(nèi)能的增量從節(jié)點(diǎn)(m-1,n)通過(guò)界面w傳導(dǎo)到節(jié)點(diǎn)(m,n)的熱流量通過(guò)界面e,n,s傳導(dǎo)給節(jié)點(diǎn)（m,n）的熱流量也可求得對(duì)元體(m,n).根據(jù)能量守恒定律可知：建立離散方程的常用方法控制容積平衡法(熱平衡法)導(dǎo)入元體的熱流量為正，導(dǎo)出元體的熱量為負(fù)說(shuō)明：上述分析與推導(dǎo)是在笛卡兒坐標(biāo)系中進(jìn)行的；熱平衡法概念清晰，過(guò)程簡(jiǎn)捷；

熱平衡法與建立微分方程的思路與過(guò)程一致，但不同的是前者是有限大小的元體，后者是微元體；適用于非均勻網(wǎng)格；適用于導(dǎo)熱系數(shù)為溫度的函數(shù)或內(nèi)熱源分布不均勻的情形；適用于物體內(nèi)的各個(gè)節(jié)點(diǎn)（內(nèi)節(jié)點(diǎn)與邊界節(jié)點(diǎn)）物理概念清晰，推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)單；（2）邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立

對(duì)于第一類(lèi)邊界條件的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，處理比較簡(jiǎn)單，因?yàn)橐阎吔绲臏囟?，可將其以?shù)值的形式加入到內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。而對(duì)于第二類(lèi)或第三類(lèi)邊界條件的導(dǎo)熱問(wèn)題，所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程組成的代數(shù)方程組是不封閉的，因未知邊界溫度，因而應(yīng)對(duì)位于該邊界上的節(jié)點(diǎn)補(bǔ)充相應(yīng)的代數(shù)方程，才能使方程組封閉，以便求解。為了求解方便，這里我們將第二類(lèi)邊界條件及第三類(lèi)邊界條件合并起來(lái)考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達(dá)式。為使結(jié)果更具一般性，假設(shè)物體具有內(nèi)熱源Φ(不必均勻分布)。邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立——平直邊界上的節(jié)點(diǎn)為使討論具有一般性，設(shè)物體具有內(nèi)熱源平直邊界上的節(jié)點(diǎn)當(dāng)邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立——外部角點(diǎn)為使討論具有一般性，設(shè)物體具有內(nèi)熱源外部角點(diǎn)當(dāng)邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立——內(nèi)部角點(diǎn)為使討論具有一般性，設(shè)物體具有內(nèi)熱源內(nèi)部角點(diǎn)當(dāng)邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立——邊界熱流密度絕熱邊界平直邊界當(dāng)傳入計(jì)算區(qū)域的熱量為正對(duì)流邊界外部角點(diǎn)內(nèi)部角點(diǎn)：無(wú)量綱數(shù)，以網(wǎng)格步長(zhǎng)Δx為特征長(zhǎng)度的Bi數(shù)，稱為網(wǎng)格Bi數(shù)當(dāng)計(jì)算區(qū)域中出現(xiàn)曲線或傾斜邊界時(shí),常用階梯型折線來(lái)模擬真實(shí)邊界邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立——不規(guī)則邊界處理模擬或逼近精度與什么有關(guān)？邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界代數(shù)方程的求解方法

迭代法：先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)（設(shè)定初場(chǎng)），在迭代計(jì)算中不斷予以改進(jìn)，直到計(jì)算前的假定值與計(jì)算結(jié)果相差小于允許值為止的方法，稱迭代計(jì)算收斂。直接解法：通過(guò)有限次運(yùn)算獲得精確解的方法，如：矩陣求解，高斯消元法。高斯——賽德?tīng)柕ǎ好看蔚?jì)算，均是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值。雅可比迭代法：每次迭代計(jì)算，均用上一次迭代計(jì)算出的值。邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界代數(shù)方程的求解方法設(shè)初場(chǎng)：邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界代數(shù)方程的求解方法——收斂的準(zhǔn)則k及k+1表示迭代次數(shù)；——第k次迭代得到的最大值當(dāng)有接近于零的t時(shí)，第三個(gè)較好ε’=10-3～10-6差分方程能收斂邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界代數(shù)方程的求解方法例題1：高斯-賽德?tīng)柕ǎ簼M足收斂條件能否收斂？設(shè)初值，一般設(shè)為零

節(jié)點(diǎn)迭代次數(shù)t1(℃)t2(℃)t3(℃)000013.6255.6753.76921.735(-1.89)4.545(-1.13)4.996(1.227)31.864(0.129)4.029(-0.516)5.061(0.065)41.985(0.121)3.979(-0.05)5.013(-0.048)52.004(0.019)3.994(0.015)5.000(-0.013)62.002(0.002)4.000(0.006)5.000(0.000)

最后結(jié)果2.0024.0005.000邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界代數(shù)方程的求解方法例題1：高斯-賽德?tīng)柕ㄇ?、2、3、4溫度：1234t=100℃t=100℃t=100℃t=500℃

各節(jié)點(diǎn)均為內(nèi)節(jié)，故：小結(jié)導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想——數(shù)值計(jì)算是解決較復(fù)雜的導(dǎo)熱問(wèn)題的有效途徑常用的數(shù)值求解方法：有限單元法和有限差分法*

——離散(分割)、取節(jié)點(diǎn)、列節(jié)點(diǎn)離散方程、解方程建立節(jié)點(diǎn)離散方程的兩種方法:——泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法與熱平衡法。

——節(jié)點(diǎn)離散方程的建立是導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的重要環(huán)節(jié)(要求能根據(jù)不同情況，用熱平衡法自行推導(dǎo)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的節(jié)點(diǎn)有限差分方程)。節(jié)點(diǎn)離散方程（組）的求解

——用高斯-