概率論(浙大版)第二章

第二章隨機(jī)變量及其分布

第一節(jié)隨機(jī)變量

第二節(jié)概率分布函數(shù)

第三節(jié)離散型隨機(jī)變量

第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量第五節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)1第一節(jié)

隨機(jī)變量在上一章中，我們把隨機(jī)事件看作樣本空間的子集；這一章里我們將引入隨機(jī)變量的概念，用隨機(jī)變量的取值來(lái)描述隨機(jī)事件。一、隨機(jī)變量引例：E1:將一枚硬幣連擲兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況。2e1=（正，正）2e2=（正，反）1e3=（反，正)

1e4=（反，反）0

令X=“正面出現(xiàn)的次數(shù)”，則X是一個(gè)隨著試驗(yàn)結(jié)果不同而取值不同的量，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：由上可知，對(duì)每一個(gè)樣本點(diǎn)e，都有一個(gè)X的取值X(e)基本結(jié)果(e)正面出現(xiàn)的次數(shù)X(e)3與之對(duì)應(yīng)。我們把X稱(chēng)為定義在這個(gè)試驗(yàn)上的隨機(jī)變量。

E2：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).

令X=“正面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”

E3：某產(chǎn)品的使用壽命X,X>=0.

E4：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況.4一般地，對(duì)每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們都可以引入一個(gè)變量X，使得試驗(yàn)的每一個(gè)樣本點(diǎn)都有一個(gè)X的取值X(e)與之對(duì)應(yīng)，這樣就得到隨機(jī)變量的概念.1、隨機(jī)變量的定義:

設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間為S={e}，在E上引入一個(gè)變量X，如果對(duì)S中每一個(gè)樣本點(diǎn)e，都有一個(gè)X的取值X(e)與之對(duì)應(yīng)，我們就稱(chēng)X為定義在隨機(jī)試驗(yàn)E的一個(gè)隨機(jī)變量.5（2）引入隨機(jī)變量的目的：用隨機(jī)變量的取值范圍表示隨機(jī)事件，利用高等數(shù)學(xué)的工具研究隨機(jī)現(xiàn)象。事件“正面至少出現(xiàn)一次”可表示為:“X≥1”；2、隨機(jī)變量的說(shuō)明（1）隨機(jī)變量的表示：常用字母X,Y,Z，….表示;例如：上例中，事件“正面出現(xiàn)兩次”可表示為:“0<X≤2”表示事件“正面至少出現(xiàn)一次”?！癤=2”；6例如：上例中P(X=2)=1/4；P(X≥１)=3/4；

P(0<X≤2)=3/4；隨機(jī)變量的取值具有一定的概率：(4)隨機(jī)變量的類(lèi)型：這兩種類(lèi)型的隨機(jī)變量因其取值方式的不同各有特點(diǎn)，學(xué)習(xí)時(shí)注意它們各自的特點(diǎn)及描述方式的不同。具有隨機(jī)性:在一次試驗(yàn)之前不知道它取哪一個(gè)值，但事先知道它全部可能的取值。

（3）隨機(jī)變量的特點(diǎn):離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量。7

例1（用隨機(jī)變量的取值表示隨機(jī)事件）一報(bào)童賣(mài)報(bào)，每份報(bào)0.50元,其成本為0.30元。

報(bào)館每天給報(bào)童1000份報(bào)紙，并規(guī)定賣(mài)不出的報(bào)紙不得退回。解：分析{報(bào)童賠錢(qián)}{賣(mài)出報(bào)紙的錢(qián)不夠成本}當(dāng)0.50X<1000×0.3時(shí)，報(bào)童賠錢(qián).故{報(bào)童賠錢(qián)}{X600}

令X=“報(bào)童每天賣(mài)出的報(bào)紙份數(shù)”試將“報(bào)童賠錢(qián)”這一事件用X的取值表示出來(lái)。8（1）隨機(jī)變量X可能取哪些值？

（2）隨機(jī)變量X取某個(gè)值的概率是多大？3、隨機(jī)變量的概率分布引入隨機(jī)變量后,上述說(shuō)法相應(yīng)變?yōu)橄铝斜硎龇绞剑簩?duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們關(guān)心下列兩件事情：

（1）試驗(yàn)會(huì)發(fā)生一些什么事件？（2）每個(gè)事件發(fā)生的概率是多大？9

對(duì)一個(gè)隨機(jī)變量X，若給出了以上兩條，我們就說(shuō)給出了隨機(jī)變量X的概率分布(也稱(chēng)分布律）。這一章我們的中心任務(wù)是學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布.10§2離散型隨機(jī)變量及其分布11

如果隨機(jī)變量X所有可能的取值是有限個(gè)或無(wú)窮可列個(gè)，則稱(chēng)X為離散型隨機(jī)變量。一、離散型隨機(jī)變量的定義及其分布律1.離散型隨機(jī)變量的定義2.離散型隨機(jī)變量的分布律要掌握一個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布律，必須且只需知道以下兩點(diǎn)：

(1)X所有可能的取值:(2)X取每個(gè)值時(shí)的概率:12稱(chēng)(1)式為離散型隨機(jī)變量X的分布律.注:離散型隨機(jī)變量X的分布律可用公式法和表格法描述。1)公式法:2)

表格法:LL21kpppxxX2113X012pk1/42/41/4

例1：將一枚硬幣連擲兩次，求“正面出現(xiàn)的次數(shù)X”的分布律。解：在此試驗(yàn)中，所有可能的結(jié)果有：e1=（正，正）；e2=（正，反）；e3=（反，正)；e4=（反，反）。于是，正面出現(xiàn)的次數(shù)X”的分布律：143、離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)

例２:

設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：試求常數(shù)a.15離散型隨機(jī)變量的三種重要的分布（一）（0-1分布）1617

解：X所有可能的取值為：0，1，2，3；例3:

設(shè)有產(chǎn)品100件，其中3件是次品。從中有放回地任取3件，求“取得次品件數(shù)X”的分布律。18這個(gè)分布其實(shí)就是將要介紹二項(xiàng)分布。我們先來(lái)看一個(gè)重要的試驗(yàn)——伯努利（Bernoulli）試驗(yàn)。19二、伯努利試驗(yàn)及二項(xiàng)分布1、伯努利試驗(yàn)202122232、二項(xiàng)分布

用X表示n重Bernoulli試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，，則X的分布律為:此時(shí)稱(chēng)X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,記為X～B(n,p).24

解：令A(yù)=“擲出5點(diǎn)”，令X=“4次拋擲中擲出5點(diǎn)的次數(shù)”，則4次拋擲中3次擲出5點(diǎn)的概率為：例1：

將一枚均勻的骰子擲4次，求3次擲出5點(diǎn)的概率.25例2：某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，獨(dú)立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率。2627（三）泊松分布1.定義若隨機(jī)變量X所有可能的取值為0,1,2,…,而取每個(gè)值的概率為:其中λ>0是常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為的泊松分布,記為:X～().2.泊松定理設(shè)>0為一常數(shù)，n是任意正整數(shù)。設(shè)npn=λ,

則對(duì)任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有282930

泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系：這兩個(gè)分布的說(shuō)明：數(shù)學(xué)模型都是Bernoulli概型。Poisson分布是二項(xiàng)分布當(dāng)n很大p很小時(shí)的近似計(jì)算。31§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)32設(shè)X為一隨機(jī)變量,為任意實(shí)數(shù),稱(chēng)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。1、分布函數(shù)的定義:332、分布函數(shù)的性質(zhì)

是右連續(xù)函數(shù)，即是一個(gè)單調(diào)不減函數(shù)34

引進(jìn)分布函數(shù)后，事件的概率可以用

的函數(shù)值來(lái)表示。0（]ab35363738§4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義：對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)若存在

非負(fù)的函數(shù)使對(duì)于任意實(shí)數(shù)有：其中稱(chēng)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度。

則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，

連續(xù)型隨機(jī)變量的取值充滿一個(gè)區(qū)間，對(duì)這種類(lèi)型的隨機(jī)變量不能象離散型的那樣用分布律描述，而是用概率密度描述。39405）連續(xù)型隨機(jī)變量X取任一實(shí)數(shù)的概率值為零.注意:5)表明求連續(xù)型隨機(jī)變量落在一個(gè)區(qū)間上的概率值時(shí)，不必考慮區(qū)間端點(diǎn)的情況。即41隨機(jī)變量的分布函數(shù)、分布律、密度函數(shù)有什么聯(lián)系和區(qū)別？區(qū)別：分布函數(shù)描述隨機(jī)變量的取值規(guī)律，隨機(jī)變量可以是離散型的，也可以是連續(xù)型的；分布律只能描述離散型隨機(jī)變量的取值規(guī)律；密度函數(shù)只能描述連續(xù)型隨機(jī)變量的取值規(guī)律。聯(lián)系：42434445連續(xù)型隨機(jī)變量的三個(gè)重要的分布（一）均勻分布4647（二）指數(shù)分布服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量X具有以下有趣的性質(zhì)：對(duì)于任意s，t>0，有4849（三）正態(tài)分布50稱(chēng)μ為位置參數(shù)(決定對(duì)稱(chēng)軸位置)

σ為尺度參數(shù)(決定曲線分散性)51X的取值呈中間多，兩頭少，對(duì)稱(chēng)的特性。當(dāng)固定μ時(shí)，σ越大，曲線的峰越低，落在μ附近的概率越小，取值就越分散，∴σ是反映X的取值分散性的一個(gè)指標(biāo)。

在自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中，大量隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布。5253一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化5455例：查書(shū)后附表5657§5隨機(jī)變量的函數(shù)分布問(wèn)題：已知隨機(jī)變量