第八章數(shù)值積分與數(shù)值微分

數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)值方法武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系劉丁酉

liudingyou487@163.com主頁8.1Newton-Cotes求積公式8.2復(fù)合求積公式8.3Romberg求積公式8.4自適應(yīng)積分法8.5Gauss型求積公式§8 數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院主頁§8.1 Newton-Cotes求積公式8.1.1梯形公式和Simpson公式8.1.2插值型求積公式8.1.3代數(shù)精度8.1.4Newton-Cotes求積公式8.1.5開型Newton-Cotes求積公式8.1.6Newton-Cotes求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院主頁§8.1.1 梯形公式和Simpson公式

積分只要找到被積函數(shù)f(x)原函數(shù)F(x)，便有牛頓—萊布尼茲(Newton—Leibniz)公式實(shí)際困難：大量的被積函數(shù)（,sinx2等）,找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)；另外,f(x)是（測量或數(shù)值計(jì)算出的）一張數(shù)據(jù)表時(shí)，牛頓—萊布尼茲公式也不能直接運(yùn)用。積分中值定理：在[a,b]內(nèi)存在一點(diǎn)，有

f()成立。就是說,底為b-a而高為f()的矩形面積恰等于所求曲邊梯形的面積.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院問題在于點(diǎn)ζ的具體位置一般是不知道的，因而難以準(zhǔn)確算出f()的值．我們將f()稱為區(qū)間[a,b]上的平均高度．這樣,只要對(duì)平均高度f()提供一種算法,相應(yīng)地便獲得一種數(shù)值求積方法．

如果用兩端點(diǎn)的“高度”f(a)與f(b)的算術(shù)平均作為平均高度f()的近似值，這樣導(dǎo)出的求積公式:

便是我們所熟悉的梯形公式.

而如果改用區(qū)間中點(diǎn)的“高度”f(c)近似地取代平均高度f()，則又可導(dǎo)出所謂中矩形公式(今后簡稱矩形公式)：(8.1.1)(8.1.2)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院主頁2、把[a,b]二等分，作2次插值，有此公式稱為辛普森（Simpson）公式。Simpson公式是以函數(shù)f(x)在a,b,(a+b)/2這三點(diǎn)的函數(shù)值f(a),f(b),的加權(quán)平均值似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。定理8.1.2（梯形公式的誤差）設(shè)f(x)在[a,b]上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則梯形公式的誤差（余項(xiàng)）為定理8.1.3（辛卜生公式的誤差）設(shè)在[a,b]上具有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，則辛卜生求積公式的誤差為數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院近似計(jì)算思路利用插值多項(xiàng)式則積分易算。

在[a,b]上取ax0<x1<…<xn

b，做f的n次插值多項(xiàng)式，即得到Ak由決定，與無關(guān)。節(jié)點(diǎn)

f(x)插值型積分公式誤差§8.1.2插值型的求積公式關(guān)鍵是f(x)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)值求積方法是近似方法，為要保證精度，我們自然希望求積公式能對(duì)“盡可能多”的函數(shù)準(zhǔn)確地成立，這就提出了代數(shù)精度的概念.

定義1如果某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)≤m的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確地成立，但對(duì)于m+1次多項(xiàng)式就不一定準(zhǔn)確，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度．一般地，欲使求積公式具有m次代數(shù)精度，只要令它對(duì)于f(x)=1，x，…，xm都能準(zhǔn)確成立，這就要求§8.1.3代數(shù)精度數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院例1：考察其代數(shù)精度。

f(x)abf(a)f(b)梯形公式解：逐次檢查公式是否精確成立代入

P0=1：=代入

P1=x：=代入

P2=x2：代數(shù)精度=1例2

試構(gòu)造形如f(x)dxA0f(0)+A1f(h)+A2f(2h)的數(shù)值求積公式,使其代數(shù)精度盡可能高,并指出其代數(shù)精度的階數(shù).3h0數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院解:令公式對(duì)

f(x)=1,x,x2

均準(zhǔn)確成立,則有3h=A0+A1+A2h2=0+

A1h+A22h9h3=0+A1h2+A24h229故求積公式的形式為解之得

A0=h,

A1=0,A2=h.9434f(x)dxf(0)+f(2h)3h43h43h0由公式的構(gòu)造知,公式至少具有2次代數(shù)精度;而當(dāng)f(x)=x3時(shí),公式的左邊=h4,右邊=18h4,公式的左邊右邊,說明此公式對(duì)f(x)=x3不能準(zhǔn)確成立.因此,公式只具有2次代數(shù)精度.814數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院中,當(dāng)所取節(jié)點(diǎn)是等距時(shí)稱為牛頓-柯特斯公式其中插值多項(xiàng)式求積系數(shù)

這里是插值基函數(shù)。即有§

8.1.4Newton-Cotes求積公式在插值求積公式數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院將積分區(qū)間[a,b]劃分為n等分,步長求積節(jié)點(diǎn)為為了計(jì)算系數(shù)Ak,由于,所以作變量代換當(dāng)時(shí),有,于是可得數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

(k=0,1…,n)

代入插值求積公式(6.4)有稱為牛頓-柯特斯求積公式,Ck稱為柯特斯系數(shù)引進(jìn)記號(hào)

(k=0,1…,n)

則數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院容易驗(yàn)證

∵

∴

顯然,Ck是不依賴于積分區(qū)間[a,b]以及被積函數(shù)f(x)的常數(shù),只要給出n,就可以算出柯特斯系數(shù),譬如當(dāng)n=1時(shí)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院當(dāng)n=2時(shí)

P233表8.1給出了n從1～8的柯特斯系數(shù)。

當(dāng)n=8時(shí)，從表中可以看出出現(xiàn)了負(fù)系數(shù)，從而影響穩(wěn)定性和收斂性，因此實(shí)用的只是低階公式。

數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院§8.1.5開型Newton-Cotes求積公式在求積公式中，節(jié)點(diǎn)并假定若那么求積公式稱為閉型求積公式，如果則稱求積公式為開型求積公式?？紤]等距節(jié)點(diǎn)，令用作為求積的節(jié)點(diǎn)，那么有（8.1.19）其中為節(jié)點(diǎn)上的n次插值基函數(shù)。公式（8.1.19）稱為開型Newton-Cotes求積公式。數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院§

8.1.6Newton—Cotes求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性某個(gè)求積公式設(shè)的近似值為，的舍入誤差，即f(xk)的誤差對(duì)數(shù)值積分的結(jié)果影響較小，則稱該數(shù)值求積公式是穩(wěn)定的；否則，若影響較大，則稱為不穩(wěn)定的。數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院以下推導(dǎo)說明Newton—Cotes公式的數(shù)值穩(wěn)定性

數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院8.2.1復(fù)合梯形求積公式8.2.2復(fù)合Simpson求積公式數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院§8.2復(fù)合求積公式

對(duì)于定積分其精確值.I=2.302585。用梯形公式（3.1.6）計(jì)算有用Simpson公式（3.1.7）計(jì)算可以看出，它們的誤差很大。由上一節(jié)的討論可知，高階Newton-Cotes求積公式是不穩(wěn)定的。因此，通常不用高階求積公式得到比較精確的積分值，而是將整個(gè)積分區(qū)間分段，在每一小段上用低階求積公式。這種方法稱為復(fù)合求積方法。本節(jié)討論復(fù)合梯形公式和復(fù)合Simpson公式。高次插值有Runge現(xiàn)象，故采用分段低次插值分段低次合成的Newton-Cotes

復(fù)合求積公式。數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院§8.2.1復(fù)合梯形求積公式x0x1xf(x)x2hhx3hhx4數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院復(fù)合梯形公式：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院即分段用Simpson公式再求和可得復(fù)化Simpson公式.§8.2.1復(fù)合Simpson求積公式

x0x2xf(x)x4hhxn-2hxn…...hx3x1xn-1數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院44444數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院復(fù)合Simpson公式：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院例：若用復(fù)合Simpson公式計(jì)算積分問積分區(qū)間要等分為多少份才能保證計(jì)算結(jié)果有4位有效數(shù)字？數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院如果用復(fù)合梯形公式計(jì)算，則由誤差公式數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院注意到區(qū)間再次對(duì)分時(shí)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)