第7章 數(shù)字邏輯基礎

第七章

數(shù)字邏輯基礎數(shù)制和碼制基本邏輯代數(shù)運算邏輯代數(shù)的數(shù)學描述邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)描述方法及轉換本章學習重點4.數(shù)的各種用法5.基本邏輯門電路的邏輯運算1.什么是數(shù)字電子？2.數(shù)字信號和模擬信號之間的關系3.數(shù)字邏輯和數(shù)字電路模擬信號與數(shù)字信號數(shù)字表:跳躍顯示時間模擬表:連續(xù)顯示時間模擬信號【AnalogSignal】

定義：在時間上與數(shù)值上都連續(xù)的信號。

模擬信號波形：u模擬信號波形t最常見的模擬信號波形就是正弦波。t正弦波形u

模擬電路：對模擬信號進行傳輸、處理的電子線路稱為模擬電路。模擬信號聲音盒式磁帶電路簡單,音質差數(shù)字信號【DigitalSignal】

定義：在時間上和數(shù)值上不連續(xù)的（即離散的）信號

數(shù)字信號波形對數(shù)字信號進行傳輸、處理的電子線路稱為數(shù)字電路。

數(shù)字電路u數(shù)字信號波形t10011聲音模擬信號轉換器數(shù)字信號CD數(shù)字電路跟模擬電路相比在對于信號的傳輸、存儲、處理方面有很大優(yōu)勢。音質好,多次拷貝無損耗數(shù)碼相機智能儀器計算機數(shù)字技術的應用谷歌眼鏡

PROJECTGLASS

由谷歌公司于2012年4月發(fā)布的一款“拓展現(xiàn)實”眼鏡，它具有和智能手機一樣的功能，可以通過聲音控制拍照、視頻通話和辨明方向，以及上網沖浪、處理文字信息和電子郵件等。7.1數(shù)制和碼制

7.1.1數(shù)制進制R數(shù)碼計數(shù)規(guī)則基數(shù)十0,1,2,3,4,5,6,7,8,9逢十進一10二0,1逢二進一2八0,1,2,3,4,5,6,7,逢八進一8十六0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A,B,C,D,E,F逢十六進一16幾種進制數(shù)之間的對應關系①一般地，N進制需要用到N個數(shù)碼，基數(shù)是N；運算規(guī)律為逢N進一。②如果一個N進制數(shù)A包含ｎ位整數(shù)和ｍ位小數(shù)，即(A)N=(an-1an-2…a1a0a－1a－2…a－m)N則該數(shù)的權展開式為：

(A)N＝an-1×Nn-1＋an-2×Nn-2＋…＋a1×N1＋a0×N0＋a－1×N-1＋a－2×N-2＋…＋a－m×N-m

(209.24)10＝2×102

＋0×101＋9×100＋2×10－1＋4×10－2(101.01)2＝1×22

＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2

7.1.2數(shù)制間轉換為什么要進行數(shù)制之間相互轉換？a.用數(shù)字電路實現(xiàn)十進制數(shù)很困難。二進制數(shù)碼用電子電路的開關特性就完全能夠實現(xiàn)。b.二進制數(shù)書寫太長、記憶不便，所以又常采用八進制和十六進制來表示二進制數(shù)。1.二進制轉換為十進制數(shù)方法：將它們按權展開，求出相加的和，便得到相應進制數(shù)對應的十進制數(shù)。例1：(101.01)2＝1×22＋0×21＋1×20＋0×2-1＋1×2-2＝(5.25)10

(10101.11)2=1×24+0×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+1×2-2=16+0+4+1+0.5+0.25=(21.75)10

2.十進制數(shù)轉換為二進制

整數(shù)部分：“除基數(shù)取余”法，直至商為0，所得余數(shù)自下而上排列；

小數(shù)部分：“乘基數(shù)取整”法，直至小數(shù)為0或按要求保留位數(shù)，所得整數(shù)自上而下排列。例：將(25.375)10轉換為二進制數(shù)。(25.375)10=（11001.011）2例：(35.85)10=(?)2，保留三位小數(shù)。解：整數(shù)部分：352172824222120………1………1………0………0………0………1低位高位小數(shù)部分：0.85×2＝1.7………

10.7×2＝1.4………

10.4×2＝0.8

………

0高位低位∵題目要求只保留三位小數(shù)∴不再繼續(xù)連乘取整了。∴(35.85)10≈(100011.110)2

7.1.3編碼【ENCODE】數(shù)字系統(tǒng)只能識別0和1，怎樣才能表示更多的數(shù)碼、符號、字母呢？——用編碼可以解決此問題。

用一定位數(shù)的二進制數(shù)來表示十進制數(shù)碼、字母、符號等信息稱為編碼。

問題的提出：

編碼定義：

二－十進制碼（BCD碼）8421BCD碼：用4位二進制數(shù)b3b2b1b0來表示1位十進制數(shù)。十進制01234567898421碼000000010010001101000101011001111000100100110010練習：32的BCD碼：練習：600的BCD碼011000000000二值數(shù)字邏輯中的1（邏輯1）和0（邏輯0）不僅可以表示二進制數(shù)，還可以表示事物的兩種對立的邏輯狀態(tài)。稱為邏輯0狀態(tài)和邏輯1狀態(tài)。7.2基本邏輯代數(shù)運算例：燈泡的亮、滅狀態(tài)

考試成績的及格、不及格A閉合與運算【ANDOperation】VABLABL開開滅開合滅合開滅合合亮

功能表ABL000010100111

真值表約定：開關A、B斷開時為邏輯0，合上時為邏輯1；燈滅時為邏輯0，燈亮時為邏輯1。描述：只有條件都具備，結果才發(fā)生。（邏輯乘）VABLVABL燈亮B閉合全部車門關,才開動

邏輯表達式：L=A?B=AB

邏輯符號實現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門其邏輯規(guī)律服從“有0出0，全1才出1”ABL000010100111缺一不可或運算【OROPERATION】ABL開開滅開合亮合開亮合合亮

功能表

邏輯表達式：L=A+BABL000011101111

真值表約定：開關A、B斷開時為邏輯0，合上時為邏輯1；燈滅時為邏輯0，燈亮時為邏輯1。合上A描述：只要任一條件具備，結果就會發(fā)生。（邏輯加）VABL搶答器其邏輯規(guī)律服從“有1出1，全0才出0”

有一即可非運算【NOTOPERATION】AL開亮合滅

功能表AL0110

真值表

邏輯符號實現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門合上A描述：條件具備，結果不發(fā)生；條件不具備，結果必發(fā)生。（邏輯求反）

邏輯表達式：L=A1AL=A約定：開關A斷開時為邏輯0，合上時為邏輯1；燈滅時為邏輯0，燈亮時為邏輯1。ALV

與非運算

邏輯表達式：ABL001011101110

真值表：

符號：7.2.2邏輯代數(shù)復合運算

或非運算ABL001010100110第7章

邏輯表達式：

真值表：

符號：

與或非運算

邏輯表達式：第7章

符號：

異或運算邏輯表達式：真值表：ABL000011101110第7章兩個輸入邏輯變量時Y=1，即不同為“1”相同為“0”，

同或運算邏輯表達式：真值表：ABL001010100111第7章⊙兩個輸入變量值相同時Y=1，即相同為“1”不同為“0”

。各種邏輯運算匯總表

1、基本公式交換律：A+B=B+AA·B=B·A結合律：A+B+C=(A+B)+C

A·B·C=(A·B)·C

分配律：A+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC

A·1=AA·0=0A+0=AA+1=10、1律：A·A=0A+A=1互補律：

7.3.1：邏輯代數(shù)的定律和運算規(guī)則7.3邏輯代數(shù)的數(shù)學描述重疊律：A+A=AA·A=A反演律：AB=A+B

A+B=A·B吸收律

隱含律：

AB＋AC＋BC＝AB+ACAB＋AC＋BCD＝AB+AC7.3.2邏輯代數(shù)的基本規(guī)則

代入規(guī)則

：在包含變量A邏輯等式中，如果用另一個函數(shù)式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。這一規(guī)則稱為代入規(guī)則。例：B(A+C)=BA+BC，用A+D代替A，得B[(A+D)+C]=B(A+D)+BC=BA+BD+BC代入規(guī)則可以擴展所有基本公式或定律的應用范圍（2）反演規(guī)則：求原函數(shù)的非函數(shù)原函數(shù)Y反函數(shù)“.”“+”，“+”“.”“0”“1”“1”“0”原變量反變量反變量原變量

運用規(guī)則：1、先括號，2、按先與后或的順序，3、保持反變量以外的非號不變。例已知

，求解：

練習：求L的反函數(shù)

（3）對偶規(guī)則

對于兩個函數(shù)，如果原函數(shù)相等，那么其對偶函數(shù)、反函數(shù)也相等。例

已知

，求對偶函數(shù)

解：

邏輯函數(shù)Y對偶函數(shù)“.”“+”，“+”“.”“0”“1”“1”“0”“或-與”表達式“與非-與非”表達式

“與-或-非”表達式“或非－或非”表達式“與-或”表達式7.5

邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡1、邏輯函數(shù)的最簡與-或表達式包含的與項數(shù)最少，且每個與項中變量數(shù)最少的表達式稱為最簡與-或表達式。2、邏輯函數(shù)的化簡方法

化簡的主要方法：１．公式法（代數(shù)法）２．圖解法（卡諾圖法）代數(shù)化簡法：運用邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式進行化簡的方法。

并項法:

吸收法：

A+AB=A

消去法：

配項法：A+AB=A+B第7章（1）最小項定義

如果一個函數(shù)的某個乘積項包含了函數(shù)的全部變量，其中每個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個乘積項稱為該函數(shù)的一個標準積項，通常稱為最小項。3個變量A、B、C可組成8個最小項：標準表達式:最小項代數(shù)化簡法缺點：對于一個較復雜的邏輯式也難以判斷化簡結果是否為最簡。解決方法——卡諾圖化簡法。練習：2個變量M、N的最小項：（2）最小項的表示方法

通常用符號mi來表示最小項。下標i的確定：把最小項中的原變量記為1，反變量記為0，當變量順序確定后，可以按順序排列成一個二進制數(shù)，則與這個二進制數(shù)相對應的十進制數(shù)，就是這個最小項的下標i。3個變量A、B、C的8個最小項可以分別表示為：例如：【表示法1】【表示法2】【表示法3】【表示法4】

最小項的若干表示方法

1、卡諾圖的引出將n變量的全部最小項都用小方塊表示，并使具有邏輯相鄰的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，這樣,所得到的圖形叫n變量的卡諾圖。7.4.3邏輯函數(shù)卡諾圖化簡法AB10100100011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m110001111000011110ABCD三變量卡諾圖四變量卡諾圖兩變量卡諾圖m0m1m2m3ACCBCA

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7ADBB卡諾圖的特點:各小方格對應于各變量不同的組合，而且上下左右在幾何上相鄰的方格內只有一個因子有差別。

2卡諾圖的填入

最小項表達式的填入：m1m4m3m6m7m11m14m15給定邏輯函數(shù)的最小項相對應的方格內填入1，其余的方格內填入0。例如：3、卡諾圖的化簡方法

化簡步驟①將給定的邏輯函數(shù)式化成最小項之和的形式。②畫卡諾圖：凡式中包含的最小項，其對應方格填1，其余方格填0。③合并最小項：劃包圍圈并寫成一個新的乘積項。④寫出最簡與或表達式：將所有包圍圈對應的乘積項相加。

畫包圍圈時應遵循的原則：①圈內方格數(shù)必須是2n個，n=0,1,2,…②相鄰方格包括上下底相鄰、左右邊相鄰和四角相鄰。③同一方格可以被重用，但重用時新圈中一定要有新成員加入，否則新圈就是多余的。④每個圈內的方格數(shù)盡可能多，圈的總個數(shù)盡可能少。注意:包圍圈的圈法可能不惟一，因此化簡結果也可能不惟一。例如：一般的邏輯表達式填入：

先將函數(shù)變換為與或表達式（不必變換為最小項之和的形式），然后在卡諾圖上與每一個乘積項所包含的那些最小項（該乘積項就是這些最小項的公因子）相對應的方格內填入1，其余的方格內填入0。例：解：變換為與或表達式由上面變換的結果說明：如果求得了函數(shù)Ｙ的反函數(shù)Ｙ，則對Ｙ中所包含的各個最小項，在卡諾圖相應方格內填入0，其余方格內填入1。填寫卡諾圖如下：ＡＤ的公因子ＢＣ的公因子邏輯表達式或真值表卡諾圖11例：用卡諾圖將下式化簡為最簡與或式形式。①圈越大越好，但每個圈中標１的方格數(shù)目必須為個。ＢＤＣＤＡＣＤ冗余項22③不能漏掉任何一個標１的方格。第7章合并最小項②同一個方格可同時畫在幾個圈內，但每個圈都要有新的方格，否則它就是多余的。最簡與或表達式33將代表每個圈的乘積項相加兩點說明：①在有些情況下，最小項的圈法不只一種，得到的各個乘積項組成的與或表達式各不相同，哪個是最簡的，要經過比較、檢查才能確定。ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ不是最簡ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ最簡②在有些情況下，不同圈法得到的與或表達式都是最簡形式。即一個函數(shù)的最簡與或表達式不是唯一的。ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤP1267.10無關項在化簡中的應用

無關項的定義：函數(shù)可以隨意取值（可以為0，也可以為1）或不會出現(xiàn)的變量取值所對應的最小項稱為無關項，也叫做約束項或任意項。

合理利用無關項：在邏輯函數(shù)的化簡中，隨意項的取值可視具體情況取0或取1。具體地講，如果隨意項對化簡有利，則取1；如果隨意項對化簡不利，則取0。例如：

要求設計一個邏輯電路，判斷一位十進制數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，當十進制數(shù)為奇數(shù)時，電路輸出為0，當十進制數(shù)為偶數(shù)時，電路輸出為1。不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)說明×

11110

0111×

11101

0110×11010

0101×

11001

0100×

10110

0011×10101

00100

10010

00011

10001

0000Y

ABCDY

ABCD第7章

輸入變量A，B，C，D取值為0000～1001時，邏輯函數(shù)Y有確定的值，根據(jù)題意，偶數(shù)時為1，奇數(shù)時為0。第7章不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)說明×

11110

0111×

11101

0110×11010

0101×

11001