R語言相關(guān)應(yīng)用

概率論復(fù)習(xí)及R相關(guān)引言

在我們所生活的世界上，

充滿了不確定性

扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單游戲

將不確定性數(shù)量化，20世紀(jì)初葉才開始的.

世間萬物的繁衍生息；大自然的千變?nèi)f化……，面臨著不確定性和隨機(jī)性.

已經(jīng)給人類活動(dòng)的一切領(lǐng)域帶來了一場革命.隨機(jī)現(xiàn)象是不是沒有規(guī)律可言?

多次重復(fù)拋一枚硬幣，正面朝上的次數(shù)大致一半；

測量一物體的長度，由于儀器及觀察受到的環(huán)境的影響，每次測量的結(jié)果可能是有差異的.但多次測量結(jié)果的平均值隨著測量次數(shù)的增加逐漸穩(wěn)定于一常數(shù).在一定條件下對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量觀測會(huì)發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性.數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究怎樣有效地收集、整理和分析帶有隨機(jī)性質(zhì)的數(shù)據(jù)，以對(duì)所觀測的問題作出推斷和預(yù)測概率論研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

概率論的起源賭博

概率論的發(fā)展測度概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用和滲透本學(xué)科的應(yīng)用幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)部門中.1.氣象、水文、地震預(yù)報(bào)、人口控制及預(yù)測產(chǎn)品的抽樣驗(yàn)收，新研制的藥品能否應(yīng)用3.尋求最佳生產(chǎn)方案購物排隊(duì)、紅綠燈轉(zhuǎn)換等，都可用一類概率模型來描述，其涉及到的知識(shí)就是排隊(duì)論.目前，概率統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)入其他自然科學(xué)領(lǐng)域的趨勢還在不斷發(fā)展.在社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，特別是經(jīng)濟(jì)學(xué)中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定增長等問題，都大量采用概率統(tǒng)計(jì)方法.正如法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯所說:“生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問題.”機(jī)器維修、病人候診、存貨控制、水庫調(diào)度、第一章

隨機(jī)事件與概率§1.1樣本空間與隨機(jī)事件一.隨機(jī)試驗(yàn):對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行一次觀察和實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)實(shí)驗(yàn)簡稱為實(shí)驗(yàn)，用E表示實(shí)驗(yàn)E的所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合，稱為E的樣本空間，用S表示定義

滿足某些條件的可能結(jié)果所組成的集合,稱為隨機(jī)事件。隨機(jī)事件用大寫字母A，B，C表示.在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的含義是，當(dāng)且僅當(dāng)A中一個(gè)樣本點(diǎn)(或基本事件)發(fā)生（或出現(xiàn)）。事件A發(fā)生也稱為事件A出現(xiàn)事件的發(fā)生2.隨機(jī)事件其中T1,T2分別是該地區(qū)的最低與最高溫度觀察某地區(qū)每天的最高溫度與最低溫度觀察總機(jī)每天9:00~10:00接到的電話次數(shù)有限樣本空間無限樣本空間投一枚硬幣3次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)例

給出一組隨機(jī)試驗(yàn)及相應(yīng)的樣本空間一.古典概率

§1-2事件的概率（Probability）

1．古典概型定義1

若隨機(jī)試驗(yàn)滿足下述兩個(gè)條件：

(1)它的樣本空間只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)；

(2)每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同.

稱這種試驗(yàn)為有窮等可能隨機(jī)試驗(yàn)或古典概型.

這樣就把求概率問題轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問題.定義2設(shè)試驗(yàn)E是古典概型,其樣本空間S由n個(gè)樣本點(diǎn)組成,事件A由k個(gè)樣本點(diǎn)組成.則定義事件A的概率為：稱此概率為古典概率.這種確定概率的方法稱為古典方法.

A包含的樣本點(diǎn)數(shù)

P(A)＝k/n＝

S中的樣本點(diǎn)總數(shù)排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具

.二.幾何概率1.定義

向任一可度量區(qū)域G內(nèi)投一點(diǎn)，如果所投的點(diǎn)落在G中任意可度量區(qū)域g內(nèi)的可能性與g的度量成正比，而與g的位置和形狀無關(guān)，則稱這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)為幾何型隨機(jī)試驗(yàn)。或簡稱為幾何概型。2.概率計(jì)算

1.

P(A)=[A的度量]/[S的度量]兩人約定于12點(diǎn)到1點(diǎn)到某地會(huì)面，先到者等20分鐘后離去，試求兩人能會(huì)面的概率？

例1:解：設(shè)x,y分別為甲、乙到達(dá)時(shí)刻(分鐘)令A(yù)={兩人能會(huì)面}={(x,y)||x-y|≤20，x≤60,y≤60}P(A)=A的面積/S的面積=（602-402）/602=5/9三.概率的頻率定義例2：從同一型號(hào)同一批次的反坦克彈中任抽一發(fā)反坦克彈射擊目標(biāo)，觀測命中情況。設(shè)A代表“命中”這一事件，求P(A)?1事件的頻率

在一組不變的條件下，重復(fù)作n次試驗(yàn)，記m是n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)。頻率f=m/n2.頻率的穩(wěn)定性擲一枚均勻硬幣，記錄前400次擲硬幣試驗(yàn)中頻率P*的波動(dòng)情況。

（正面出現(xiàn)頻率的趨勢，橫軸為對(duì)數(shù)尺度）3．概率的頻率定義

在一組不變的條件下，重復(fù)作n次試驗(yàn)，記m是n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，如果頻率m/n穩(wěn)定地在某數(shù)值p附近擺動(dòng)，而且一般地說，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，這種擺動(dòng)的幅度越來越小，稱數(shù)值p為事件A在這一組不變的條件下發(fā)生的概率，記作P(A)=p.意義:(1)

提供了估計(jì)概率的方法;(2)提供了一種檢驗(yàn)理論正確與否的準(zhǔn)則.

設(shè)A、B為兩事件,P(A)>0,則稱

為事件

A

發(fā)生的條件下事件

B

發(fā)生的條件概率，記為定義

設(shè)試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為n，事件A所包含的基本事件總數(shù)為m，事件AB所包含的基本事件總數(shù)為k?！?.3條件概率

利用條件概率求積事件的概率即乘法公式推廣乘法公式

某廠生產(chǎn)的燈泡能用1000小時(shí)的概率為0.8,能用1500小時(shí)的概率為0.4,求已用1000小時(shí)的燈泡能用到1500小時(shí)的概率解

令A(yù)

燈泡能用到1000小時(shí)

B

燈泡能用到1500小時(shí)所求概率為例3

三．全概率公式

定義

若事件組B1,…Bn,滿足：

（1）B1,…Bn互不相容且P(Bi)>0，i=1,…,n

（2）事件B1,…Bn,為樣本空間的一個(gè)劃分則對(duì)任何事件A，均有上式稱為全概率公式

則稱事件B1,…Bn,為樣本空間的一個(gè)劃分定理Bayes公式全概率公式§1.4事件的獨(dú)立性例已知袋中有5只紅球,3只白球.從袋中有放回地取球兩次，設(shè)第i次取得白球?yàn)榍笫录嗀i(i=1,2).解一．事件的獨(dú)立性事件

A1

發(fā)生與否對(duì)A2

發(fā)生的概率沒有影響定義設(shè)A,B為兩事件，若則稱事件A

與事件B

相互獨(dú)立

可視為事件A1與A2相互獨(dú)立

四對(duì)事件任何一對(duì)相互獨(dú)立,則其它三對(duì)也相互獨(dú)立試證其一事實(shí)上第一章復(fù)習(xí)要點(diǎn)隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間隨機(jī)事件基本事件頻率概率古典概型A的對(duì)立事件及其概率互不相容事件的和事件的概率加法公式條件概率概率的乘法公式全概率公式貝葉斯公式事件的獨(dú)立性n重貝努利試驗(yàn)隨機(jī)變量離散型連續(xù)型分布函數(shù)性質(zhì)分布率表示方法兩者聯(lián)系兩點(diǎn)二項(xiàng)兩者聯(lián)系泊松密度函數(shù)兩者聯(lián)系均勻指數(shù)正態(tài)密度圖形N(,2)參數(shù)意義N(0,1)隨機(jī)變量的函數(shù)公式方法一般方法正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)化第二章復(fù)習(xí)提綱第二章隨機(jī)變量及其分布

為了更好的揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律，引入隨機(jī)變量來描述隨機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果例電話總機(jī)某段時(shí)間內(nèi)接到的電話次數(shù)，可用一個(gè)變量X

來描述例

拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果，也可以用一個(gè)變量來描述

有了隨機(jī)變量,隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來.

二、引入隨機(jī)變量的意義

如：單位時(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量.

事件{收到不少于1次呼叫}{X1}{沒有收到呼叫}{X=0}§2.1隨機(jī)變量的概念定義設(shè)E是一隨機(jī)試驗(yàn)，S

是它的樣本空間，則稱S

上的單值實(shí)值函數(shù)X()為隨機(jī)變量隨機(jī)變量一般用X,Y,Z,或小寫希臘字母,,表示若

隨機(jī)變量的概念如，若用X

表示電話總機(jī)在9:00~10:00接到的電話次數(shù)，或——表示“某天9:00~10:00接到的電話次數(shù)超過100次”這一事件則例如，要研究某地區(qū)兒童的發(fā)育情況，往往需要多個(gè)指標(biāo)，例如，身高、體重、頭圍等S={兒童的發(fā)育情況}X()—身高Y()—體重Z()—頭圍各隨機(jī)變量之間可能有一定的關(guān)系，也可能沒有關(guān)系——即相互獨(dú)立隨機(jī)變量的分類離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量—其中一種重要的類型為

連續(xù)性隨機(jī)變量定義了一個(gè)x的實(shí)值函數(shù)，稱為隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)，記為F(x),即定義設(shè)X為隨機(jī)變量,對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)x,隨機(jī)事件的概率隨機(jī)變量的分布函數(shù)§2.2離散型隨機(jī)變量及其概率分布定義若隨機(jī)變量X

的可能取值是有限多個(gè)或無窮可列多個(gè)，則稱X

為離散型隨機(jī)變量描述離散型隨機(jī)變量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即概率分布的性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的概念

非負(fù)性

規(guī)范性

F(x)是分段階梯函數(shù)，在X

的可能取值

xk處發(fā)生間斷，間斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn)，在間斷點(diǎn)處有躍度

pk離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)(1)0–1分布X=xk

10Pkp1-p0<p<

1注其分布律可寫成

常見的離散型隨機(jī)變量的分布

凡是隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果，應(yīng)用場合常用0–1分布描述，如產(chǎn)品是否格、人口性別統(tǒng)計(jì)、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超負(fù)荷等等.(2)二項(xiàng)分布背景：n

重Bernoulli試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)感興趣的事件A

在n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)——X是一離散型隨機(jī)變量若P(A)=p,則稱X服從參數(shù)為n,p

的二項(xiàng)分布，記作0–1分布是n=1的二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的取值情況設(shè).039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273?由圖表可見,當(dāng)時(shí)，分布取得最大值此時(shí)的稱為最可能成功次數(shù)xP?0?1?2?3?4?5?6?7?8R軟件中的統(tǒng)計(jì)計(jì)算

一、統(tǒng)計(jì)分布

每一種分布有四個(gè)函數(shù)：

d―density（密度函數(shù)），p―分布函數(shù)，

q―分位數(shù)函數(shù)，r―隨機(jī)數(shù)函數(shù)。比如，正態(tài)分布dnorm，pnorm，qnorm，rnorm下列各分布前面加前綴d、p、q或r就構(gòu)成函數(shù)名：

norm：正態(tài)，t：t分布，f：F分布，chisq：卡方（包括非中心）unif：均勻，

binom：二項(xiàng)分布，統(tǒng)計(jì)計(jì)算一、統(tǒng)計(jì)分布

下列各分布前面加前綴d、p、q或r就構(gòu)成函數(shù)名：exp：指數(shù)，weibull：威布爾，gamma：伽瑪，beta：貝塔lnorm：對(duì)數(shù)正態(tài)，logis：邏輯分布，cauchy：柯西，binom：二項(xiàng)分布，geom：幾何分布，hyper：超幾何，nbinom：負(fù)二項(xiàng)，pois：泊松signrank：符號(hào)秩，wilcox：秩和，tukey：學(xué)生化極差Binomialpackage:statsRDocumentationTheBinomialDistributionDescription:Density,distributionfunction,quantilefunctionandrandomgenerationforthebinomialdistributionwithparameters'size'and'prob'.查詢的函數(shù)dbinom、pbinom、qbinom、rbinom幫助信息，并用幫助文件中的案例進(jìn)一步學(xué)習(xí).Usage:

dbinom(x,size,prob,log=FALSE)pbinom(q,size,prob,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)qbinom(p,size,prob,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)rbinom(n,size,prob)Arguments:

x,q:vectorofquantiles.p:vectorofprobabilities.n:numberofobservations.If'length(n)>1',thelengthistakentobethenumberrequired.size:b:probabilityofsuccessoneachtrial.log,log.p:logical;ifTRUE,probabilitiesparegivenaslog(p).lower.tail:logical;ifTRUE(default),probabilitiesareP[X<=x],otherwise,P[X>x].Details:

Thebinomialdistributionwith'size'=nand'prob'=phasdensityp(x)=choose(n,x)p^x(1-p)^(n-x)forx=0,...,n.Ifanelementof'x'isnotinteger,theresultof'dbinom'iszero,withawarning.p(x)iscomputedusingLoader'salgorithm,seethereferencebelow.ThequantileisdefinedasthesmallestvaluexsuchthatF(x)>=p,whereFisthedistributionfunction.Value:'dbinom'givesthedensity,'pbinom'givesthedistributionfunction,'qbinom'givesthequantilefunctionand'rbinom'generatesrandomdeviates.If'size'isnotaninteger,'NaN'isreturned.結(jié)果：ans=0.0020y=0.01150.05760.13690.20540.21820.17460.10910.05450.02220.00740.00200.00050.00010.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000輸入以下命令：dbinom(k，n，p)例4：

求服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量Y分布率的值輸入以下命令：>dbinom(10,20,0.2)>x=0:20;>y=dbinom(x,20,0.2)>y設(shè).01.06.02.01.002<.00101234567891011~20??xP?????1?3?5?7?9????0?2?4?6?8?10?20由圖表可見,當(dāng)時(shí)，分布取得最大值0.22?輸入以下命令：dbinom(0,8,1/3)dbinom(1,8,1/3)x=0:8;y=dbinom(x,8,1/3)y例5：

求服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X分布率的值

結(jié)果：ans=0.0390ans=0.1561y=0.03900.15610.27310.27310.17070.06830.01710.00240.0002設(shè)命令：p=dbinom(x,n,p)解

(1)設(shè)需要配備N

個(gè)維修工人,設(shè)X

為90臺(tái)設(shè)備中發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則X~B(90,0.01)

設(shè)有同類型設(shè)備90臺(tái)，每臺(tái)工作相互獨(dú)立，每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01.

在通常情況下，一臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障可由一個(gè)人獨(dú)立維修，每人同時(shí)也只能維修一臺(tái)設(shè)備.

問至少要配備多少維修工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?(2)問3個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺(tái)還是3個(gè)人各自獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率低？例6令則查表2可得N=4dbinom(0,90,0.01)=0.4047dbinom(1,90,0.01)=0.3679dbinom(2,90,0.01)=0.1654dbinom(3,90,0.01)=0.0490dbinom(4,90,0.01)=0.0108三個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率為設(shè)30臺(tái)設(shè)備中發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)為

Y~B(30,0.01)設(shè)每個(gè)人獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備，第i個(gè)人負(fù)責(zé)的

30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修為事件Ai

則三個(gè)人各獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修為事件故

三個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備比各自負(fù)責(zé)好！(3)Poisson分布或或若其中是常數(shù)，則稱

X服從參數(shù)為的Poisson分布，記作在一定時(shí)間間隔內(nèi)：一匹布上的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)；大賣場的顧客數(shù)；應(yīng)用場合電話總機(jī)接到的電話次數(shù)；一個(gè)容器中的細(xì)菌數(shù)；放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；一本書中每頁印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)；某一地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù)

都可以看作是源源不斷出現(xiàn)的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流,

若它們滿足一定的條件，則稱為Poisson流,在長為

t

的時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)Xt~P(t)市級(jí)醫(yī)院急診病人數(shù)；等等命令：p=dpois(k,)Usage:dpois(x,lambda,log=FALSE)ppois(q,lambda,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)qpois(p,lambda,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)rpois(n,lambda)Arguments:x:vectorof(non-negativeinteger)quantiles.q:vectorofquantiles.p:vectorofprobabilities.n:numberofrandomvaluestoreturn.lambda:vectorofpositivemeans.log,log.p:logical;ifTRUE,probabilitiesparegivenaslog(p).lower.tail:logical;ifTRUE(default),probabilitiesareP[X<=x],otherwise,P[X>x].例7三個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率為dpois(0,0.9)+dpois(1,0.9)+dpois(2,0.9)+dpois(3,0.9)=0.9865

F(x)是分段階梯函數(shù)，在X

的可能取值

xk處發(fā)生間斷，間斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn)，在間斷點(diǎn)處有躍度

pk離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)輸入以下命令：pbinom(10,20,0.2)x=0:20;y=pbinom(x,20,0.2)yz=qbinom(y,20,0.2)z結(jié)果：ans=0.9994y=0.01150.06920.20610.41140.62960.80420.91330.96790.99000.99740.99940.99991.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000例8：

求服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X分布函數(shù)的值例9

離散均勻分布的分布函數(shù)和累積函數(shù)的值x=1:10;y=1/10y結(jié)果：y=0.10000.10000.10000.10000.10000.10000.10000.10000.10000.1000x=0:10y=x/10y結(jié)果：y=00.10000.20000.30000.40000.50000.60000.70000.80000.90001.0000

對(duì)于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的概率函數(shù),也就知道了該隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.在這個(gè)意義上，我們說

我們介紹了離散型隨機(jī)變量及其概率分布.離散型隨機(jī)變量由它的概率函數(shù)唯一確定.§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量定義設(shè)

X

是一隨機(jī)變量，若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)

f(x),使得其中F(x)是它的分布函數(shù)則稱X

是連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)是它的概率密度函數(shù)(p.d.f.

)，簡稱為密度函數(shù)或概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的概念xf(x)xF(x)分布函數(shù)F(x)與密度函數(shù)f(x)的幾何意義p.d.f.f(x)的性質(zhì)

常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù)

在f(x)

的連續(xù)點(diǎn)處，f(x)描述了X在

x

附近單位長度的區(qū)間內(nèi)取值的概率注意:對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X,P(X=a)=0這里a

可以是隨機(jī)變量

X

的一個(gè)可能的取值命題連續(xù)型隨機(jī)變量取任一常數(shù)的概率為零對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量Xbxf(x)axf(x)a概率分布的上側(cè)分位數(shù)設(shè)隨機(jī)變量x的密度函數(shù)為f(x),對(duì)給定的定義xf(x)o概率分布的下側(cè)分位數(shù)設(shè)隨機(jī)變量x的密度函數(shù)為f(x),對(duì)給定的定義xf(x)o(1)均勻分布(a,b)上的均勻分布記作常見的連續(xù)性隨機(jī)變量的分布若X

的密度函數(shù)為，則稱X

服從區(qū)間其中X

的分布函數(shù)為xf(x)abxF(x)ba即X

的取值在(a,b)內(nèi)任何長為

d–c的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關(guān),只與其長度成正比.這正是幾何概型的情形.在進(jìn)行大量數(shù)值計(jì)算時(shí)，如果在小數(shù)點(diǎn)后第

k

位進(jìn)行四舍五入，則產(chǎn)生的誤差可以看作服從應(yīng)用場合Uniform{stats}RDocumentationTheUniformDistributionDescriptionThesefunctionsprovideinformationabouttheuniformdistributionontheintervalfrommintomax.dunifgivesthedensity,punifgivesthedistributionfunctionqunifgivesthequantilefunctionandrunifgeneratesrandomdeviates.Usagedunif(x,min=0,max=1,log=FALSE)punif(q,min=0,max=1,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)qunif(p,min=0,max=1,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)runif(n,min=0,max=1)Argumentsx,qvectorofquantiles.pvectorofprobabilities.nnumberofobservations.Iflength(n)>1,thelengthistakentobethenumberrequired.min,maxlowerandupperlimitsofthedistribution.log,log.plogical;ifTRUE,probabilitiesparegivenaslog(p).lower.taillogical;ifTRUE(default),probabilitiesareP[X<=x],otherwise,P[X>x].輸入以下命令：colors()x=seq(0,7,0.01)y=dunif(x,2,5)z=punif(x,2,5)plot(x,z,type='l',col='Blue')lines(x,y,type='l',col='Red')密度函數(shù)：f=dunif(x,a,b)分布函數(shù)：F=punif(x,a,b)(2)指數(shù)分布若X

的密度函數(shù)為則稱X

服從

參數(shù)為的指數(shù)分布記作X

的分布函數(shù)為>0為常數(shù)1xF(x)0xf(x)0對(duì)于任意的0<a<b,應(yīng)用場合用指數(shù)分布描述的實(shí)例有：隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間電話問題中的通話時(shí)間無線電元件的壽命動(dòng)物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似輸入以下命令：x=seq(0,5,0.5);y=dexp(x,2);z=pexp(x,2);plot(x,z,type='l',col='Blue');lines(x,y,type='l',col='Red');result=pexp(6,2)-pexp(1,2)密度函數(shù)：f=dexp(x,λ)分布函數(shù)：F=pexp(x,

λ)TheExponentialDistributionDescription:Density,distributionfunction,quantilefunctionandrandomgenerationfortheexponentialdistributionwithrate'rate'(i.e.,mean'1/rate').Usage:dexp(x,rate=1,log=FALSE)pexp(q,rate=1,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)qexp(p,rate=1,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)rexp(n,rate=1)Arguments:x,q:vectorofquantiles.p:vectorofprobabilities.n:numberofobservations.If'length(n)>1',thelengthistakentobethenumberrequired.rate:vectorofrates.log,log.p:logical;ifTRUE,probabilitiesparegivenaslog(p).lower.tail:logical;ifTRUE(default),probabilitiesareP[X<=x],otherwise,P[X>x].結(jié)果：Result=

0.1353291輸入以下命令：x=seq(0,5,0.1);y=dexp(x,2);z=pexp(x,2);plot(x,z,type='l',col='Blue');lines(x,y,type='l',col='Red');result1=pexp(5,1)-pexp(0,1);result2=pexp(20,1)-pexp(0,1);結(jié)果：result1=

0.993262result2=1.0000(3)正態(tài)分布若X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布記作X~N(,2)為常數(shù)，N(-3,1.2)f(x)的性質(zhì)：

圖形關(guān)于直線x=

對(duì)稱：f(+x)=f(-x)在x=

時(shí),f(x)取得最大值在x=±

時(shí),曲線

y=f(x)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處有拐點(diǎn)曲線

y=f(x)以x軸為漸近線曲線

y=f(x)的圖形呈單峰狀f(x)的兩個(gè)參數(shù)：—位置參數(shù)即固定,對(duì)于不同的,對(duì)應(yīng)的f(x)的形狀不變化，只是位置不同—形狀參數(shù)固定，對(duì)于不同的，f(x)的形狀不同.若1<2

則比x=2所對(duì)應(yīng)的拐點(diǎn)更靠近直線x=附近值的概率更大.x=1所對(duì)應(yīng)的拐點(diǎn)前者取大小應(yīng)用場合

若隨機(jī)變量X受到眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，而每一個(gè)別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加,則X服從正態(tài)分布.可用正態(tài)變量描述的實(shí)例非常之多：各種測量的誤差；人的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線的抗拉強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生們的考試成績；一種重要的正態(tài)分布：N(0,1)—標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布它的分布函數(shù)記為(x)，其值有專門的表可查(x)

是偶函數(shù)，其圖形關(guān)于縱軸對(duì)稱-xx對(duì)一般的正態(tài)分布：X~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換例13

設(shè)X~N(1,4),求P(0X1.6)解查表可得Usage

dnorm(x,mean=0,sd=1,log=FALSE)pnorm(q,mean=0,sd=1,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)qnorm(p,mean=0,sd=1,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)rnorm(n,mean=0,sd=1)Arguments

x,q:vectorofquantiles.p:vectorofprobabilities.n:numberofobservations.If'length(n)>1',thelengthistakentobethenumberrequired.mean:vectorofmeans.sd:vectorofstandarddeviations.log,log.p:logical;ifTRUE,probabilitiesparegivenaslog(p).lower.tail:logical;ifTRUE(default),probabilitiesareP[X<=x],otherwise,P[X>x].輸入以下命令：x=seq(-10,10,0.1);y=dnorm(x,1,2);z=pnorm(x,1,2);plot(x,z,type='l',col='Blue');lines(x,y,type='l',col='Red');result=pnorm(6,1,2)-pnorm(1,1,2)結(jié)果：Result=

0.4937903在R中輸入以下命令：x=seq(-5,5,0.1);y=dnorm(x,-1,1);z=pnorm(x,-1,1);plot(x,z,type='l',col='Blue');lines(x,y,type='l',col='Red');result=pnorm(3,-1,1)-pnorm(-2,-1,1)結(jié)果：Result=0.841313§2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題：已知隨機(jī)變量X的概率特性——分布函數(shù)或密度函數(shù)（分布律）Y=g(X)求

隨機(jī)因變量Y

的概率特性方法：將與Y

有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成X

的事件§2.4設(shè)隨機(jī)變量X

的分布律為由已知函數(shù)g(x)可求出隨機(jī)變量Y的所有可能取值，則Y

的概率分布為離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布已知隨機(jī)變量

X

的密度函數(shù)f(x)(或分布函數(shù))求Y=g(X)的密度函數(shù)或分布函數(shù)方法：（1）從分布函數(shù)出發(fā)（2）從密度函數(shù)出發(fā)

連續(xù)性隨機(jī)變量函數(shù)的分布例

已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),證明Y=F(X)服從[0,1]上的均勻分布.又由于X的分布函數(shù)F是嚴(yán)格遞增的連續(xù)函數(shù),其反函數(shù)F-1

存在且嚴(yán)格遞增.證明:設(shè)Y的分布函數(shù)是G(y),于是對(duì)y>1,G(y)=1;對(duì)y<0,G(y)=0;由于對(duì)0≤y≤1,G(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)=P(X≤(y))=F((y))=y即Y的分布函數(shù)是求導(dǎo)得Y的密度函數(shù)可見,Y服從[0，1]上的均勻分布.本例的結(jié)論在計(jì)算機(jī)模擬中有重要的應(yīng)用.即：已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),若U服從[0,1]上的均勻分布，則Y=F-1(U)服從分布函數(shù)F(x)的隨機(jī)變量.注意：連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù)例如：X~U(0,2)令

Y=g(X)xy1FY(y)不是連續(xù)函數(shù)

對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，在求Y=g(X)的分布時(shí)，關(guān)鍵的一步是把事件{g(X)≤y}轉(zhuǎn)化為X在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而可以利用X

的分布來求P{g(X)≤y}.這一講我們介紹了隨機(jī)變量函數(shù)的分布.作業(yè)：要求：需給出程序、結(jié)果，存成word文檔發(fā)送到52用戶名：r

密碼：123456莖葉圖

(stem-and-leafdisplay)用于顯示未分組的原始數(shù)據(jù)的分布由“莖”和“葉”兩部分構(gòu)成，其圖形是由數(shù)字組成的以該組數(shù)據(jù)的高位數(shù)值作樹莖，低位數(shù)字作樹葉樹葉上只保留一位數(shù)字對(duì)于n(20n300)個(gè)數(shù)據(jù)，莖葉圖最大行數(shù)不超過

L=[10×lgn]

6.

莖葉圖類似于橫置的直方圖，但又有區(qū)別直方圖可觀察一組數(shù)據(jù)的分布狀況，但沒有給出具體的數(shù)值莖葉圖既能給出數(shù)據(jù)的分布狀況，又能給出每一個(gè)原始數(shù)值，保留了原始數(shù)據(jù)的信息未分組數(shù)據(jù)—莖葉圖

(例題分析)未分組數(shù)據(jù)—莖葉圖

(擴(kuò)展的莖