第九章三向應(yīng)力狀態(tài)(6,7,8)

§9-6空間應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能單元體應(yīng)變能（應(yīng)變能密度）——單位體積的應(yīng)變能2、單元體變形功：dydxdz3、單元體應(yīng)變比能dW變形比能=體積改變比能+形狀改變比能CL10TU41[9-18]求證證明：一、強(qiáng)度理論的概念1.引言軸向拉壓彎曲剪切扭轉(zhuǎn)彎曲

切應(yīng)力強(qiáng)度條件

正應(yīng)力強(qiáng)度條件§9-7強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力

（2）材料的許用應(yīng)力,是通過(guò)拉（壓）試驗(yàn)或純剪試驗(yàn)測(cè)定試件在破壞時(shí)其橫截面上的極限應(yīng)力,以此極限應(yīng)力作為強(qiáng)度指標(biāo),除以適當(dāng)?shù)陌踩驍?shù)而得,即根據(jù)直接的試驗(yàn)結(jié)果建立的強(qiáng)度條件.

上述強(qiáng)度條件具有如下特點(diǎn)

（1）正應(yīng)力和切應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)分別處于單向應(yīng)力狀態(tài)或純剪切應(yīng)力狀態(tài);

但是對(duì)于材料在一般平面應(yīng)力狀態(tài)下以及三向應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度，則由于不等于零的主應(yīng)力可以有多種多樣的組合，所以材料破壞的極限應(yīng)力無(wú)法通過(guò)試驗(yàn)加以測(cè)定。因而需要通過(guò)對(duì)材料破壞現(xiàn)象的觀察和分析尋求材料強(qiáng)度破壞的規(guī)律，提出關(guān)于材料發(fā)生強(qiáng)度破壞的起決定作用的主要因素，從而得到材料破壞由主要因素引起的假說(shuō)──強(qiáng)度理論，例如利用單向拉伸試驗(yàn)測(cè)得的強(qiáng)度的一些結(jié)果為主要因素，來(lái)推斷復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的強(qiáng)度。

（1）脆性斷裂:無(wú)明顯的變形下突然斷裂.二、材料破壞的兩種類型（常溫、靜載荷）屈服失效

材料出現(xiàn)顯著的塑性變形而喪失其正常的工作能力.2.斷裂失效

（2）韌性斷裂:產(chǎn)生大量塑性變形后斷裂.引起破壞的主要因素形狀改變比能最大切應(yīng)力最大線應(yīng)變最大正應(yīng)力工程中常用的強(qiáng)度理論按上述兩種破壞類型分為Ⅰ.研究脆性斷裂力學(xué)因素的第一類強(qiáng)度理論，其中包括最大拉應(yīng)力理論和最大拉應(yīng)變理論；Ⅱ.研究塑性屈服力學(xué)因素的第二類強(qiáng)度理論，其中包括最大切應(yīng)力理論和形狀改變能密度理論。(1)最大拉應(yīng)力理論(第一強(qiáng)度理論)：這個(gè)理論認(rèn)為引起材料脆性斷裂破壞的主要因素是最大拉應(yīng)力，無(wú)論在什么應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力中的拉伸主應(yīng)力s1達(dá)到該材料在單軸拉伸試驗(yàn)的極限應(yīng)力su，材料就發(fā)生脆性斷裂破壞?？梢?，第一強(qiáng)度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)為而相應(yīng)的強(qiáng)度條件則是其中，[s]為對(duì)應(yīng)于脆性斷裂的許用拉應(yīng)力，[s]＝su/n，而n為安全因數(shù)。三、幾個(gè)主要的強(qiáng)度理論

試驗(yàn)證明，這一理論與鑄鐵、巖石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉斷試驗(yàn)結(jié)果相符，這些材料在軸向拉伸時(shí)的斷裂破壞發(fā)生于拉應(yīng)力最大的橫截面上。脆性材料的扭轉(zhuǎn)破壞，也是沿拉應(yīng)力最大的斜面發(fā)生斷裂，這些都與最大拉應(yīng)力理論相符，但這個(gè)理論沒有考慮其它兩個(gè)主應(yīng)力的影響；此外，它對(duì)某一點(diǎn)所取的單元體在任何截面上都沒有拉應(yīng)力的情況就不再適用。。

(2)最大拉應(yīng)變理論(第二強(qiáng)度理論)：這個(gè)理論認(rèn)為引起材料脆性斷裂破壞的主要因素是最大拉應(yīng)變，無(wú)論在什么應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)一點(diǎn)處的最大拉應(yīng)變e1達(dá)到該材料在單軸拉伸的極限拉應(yīng)變eu，材料就會(huì)發(fā)生脆性斷裂破壞。可見，第二強(qiáng)度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)為對(duì)應(yīng)于式中材料脆性斷裂的極限拉線應(yīng)變eu，如果是由單軸拉伸試驗(yàn)而發(fā)生脆性斷裂情況下測(cè)定的(例如對(duì)鑄鐵等脆性金屬材料)，那么eu＝su/E。

亦即而相應(yīng)的強(qiáng)度條件為按照這一理論，似乎材料在二軸拉伸或三軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下反而比單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下不易斷裂，而這與實(shí)際情況往往不符，故工程上應(yīng)用較少。則第二強(qiáng)度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)也可以便于運(yùn)用的如下應(yīng)力形式表達(dá)：煤、石料或砼等材料在軸向壓縮試驗(yàn)時(shí)，如端部無(wú)摩擦，試件將沿垂直于壓力的方向發(fā)生斷裂，這一方向就是最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變的方向，這與第二強(qiáng)度理論的結(jié)果相近。

(3)最大切應(yīng)力理論(第三強(qiáng)度理論)：

這個(gè)理論認(rèn)為引起材料屈服破壞的主要因素是最大切應(yīng)力，無(wú)論在什么應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)一點(diǎn)處的最大切應(yīng)力tmax達(dá)到該材料在軸向拉伸試驗(yàn)中屈服時(shí)最大切應(yīng)力的極限值tu時(shí)，材料就發(fā)生屈服破壞。第三強(qiáng)度理論的屈服判據(jù)為對(duì)于由單軸拉伸試驗(yàn)可測(cè)定屈服極限ss，從而有tu＝ss/2的材料（例如低碳鋼），上列屈服判據(jù)可寫為即而相應(yīng)的強(qiáng)度條件則為

(4)形狀改變比能理論(第四強(qiáng)度理論)：該理論認(rèn)為引起材料屈服破壞的主要因素是形狀改變比能，無(wú)論在什么應(yīng)力狀態(tài)下，只要一點(diǎn)處的形狀改變比能vd達(dá)到單向拉伸時(shí)使材料屈服的形狀改變比能vdu時(shí)，材料即會(huì)發(fā)生屈服破壞。

第三強(qiáng)度理論曾被許多塑性材料的試驗(yàn)結(jié)果所證實(shí)，且稍偏于安全。這個(gè)理論所提供的計(jì)算式比較簡(jiǎn)單，故它在工程設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。該理論沒有考慮中間主應(yīng)力σ2的影響，其帶來(lái)的最大誤差不超過(guò)15％，而在大多數(shù)情況下遠(yuǎn)比此為小。于是，第四強(qiáng)度理論的屈服判據(jù)為對(duì)于由單軸拉伸試驗(yàn)可測(cè)定屈服極限ss的材料，注意到試驗(yàn)中s1＝ss，s2＝s3＝0，而相應(yīng)的形狀改變能密度的極限值為故屈服判據(jù)可寫為此式中，s1、s2、s3是構(gòu)成危險(xiǎn)點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力，相應(yīng)的強(qiáng)度條件則為這個(gè)理論比第三強(qiáng)度理論更符合已有的一些平面應(yīng)力狀態(tài)下的試驗(yàn)結(jié)果，但在工程實(shí)踐中多半采用計(jì)算較為簡(jiǎn)便的第三強(qiáng)度理論。亦即(5)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力

上述四個(gè)強(qiáng)度理論所建立的強(qiáng)度條件可統(tǒng)一寫作如下形式：式中，sr是根據(jù)不同強(qiáng)度理論以危險(xiǎn)點(diǎn)處以主應(yīng)力表達(dá)的一個(gè)值，它相當(dāng)于單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下強(qiáng)度條件s≤[s]中的拉應(yīng)力s，通常稱sr為相當(dāng)應(yīng)力。表7-1示出了前述四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式。相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式強(qiáng)度理論名稱及類型第一類強(qiáng)度理論(脆性斷裂的理論)第二類強(qiáng)度理論(塑性屈服的理論)第一強(qiáng)度理論──最大拉應(yīng)力理論第二強(qiáng)度理論──最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論第三強(qiáng)度理論──最大切應(yīng)力理論第四強(qiáng)度理論──形狀改變能密度理論表7-1四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式

一般說(shuō)來(lái)，在常溫和靜載的條件下，脆性材料多發(fā)生脆性斷裂，故通常采用第一、第二強(qiáng)度理論；塑性材料多發(fā)生塑性屈服，故應(yīng)采用第三、第四強(qiáng)度理論。

影響材料的脆性和塑性的因素很多，例如低溫能提高脆性，高溫一般能提高塑性； 在高速動(dòng)載荷作用下脆性提高，在低速靜載荷作用下保持塑性。無(wú)論是塑性材料或脆性材料：

在三向拉應(yīng)力接近相等的情況下，都以斷裂的形式破壞，所以應(yīng)采用最大拉應(yīng)力理論；

在三向壓應(yīng)力接近相等的情況下，都可以引起塑性變形，所以應(yīng)該采用第三或第四強(qiáng)度理論。

一.適用范圍（Theappliancerange）

（2）塑性材料選用第三或第四強(qiáng)度理論;

（3）在二向和三向等拉應(yīng)力時(shí),無(wú)論是塑性還是脆性都發(fā)生脆性破壞,故選用第一或第二強(qiáng)度理論;

（1）一般脆性材料選用第一或第二強(qiáng)度理論;

（4）在二向和三向等壓應(yīng)力狀態(tài)時(shí),無(wú)論是塑性還是脆性材料都發(fā)生塑性破壞,故選用第三或第四強(qiáng)度理論.§9-8各種強(qiáng)度理論的適用范圍及其應(yīng)用二.強(qiáng)度計(jì)算的步驟（Stepsofstrengthcalculation）

（1）外力分析:確定所需的外力值;

（2）內(nèi)力分析:畫內(nèi)力圖,確定可能的危險(xiǎn)面;

（3）應(yīng)力分析:畫危面應(yīng)力分布圖,確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫出單元體,求主應(yīng)力;

（4）強(qiáng)度分析:選擇適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論,計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力,然后進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算.三.應(yīng)用舉例（Examples）例9-19已知：

和試寫出最大剪應(yīng)力理論和形狀改變比能理論的表達(dá)式。解：首先確定主應(yīng)力

3＝221

2＋42－2＋21

2＋421＝2＝0對(duì)于最大剪應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）r3=1-3=對(duì)于形狀改變比能理論（第四強(qiáng)度理論）r4=

2＋42=

2＋32注意：在解題時(shí)，可直接引用以上兩式，而不必推導(dǎo)。σ、τ是橫截面危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力。例9-20一蒸汽鍋爐承受最大壓強(qiáng)為p,圓筒部分的內(nèi)徑為D,厚度為d,且

d

遠(yuǎn)小于D.試用第四強(qiáng)度理論校核圓筒部分內(nèi)壁的強(qiáng)度.已知p=3.6MPa,d=10mm,D=1m,[]=160MPa.p（a）Dyzd（b）

內(nèi)壁的強(qiáng)度校核

所以圓筒內(nèi)壁的強(qiáng)度合適.

用第四強(qiáng)度理論校核圓筒內(nèi)壁的強(qiáng)度′

"

′

"

例9-21對(duì)于圖示各單元體,試分別按第三強(qiáng)度理論及第四強(qiáng)度理論求相當(dāng)應(yīng)力.

（b）

140MPa

110MPa（c）70MPa140MPa80MPa（d）50MPa70MPa30MPa40MPa120MPa（a）120MPa解：（1）單元體（a）

（2）單元體（b）120MPa（a）120MPa

140MPa

110MPa（3）單元體（c）（4）單元體（d）140MPa80MPa（c）70MPa（d）50MPa70MPa30MPa40MPaF解:危險(xiǎn)點(diǎn)A的應(yīng)力狀態(tài)如圖例9-22直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖,Me=7kN·m,F=50kN,材料為鑄鐵,[]=40MPa,試用第一強(qiáng)度理論校核桿的強(qiáng)度.故安全.FMeMeAA

例9-23薄壁圓筒受最大內(nèi)壓時(shí),測(cè)得x=1.8810-4,y=7.3710-4,已知鋼的E=210GPa,[]=170MPa,泊松比=0.3,試用第三強(qiáng)度理論校核其強(qiáng)度.解:由廣義胡克定律xyAAsxsy↓

所以,此容器不滿足第三強(qiáng)度理論,不安全.

主應(yīng)力

相當(dāng)應(yīng)力例9-24已知鑄鐵構(gòu)件上危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。鑄鐵拉伸許用應(yīng)力[]=30MPa。試校核該點(diǎn)的強(qiáng)度。解：首先根據(jù)材料和應(yīng)力狀態(tài)確定破壞形式，選擇強(qiáng)度理論。脆性斷裂，最大拉應(yīng)力理論max=1[]其次確定主應(yīng)力1＝29.28MPa,2＝3.72MPa,3＝0

max=1<[]=

30MPa結(jié)論：強(qiáng)度是安全的。例9-25填空題。冬天自來(lái)水管凍裂而管內(nèi)冰并未破裂，其原因是冰處于

應(yīng)力狀態(tài)，而水管處于

應(yīng)力狀態(tài)。三向壓二向拉石料在單向壓縮時(shí)會(huì)沿壓力作用方向的縱截面裂開，這與第

強(qiáng)度理論的論述基本一致。二例9-26在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下：用第三強(qiáng)度理論和第四強(qiáng)度理論得出塑性材料的許用剪應(yīng)力與許用拉應(yīng)力之比。解（1）純剪切應(yīng)力狀態(tài)下三個(gè)主應(yīng)力分別為第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為：由此得：剪切強(qiáng)度條件為：按第三強(qiáng)度理論可求得：（2）第四強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力：按第四強(qiáng)度理論可求得：由此得：剪切強(qiáng)度條件為：第四強(qiáng)度理論強(qiáng)度條件1、三向應(yīng)力狀態(tài)中，若三個(gè)主應(yīng)力都等于σ，材料的彈性模量和泊松比分別為E和μ，則三個(gè)主應(yīng)變?yōu)?/p>

。例9-27填空題。2、第三強(qiáng)度理論和第四強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力分別為σr3及σr4，對(duì)于純剪應(yīng)力狀態(tài)，恒有σr3／σr4＝＿＿＿。例9-27填空題。試校核圖a所示焊接工字梁的強(qiáng)度。已知：梁的橫截面對(duì)于中性軸z的慣性矩為

Iz=88×106mm4；半個(gè)橫截面對(duì)于中性軸z的靜矩為S*z,max=338×103mm3；梁的材料為Q235鋼，其許用應(yīng)力為[s]＝170MPa，[t]＝100MPa。y例9-28由FS和M圖可見，C偏左截面為危險(xiǎn)截面，其應(yīng)力分布如圖d所示，smax在橫截面的上、下邊緣處，tmax在中性軸處，a點(diǎn)處的sa、ta也比較大，且該點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)。該梁應(yīng)當(dāng)進(jìn)行正應(yīng)力校核、切應(yīng)力校核，還應(yīng)對(duì)a點(diǎn)用強(qiáng)度理論進(jìn)行校核。(b)(c)yza(e)sasmaxtmaxta(d)(a)例9-281.

按正應(yīng)力強(qiáng)度條件校核彎矩圖如圖c所示，可知最大彎矩為Mmax＝80kN·m。最大正應(yīng)力為故該梁滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。(c)例9-28y2.

按切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核此梁的剪力圖如圖b，最大剪力為FS,max=200kN。梁的所有橫截面上切應(yīng)力的最大值在AC段各橫截面上的中性軸處：它小于許用切應(yīng)力[t],滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件。(b)例9-28y3.用強(qiáng)度理論校核a點(diǎn)的強(qiáng)度a點(diǎn)的單元體如圖f所示，a點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為sataa(f)y例9-28由于梁的材料Q235鋼為塑性材料，故用第三或第四強(qiáng)度理論校核a點(diǎn)的強(qiáng)度。所以a點(diǎn)的強(qiáng)度也是安全的。例9-28

例9-29兩端簡(jiǎn)支的工字鋼梁承受荷載如圖a所示。已知材料（Q235鋼）的許用應(yīng)力為[]=170MPa和[]=100MPa。試按強(qiáng)度條件選擇工字鋼號(hào)碼。解：首先確定鋼梁的危險(xiǎn)截面。作出梁的剪力圖和彎矩圖如圖b和圖c所示，可見C、D截面為危險(xiǎn)截面，取C截面計(jì)算，其剪力和彎矩為：(b)

200kN200kNFS圖M圖(c)

84kN·m(a)

B0.42m2.50

mAC200kN200kN0.42m1.66mD先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面型號(hào)。因最大正應(yīng)力發(fā)生在C截面的上、下邊緣處，且為單向應(yīng)力狀態(tài)，由正應(yīng)力強(qiáng)度條件可得截面系數(shù)為：據(jù)此可選用28a號(hào)工字鋼，其截面系數(shù)為：再按切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。對(duì)28a號(hào)工字鋼，查表可得截面幾何性質(zhì)為：中性軸處的最大切應(yīng)力（純剪應(yīng)力狀態(tài)）為：可見，選用28a號(hào)工字鋼滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件，簡(jiǎn)化的截面形狀和尺寸以及應(yīng)力分布如圖d所示。(d)a12213.728013.78.5126.3126.3tmaxsmax利用圖d所示的截面簡(jiǎn)化尺寸和已有的Iz，可求得a點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為：以上分析僅考慮了最大正應(yīng)力和切應(yīng)力作用的位置，而對(duì)工字型截面腹板和翼緣交界處（圖d中的a點(diǎn)），正應(yīng)力和切應(yīng)力都較大，且處于平面應(yīng)力狀態(tài)（見圖e），因此還需對(duì)此進(jìn)行強(qiáng)度校核。sta(e)

sttt其中，Sz為橫截面的下緣面積對(duì)中性軸的靜矩，為：由前例可得，圖e所示應(yīng)力狀態(tài)的第四強(qiáng)度理論相當(dāng)應(yīng)力為：2.圖示平面應(yīng)力狀態(tài)為工程中常見的應(yīng)力狀態(tài)，其主應(yīng)力分別為將它們分別代入s