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山西省朔州市利民暖崖中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.在三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC=,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60°,則該三棱錐外接球的體積為(
)
A.
B.
C.
4
D.參考答案:D2.已知復(fù)數(shù)z=,則z﹣|z|對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案:B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出.【解答】解:∵復(fù)數(shù)z===,∴z﹣|z|=﹣=+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為第二象限.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.3.已知定義在上的函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),設(shè)在上的最大值為,且的前n項(xiàng)和為,則(
)A.
B.
C.
D.
參考答案:B4.對(duì)于函數(shù),若存在區(qū)間,使得,則稱區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間”.現(xiàn)有四個(gè)函數(shù)①;
②
;③
;④.其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有(
)
A.①②
B.②④
C.③④
D.②③參考答案:
D5.已知函數(shù),則函數(shù)的圖象可能是(
)參考答案:B6.已知函數(shù),其中.若對(duì)于任意的,且,都有成立,則a的取值范圍是(
)A.[1,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,1] D.(-∞,2]參考答案:D【分析】將不等式變形為:恒成立,構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí),恒成立,為了求的范圍,所以需要構(gòu)造函數(shù),可通過(guò)求導(dǎo)數(shù),根據(jù)單調(diào)性來(lái)求它的范圍.【詳解】解:對(duì)于任意的,且,都有成立,不等式等價(jià)為成立,令,則不等式等價(jià)為當(dāng)時(shí),恒成立,即函數(shù)在上為增函數(shù);,則在上恒成立;;即恒成立,令,;在上為增函數(shù);;;.的取值范圍是.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題,根據(jù)條件將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,多次構(gòu)造函數(shù),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),難度較大.7.已知橢圓+=1(a>b>0),以O(shè)為圓心,短半軸長(zhǎng)為半徑作圓O,過(guò)橢圓的長(zhǎng)軸的一端點(diǎn)P作圓O的兩條切線,切點(diǎn)為A、B,若四邊形PAOB為正方形,則橢圓的離心率為 A.
B.
C.
D.參考答案:C略8.函數(shù)f(x)=ln(x2+1)的圖象大致是()A. B. C. D.參考答案:A【考點(diǎn)】3O:函數(shù)的圖象.【分析】∵x2+1≥1,又y=lnx在(0,+∞)單調(diào)遞增,∴y=ln(x2+1)≥ln1=0,函數(shù)的圖象應(yīng)在x軸的上方,在令x取特殊值,選出答案.【解答】解:∵x2+1≥1,又y=lnx在(0,+∞)單調(diào)遞增,∴y=ln(x2+1)≥ln1=0,∴函數(shù)的圖象應(yīng)在x軸的上方,又f(0)=ln(0+1)=ln1=0,∴圖象過(guò)原點(diǎn),綜上只有A符合.故選:A9.下列說(shuō)法正確的是(
)A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面
B.兩條直線確定一個(gè)平面
C.過(guò)一條直線的平面有無(wú)數(shù)多個(gè)
D.兩個(gè)相交平面的交線是一條線段參考答案:C10.若對(duì)任意x∈R,都有f(x)<f(x+1),那么f(x)在R上()A.一定單調(diào)遞增 B.一定沒(méi)有單調(diào)減區(qū)間C.可能沒(méi)有單調(diào)增區(qū)間 D.一定沒(méi)有單調(diào)增區(qū)間參考答案:C【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).【分析】根據(jù)對(duì)任意x∈R,都有f(x)<f(x+1),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義可得結(jié)論.【解答】解:若f(x)是增函數(shù),則由x<x+1可知f(x)<f(x+1)一定成立,但F(x)<F(x+1)并不能保證f(x)<f(x+0.5),比如令f(x)=x+sin2πx則f(x+1)=x+1+sin2πx=f(x)+1>f(x)但顯然它不單調(diào),因此,無(wú)法證明f(x)是增函數(shù),同理,函數(shù)f(x)可能沒(méi)有單調(diào)增區(qū)間,可能沒(méi)有單調(diào)減區(qū)間.故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)函數(shù)單調(diào)性的定義的理解和運(yùn)用能力.比較基礎(chǔ).二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)(),數(shù)列滿足,,.則與中,較大的是________;的大小關(guān)系是_____________.參考答案:;函數(shù)是單調(diào)遞減的,,,,因?yàn)椋?2.若,則的值為
.參考答案:13.設(shè)變量x、y滿足約束條件,則最大值是
.參考答案:10作可行域,則直線過(guò)點(diǎn)A(3,4)時(shí)取最大值10.
14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中,圓的圓心到直線的距離是
.參考答案:如下圖:.15.已知數(shù)列是等比數(shù)列,且,則
.參考答案:
16.已知向量,向量,且,則實(shí)數(shù)x等于______________.參考答案:917.若由一個(gè)2*2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得k2=4.013,那么有
把握認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)系參考答案:95%三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.今年我校高二文科班學(xué)生共有800人參加了數(shù)學(xué)與地理的學(xué)業(yè)水平測(cè)試,現(xiàn)學(xué)校決定利用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取100人進(jìn)行成績(jī)抽樣統(tǒng)計(jì),先將800人按001,002,。。。。。800進(jìn)行編號(hào):(1)如果從第8行第7列的數(shù)開(kāi)始向右讀,請(qǐng)你依次寫(xiě)出最先檢測(cè)的三個(gè)人的編號(hào):(下面摘取了第7行至第9行)(2)抽出100人的數(shù)學(xué)與地理的水平測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚喝藬?shù)數(shù)學(xué)優(yōu)秀良好及格地理優(yōu)秀7205良好9186及格a4b
成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、及格三個(gè)等級(jí),橫向、縱向分別表示地理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī),例如:表中數(shù)學(xué)成績(jī)良好的共有20+18+4=42人,若在該樣本中,數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率是30%,求a、b的值;(3)在地理成績(jī)?yōu)榧案竦膶W(xué)生中,已知,求數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率參考答案:解:(1)依題意,最先檢測(cè)的3個(gè)人的編號(hào)依次為785,667,199;
…………3分(2)由,得,
…………5分∵,
∴;
…………7分
(3)由題意,知,且,
∴滿足條件的有:(10,21),(11,20),(12,19),(13,18),(14,17),(15,16),(16,15),(17,14),(18,13),(19,12),(20,11),(21,10),(22,9),(23,8)共14組,且每組出現(xiàn)的可能性相同.
….…9分
其中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少有:(10,21),(11,20),(12,19),(13,18),(14,17),(15,16)共6組.
…………11分
∴數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率為.
…………12分略19.在三棱柱中,,側(cè)棱面,分別是棱的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上,且.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.參考答案:解:(1)證明:取的中點(diǎn),,為的中點(diǎn),又為的中點(diǎn),,在三棱柱中,分別是的中點(diǎn),,且,則四邊形為平行四邊形,,,又面,面,則面...........................................6分(2)空間直角坐標(biāo)系,則,,,,∴,,.設(shè)面BC1D的一個(gè)法向量為,面BC1E的一個(gè)法向量為,則由得取,又由得取,則,故二面角E-BC1-D的余弦值為.............................12分略20.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為,經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A、F、B在直線x=4上的射影依次為D、K、E.(1)求橢圓C的方程;(2)若直線l交y軸于點(diǎn)M,且,當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí),探究λ+μ是否為定值?若是,求出λ+μ的值;若不是,說(shuō)明理由;(3)連接AE、BD,試探索當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí),直線AE與BD是否相交于一定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,說(shuō)明理由.參考答案:略21.(01全國(guó)卷文)(12分)已知等差數(shù)列前三項(xiàng)為a,4,3a,前n項(xiàng)和為Sn,Sk=2550.(Ⅰ)求a及k的值;(Ⅱ)求(…).參考答案:解析:(Ⅰ)設(shè)該等差數(shù)列為{an},則a1=a,a2=4,a3=3a,Sk=2550.由已知有a+3a=2×4,解得首項(xiàng)a1=a=2,公差d=a2-a1=2.
——2分
代入公式得,整理得k2+k-2550=0,解得k=50,k=-51(舍去).
∴a=2,k=50.
——6分(Ⅱ)由得Sn=n(n+1),∴
,
——9分∴.
——12分22.(本小題滿分14分)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,.求證:(1)AB∥平面A1B1C;(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.參考答案:證明:(1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因?yàn)锳B平
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