山西省朔州市劉家口中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

山西省朔州市劉家口中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10、15、…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16、25、…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．從如圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和，下列等式中，符合這一規(guī)律的是（）A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+28參考答案：D【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】題目中“三角形數(shù)”的規(guī)律為1、3、6、10、15、21…“正方形數(shù)”的規(guī)律為1、4、9、16、25…，根據(jù)題目已知條件：從圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和．可得出最后結(jié)果．【解答】解：這些三角形數(shù)的規(guī)律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，且正方形數(shù)是這串?dāng)?shù)中相鄰兩數(shù)之和，很容易看到：恰有21+28=49．故選D．2.以下關(guān)于空間幾何體特征性質(zhì)的描述，正確的是（

）A．以直角三角形一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐

B．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱

C.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐

D．兩底面互相平行，其余各面都是梯形，側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)的幾何體是棱臺(tái)參考答案：D以直角三角形的一個(gè)直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐，可得A錯(cuò)誤.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體可能是棱臺(tái)，不一定是棱柱，故B錯(cuò)誤.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有公共頂點(diǎn)三角形的幾何體叫棱錐，故C錯(cuò)誤.根據(jù)棱臺(tái)的定義，可得D正確.本題選擇D選項(xiàng).3.下列四種說(shuō)法中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是

（

）①A={0，1}的子集有3個(gè)；②“若am2<bm2，則a<b”的逆命題為真；③“命題p

q為真”是“命題pq為真”的必要不充分條件；④命題“∈R，均有≥0”的否定是：“∈R，使得x2—3x-2≤0”

A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)參考答案：D4.等比數(shù)列前項(xiàng)和為54，前項(xiàng)和為60，則前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．參考答案：D略5.已知，下列值：，，||的大小關(guān)系為

A．||≥≥

B．≥||≥C．=||=

D．=||≥參考答案：B略6.已知命題所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù)，命題正數(shù)的對(duì)數(shù)都是負(fù)數(shù)，則下列命題中為真命題的是（

）A． B． C． D．參考答案：D7.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，（i為虛數(shù)單位），則（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由題意，求得，則，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可求解．【詳解】由題意，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，，則，則根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，得.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的表示，以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8.定義在上的函數(shù)，已知是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則有（

）A. B. C. D.參考答案：C令，則其導(dǎo)數(shù)，又由，且有，所以，即函數(shù)為減函數(shù)，又由，則有，即，化簡(jiǎn)可得，故選C.【方法點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)比較大小,屬于難題.聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類(lèi)問(wèn)題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問(wèn)題，?？墒箚?wèn)題變得明了，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類(lèi)不等式的關(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時(shí)往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項(xiàng)的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).9.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為，當(dāng)取得最小值時(shí)圓上至多有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍為A．

B．

C．

D．參考答案：C10.關(guān)于直線a,b,c以及平面M，N，給出下面命題：

①若a//M，b//M,則a//b

②若a//M,b⊥M，則b⊥a

③若aM，bM,且c⊥a，c⊥b,則c⊥M

④若a⊥M,a//N，則M⊥N，其中正確命題的個(gè)數(shù)為

（

）A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則=___________參考答案：

12.是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，對(duì)任意正數(shù)m，n，若，則與的大小關(guān)系是______（請(qǐng)用，或）參考答案：解：∵f（x）是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)且滿足xf′（x）≤f（x），∴f′(x)≤f(x)/x≤0∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減或常函數(shù)∵n＜m∴f（m）≥f（n）∴mf（n）≤nf（m）13.函數(shù)y=8x2-lnx的單調(diào)遞增區(qū)間是____▲____.參考答案：略14.已知向量在基底{}下的坐標(biāo)為(2,1，－1)，則在基底{}下的坐標(biāo)為

參考答案：15.曲線在點(diǎn)處的切線方程為★★★★★★．參考答案：略16.設(shè)ΔABC的三邊長(zhǎng)分別為，ΔABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝；類(lèi)比這個(gè)結(jié)論可知：四面體P－ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為R，四面體P－ABC的體積為V，則R＝

.參考答案：略17.過(guò)橢圓+=1內(nèi)一點(diǎn)M（2，1）引一條弦，使得弦被M點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程為

．參考答案：x+2y﹣4=0【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題意可得，兩式相減，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求直線的斜率，進(jìn)而可求直線方程【解答】解：設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)A，B，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）由題意可得，兩式相減可得由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，==﹣∴所求的直線的方程為y﹣1=﹣（x﹣2）即x+2y﹣4=0故答案為x+2y﹣4=0三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（14分）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，一條準(zhǔn)線l：x=2．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M是l上的點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓D交于P，Q兩點(diǎn)．①若PQ=，求圓D的方程；②若M是l上的動(dòng)點(diǎn)，求證：點(diǎn)P在定圓上，并求該定圓的方程．參考答案：（1）由題意可知：，∴a=，c=1，b2=a2﹣c2=1，∴橢圓C的方程為：（2）①由（1）知：F（1，0），設(shè)M（2，t），則圓D的方程：，直線PQ的方程：2x+ty﹣2=0，∴，∴∴t2=4，t=±2∴圓D的方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x﹣1）2+（y+1）2=2②證明：設(shè)P（x1，y1），由①知：，即：消去t得：=2∴點(diǎn)P在定圓x2+y2=2上．19.在直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為的直線l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為.（1）求l與C1的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)l與C1的交點(diǎn)為O、A，l與的交點(diǎn)為O、B，且，求值.參考答案：（1）的極坐標(biāo)方程為.C1的極坐標(biāo)方程為.（2）【分析】（1）傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，可以直接寫(xiě)出；利用，把曲線的參數(shù)方程化為普通方程，然后再利用，把普通方程化成極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，，則，，已知，所以有，運(yùn)用二角差的正弦公式，可以得到，根據(jù)傾斜角的范圍，可以求出值.【詳解】解：（1）因?yàn)榻?jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為，故的極坐標(biāo)方程為.的普通方程為，可得的極坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)，，則，.所以.由題設(shè)，因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題考查了已知曲線的參數(shù)方程化成極坐標(biāo)方程.重點(diǎn)考查了極坐標(biāo)下求兩點(diǎn)的距離.20.（本題10分）．已知：方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根；：方程無(wú)實(shí)根，若或?yàn)檎?，且為假，求m的取值范圍．參考答案：解：真則

真則

……6分因一真一假，所以或所以………10分21.一盒有10張獎(jiǎng)券，其中2張是有獎(jiǎng)的，先由甲后由乙各抽一張，求：（1）甲中獎(jiǎng)的概率。（2）甲、乙都中獎(jiǎng)的概率。（3）甲、乙至少有一個(gè)中獎(jiǎng)的概率。參考答案：(理)解：設(shè)“甲中獎(jiǎng)”為事件A；

“甲、乙都中獎(jiǎng)”為事件B；“甲、乙至少有一人中獎(jiǎng)”為事件C則（1）（2）（3）……….12分（文）解：設(shè)“方程有實(shí)根”為事件A當(dāng)時(shí)因?yàn)榉匠逃袑?shí)根，則即基本事件一共有其中a表示第一個(gè)數(shù)，b表示第二個(gè)數(shù)。事件A包含9個(gè)基本事件，

事件A的概率為

略22.已知函數(shù)f（）=﹣x3+x2﹣m（0＜m＜20）．（1）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若曲線y=f（x）僅在兩個(gè)不同的點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，lg），其中a≥1，求m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求得f（x）=﹣x3+mx2﹣m，求出導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)≥6即9≤m＜20時(shí)，當(dāng)2＜＜6，即為3＜m＜9時(shí)，當(dāng)≤2，即0＜m≤3時(shí)，可得f（x）的單調(diào)性；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得A，B處的切線方程，代入點(diǎn)（2，﹣lga），可得x1，x2為方程﹣lga﹣（﹣x3+mx2﹣m）=（﹣3x2+2mx）（2﹣x）的兩個(gè)不等實(shí)根，化簡(jiǎn)整理可得，2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m+lga=0，令g（x）=2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m+lga，求出導(dǎo)數(shù)和極值點(diǎn)，由題意可得g（x）必有一個(gè)極值為0，對(duì)m討論，結(jié)合a≥1，解不等式即可得到所求m的范圍．【解答】解：（1）函數(shù)f（）=﹣x3+x2﹣m，可得f（x）=﹣x3+mx2﹣m，f′（x）=﹣3x2+2mx=﹣x（3x﹣2m），當(dāng)≥6即9≤m＜20時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間上的單調(diào)遞增；當(dāng)2＜＜6，即為3＜m＜9時(shí)，f（x）在遞減；當(dāng)≤2，即0＜m≤3時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間上的單調(diào)遞減；（2）f′（x）=﹣3x2+2mx，可得A處的切線方程：y﹣（﹣x13+mx12﹣m）=（﹣3x12+2mx）（x﹣x1），同理可得B處的切線方程：y﹣（﹣x23+mx22﹣m）=（﹣3x22+2mx）（x﹣x2），代入點(diǎn)（2，﹣lga），可得x1，x2為方程﹣lga﹣（﹣x3+mx2﹣m）=（﹣3x2+2mx）（2﹣x）的兩個(gè)不等實(shí)根，化簡(jiǎn)整理可得，2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m+lga=0，令g（x）=2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m+lga，g′（x）=6x2﹣2（m+6）x+4m=2（3x﹣m）（x﹣2），由0＜m＜20，可得g′（x）=0，可得x=2或x=．g（2）=3m﹣8+lga，g（）=﹣m3+m2﹣m+lga，由題意可得g（x）必有一個(gè)極值為0，（Ⅰ）若m＜2，即0＜m＜6，由g（2）=0，g（）＞0，可得lga=8﹣3m≥0，即m≤，則g（）=﹣m3+m2﹣m+8﹣3m=﹣（m﹣6）3＞0成立，即有0＜m≤；①由g（2）＜0，g（）=0，可得lga+3m﹣8＜0，﹣m3+m