山西省忻州市五寨縣第四中學2021年高三數學理聯考試卷含解析

山西省忻州市五寨縣第四中學2021年高三數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.有件產品編號從到,現在從中抽取件檢驗,用系統抽樣確定所抽取的編號為(

)

A．

B．C．

D．參考答案：D解析：間隔為

2.已知，則（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由題意利用兩角差的正余弦公式展開求得tanα的值，再利用二倍角公式求得的值．【詳解】由題，則故故選：A【點睛】本題主要兩角差的正余弦公式，二倍角公式的應用，同角三角函數的基本關系，屬于基礎題．3.是函數為奇函數的（

）．A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A4.已知集合P={1，2}，Q={z|z=x+y；x,y}，則集合Q為

（）(A){1,2，3}

(B){2,3,4}

(C){3，4，5}

(D){2，3}參考答案：B5.已知條件p：x＞1，q：，則p是q的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：A考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：簡易邏輯．分析：根據充分必要條件的定義，分別證明其充分性和必要性，從而得到答案．解答：解：由x＞1，推出＜1，p是q的充分條件，由＜1，得＜0，解得：x＜0或x＞1．不是必要條件，故選：A．點評：本題考查了充分必要條件，考查了不等式的解法，是一道基礎題．6.已知實數x，y滿足不等式組，若的最小值為9，則實數a的值等于（

）A.3 B.5 C.8 D.9參考答案：B【分析】先由不等式組畫出可行域，再畫出目標函數確定在點取得最小值，代入求解出即可.【詳解】解：如圖，畫出不等式組代表的可行域如圖中陰影部分因為，可畫出目標函數所代表直線如圖中虛線所示，且過點A處目標函數最小由，解得代入目標函數，得故選：B.

【點睛】本題考查了簡單線性規(guī)劃，目標函數中含有參數時可先觀察其所代表的直線特點畫出其可能的圖像，然后分析其最優(yōu)解.7.已知為虛數單位，復數，則A.

B.

C.

D.參考答案：C8.（5分）如圖，已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右頂點為A，O為坐標原點，以A為圓心的圓與雙曲線C的某漸近線交于兩點P、Q，若∠PAQ=60°且=3，則雙曲線C的離心率為（）A．B．C．D．參考答案：B【考點】：雙曲線的簡單性質．【專題】：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】：確定△QAP為等邊三角形，設AQ=2R，則OP=R，利用勾股定理，結合余弦定理，即可得出結論．解：因為∠PAQ=60°且=3，所以△QAP為等邊三角形，設AQ=2R，則OP=R，漸近線方程為y=x，A（a，0），取PQ的中點M，則AM=由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②結合c2=a2+b2，可得=．故選：B．【點評】：本題考查雙曲線的性質，考查余弦定理、勾股定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．9.已知圓M：（x﹣3）2+（y﹣4）2=2，四邊形ABCD為圓M的內接正方形，E，F分別為AB，AD的中點，O為坐標原點，當正方形ABCD繞圓心M轉動時，的取值范圍是（）A．[﹣5，5] B．[﹣，5] C．[﹣5，] D．[﹣]參考答案：A【考點】平面向量數量積的運算．【專題】平面向量及應用．【分析】如圖所示，==5.=1．由已知可得=0，，因此==﹣5，由于∈[0，π]，即可得出．【解答】解：如圖所示，==5．=1．∵，∴=0，∵，∴=?=+==﹣=﹣5，∵∈[0，π]，∴∈[﹣5，5]．故選：A．【點評】本題考查了數量積運算性質、圓的標準方程、向量三角形法則、向量垂直與數量積的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．10.通過全國人口普查工作，得到我國人口的年齡頻率分布直方圖如下所示：那么在一個總人口數為200萬的城市中，年齡在[20，60）之間的人大約有A.

58萬B.

66萬C.

116萬D.

132萬參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.己知全集，集合，，則

.參考答案：略12.設△ABC的內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，則角C=．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【分析】由3sinA=5sinB，根據正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案為：13.若雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則等于

.參考答案：1314.在三棱錐P-ABC中，PB=6，AC=3，G為△PAC的重心，過點G作三棱錐的一個截面，使截面平行于直線PB和AC，則截面的周長為

．參考答案：815.在直三棱柱中，的中點，給出如下三個結論：①②③平面，其中正確結論為

（填序號）參考答案：①②③

略16.(極坐標系與參數方程選做題)在平面直角坐標系中，已知圓（為參數）和直線（為參數），則直線截圓C所得弦長為

．參考答案：17.給出如下五個結論：①若△ABC為鈍角三角形，則sinA＜cosB．②存在區(qū)間（a，b）使y=cosx為減函數而sinx＜0③函數y=2x3﹣3x+1的圖象關于點（0，1）成中心對稱④y=cos2x+sin（﹣x）既有最大、最小值，又是偶函數⑤y=|sin（2x+）|最小正周期為π其中正確結論的序號是．參考答案：③④考點：命題的真假判斷與應用．專題：計算題；閱讀型；三角函數的圖像與性質．分析：若△ABC為鈍角三角形，且B為鈍角，即可判斷①；由y=cosx的減區(qū)間，結合正弦函數的圖象，即可判斷②；計算f（x）+f（﹣x），即可判斷③；運用二倍角公式，化簡整理，再由余弦函數奇偶性和值域和二次函數的最值求法，即可判斷④；運用周期函數的定義，計算f（x+），即可判斷⑤．解答：解：對于①，若△ABC為鈍角三角形，且B為鈍角，則sinA＞cosB，即①錯；對于②，由于區(qū)間（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）為y=cosx的減區(qū)間，但sinx＞0，即②錯；對于③，由f（x）+f（﹣x）=2x3﹣3x+1﹣2x3+3x+1=2，則函數y=2x3﹣3x+1的圖象關于點（0，1）成中心對稱，即③對；對于④，y=cos2x+sin（﹣x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=2（cosx+）2﹣，由于cosx∈[﹣1，1]，則cosx=﹣時，f（x）取得最小值，cosx=1時，f（x）取得最大值2，且為偶函數，即④對；對于⑤，由f（x+）=|sin（2x+π++）|=|sin（2x+）|=f（x），則最小正周期為，即⑤錯．故答案為：③④．點評：本題考查正弦函數和余弦函數的單調性和值域，考查周期函數的定義及運用，考查函數的對稱性以及最值的求法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數．（）若，求函數的單調區(qū)間．（）若函數在區(qū)間上是減函數，求實數的取值范圍．（）過坐標原點作曲線的切線，證明：切點的橫坐標為．參考答案：見解析（）當時，，，令，則，令，則，∴函數的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為．（），∵在區(qū)間上是減函數，∴對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，易知在上單調遞減，∴，∴．（）設切點為，，∴切線的斜率，又切線過原點，，∴，即，∴，存在性，滿足方程，所以是方程的根唯一性，設，則，∴在上單調遞增，且，∴方程有唯一解．綜上，過坐標原點作曲線的切線，則切點的橫坐標為．19.（本小題滿分12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，PA平面ABCD，且AD=2PA，E、F、G、H分別是線段PA、PD、CD、BC的中點．(I)求證：BC∥平面EFG；(II)求證：DH平面AEG．參考答案：（Ⅰ）因為分別為中點，所以∥，因為∥,所以∥，

……2分因為平面平面，…4分所以∥平面.

………………6分（Ⅱ）因為⊥平面，所以⊥，即⊥，

………………8分因為△≌△，所以∠=∠，∠+∠=90°，所以∠+∠=90°，所以⊥，又因為∩=，所以⊥平面.

………………12分20.（本小題滿分14分）已知三棱柱．若三棱錐的體積為，寫出三棱柱的體積；（不要求過程）若，分別是線段，的中點，求證：平面；若，且，求證：平面底面．參考答案：21.（本小題滿分14分）在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且b2+c2-a2=bc．向量（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）設函數，當取最大值時，判斷△ABC的形狀．

參考答案：略22.（14分）如圖，某公園有三條觀光大道AB，BC，AC圍成直角三角形，其中直角邊BC=200m，斜邊AB=400m，現有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB，BC，AC大道上嬉戲，所在位置分別記為點D，E，F．（1）若甲、乙都以每分鐘100m的速度從點B出發(fā)在各自的大道上奔走，到大道的另一端時即停，乙比甲遲2分鐘出發(fā)，當乙出發(fā)1分鐘后，求此時甲乙兩人之間的距離；（2）設∠CEF=θ，乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍，且∠DEF=，請將甲乙之間的距離y表示為θ的函數，并求甲乙之間的最小距離．參考答案：【考點】解三角形．【分析】（1）由題意，BD=300，BE=400，△BDE中，由余弦定理可得甲乙兩人之間的距離；（2）△BDE中，由正弦定理可得=，可將甲乙之間的距離y表示為θ