山西省忻州市五寨縣第四中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

山西省忻州市五寨縣第四中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.有件產(chǎn)品編號從到,現(xiàn)在從中抽取件檢驗(yàn),用系統(tǒng)抽樣確定所抽取的編號為(

)

A．

B．C．

D．參考答案：D解析：間隔為

2.已知，則（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由題意利用兩角差的正余弦公式展開求得tanα的值，再利用二倍角公式求得的值．【詳解】由題，則故故選：A【點(diǎn)睛】本題主要兩角差的正余弦公式，二倍角公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．3.是函數(shù)為奇函數(shù)的（

）．A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A4.已知集合P={1，2}，Q={z|z=x+y；x,y}，則集合Q為

（）(A){1,2，3}

(B){2,3,4}

(C){3，4，5}

(D){2，3}參考答案：B5.已知條件p：x＞1，q：，則p是q的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：A考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：簡易邏輯．分析：根據(jù)充分必要條件的定義，分別證明其充分性和必要性，從而得到答案．解答：解：由x＞1，推出＜1，p是q的充分條件，由＜1，得＜0，解得：x＜0或x＞1．不是必要條件，故選：A．點(diǎn)評：本題考查了充分必要條件，考查了不等式的解法，是一道基礎(chǔ)題．6.已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，若的最小值為9，則實(shí)數(shù)a的值等于（

）A.3 B.5 C.8 D.9參考答案：B【分析】先由不等式組畫出可行域，再畫出目標(biāo)函數(shù)確定在點(diǎn)取得最小值，代入求解出即可.【詳解】解：如圖，畫出不等式組代表的可行域如圖中陰影部分因?yàn)椋僧嫵瞿繕?biāo)函數(shù)所代表直線如圖中虛線所示，且過點(diǎn)A處目標(biāo)函數(shù)最小由，解得代入目標(biāo)函數(shù)，得故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了簡單線性規(guī)劃，目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)可先觀察其所代表的直線特點(diǎn)畫出其可能的圖像，然后分析其最優(yōu)解.7.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則A.

B.

C.

D.參考答案：C8.（5分）如圖，已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A為圓心的圓與雙曲線C的某漸近線交于兩點(diǎn)P、Q，若∠PAQ=60°且=3，則雙曲線C的離心率為（）A．B．C．D．參考答案：B【考點(diǎn)】：雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：確定△QAP為等邊三角形，設(shè)AQ=2R，則OP=R，利用勾股定理，結(jié)合余弦定理，即可得出結(jié)論．解：因?yàn)椤螾AQ=60°且=3，所以△QAP為等邊三角形，設(shè)AQ=2R，則OP=R，漸近線方程為y=x，A（a，0），取PQ的中點(diǎn)M，則AM=由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②結(jié)合c2=a2+b2，可得=．故選：B．【點(diǎn)評】：本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查余弦定理、勾股定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．9.已知圓M：（x﹣3）2+（y﹣4）2=2，四邊形ABCD為圓M的內(nèi)接正方形，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)正方形ABCD繞圓心M轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，的取值范圍是（）A．[﹣5，5] B．[﹣，5] C．[﹣5，] D．[﹣]參考答案：A【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】如圖所示，==5.=1．由已知可得=0，，因此==﹣5，由于∈[0，π]，即可得出．【解答】解：如圖所示，==5．=1．∵，∴=0，∵，∴=?=+==﹣=﹣5，∵∈[0，π]，∴∈[﹣5，5]．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、向量三角形法則、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．10.通過全國人口普查工作，得到我國人口的年齡頻率分布直方圖如下所示：那么在一個(gè)總?cè)丝跀?shù)為200萬的城市中，年齡在[20，60）之間的人大約有A.

58萬B.

66萬C.

116萬D.

132萬參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.己知全集，集合，，則

.參考答案：略12.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，則角C=．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】由3sinA=5sinB，根據(jù)正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案為：13.若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則等于

.參考答案：1314.在三棱錐P-ABC中，PB=6，AC=3，G為△PAC的重心，過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于直線PB和AC，則截面的周長為

．參考答案：815.在直三棱柱中，的中點(diǎn)，給出如下三個(gè)結(jié)論：①②③平面，其中正確結(jié)論為

（填序號）參考答案：①②③

略16.(極坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓（為參數(shù)）和直線（為參數(shù)），則直線截圓C所得弦長為

．參考答案：17.給出如下五個(gè)結(jié)論：①若△ABC為鈍角三角形，則sinA＜cosB．②存在區(qū)間（a，b）使y=cosx為減函數(shù)而sinx＜0③函數(shù)y=2x3﹣3x+1的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）成中心對稱④y=cos2x+sin（﹣x）既有最大、最小值，又是偶函數(shù)⑤y=|sin（2x+）|最小正周期為π其中正確結(jié)論的序號是．參考答案：③④考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用．專題：計(jì)算題；閱讀型；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：若△ABC為鈍角三角形，且B為鈍角，即可判斷①；由y=cosx的減區(qū)間，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，即可判斷②；計(jì)算f（x）+f（﹣x），即可判斷③；運(yùn)用二倍角公式，化簡整理，再由余弦函數(shù)奇偶性和值域和二次函數(shù)的最值求法，即可判斷④；運(yùn)用周期函數(shù)的定義，計(jì)算f（x+），即可判斷⑤．解答：解：對于①，若△ABC為鈍角三角形，且B為鈍角，則sinA＞cosB，即①錯(cuò)；對于②，由于區(qū)間（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）為y=cosx的減區(qū)間，但sinx＞0，即②錯(cuò)；對于③，由f（x）+f（﹣x）=2x3﹣3x+1﹣2x3+3x+1=2，則函數(shù)y=2x3﹣3x+1的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）成中心對稱，即③對；對于④，y=cos2x+sin（﹣x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=2（cosx+）2﹣，由于cosx∈[﹣1，1]，則cosx=﹣時(shí)，f（x）取得最小值，cosx=1時(shí)，f（x）取得最大值2，且為偶函數(shù)，即④對；對于⑤，由f（x+）=|sin（2x+π++）|=|sin（2x+）|=f（x），則最小正周期為，即⑤錯(cuò)．故答案為：③④．點(diǎn)評：本題考查正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性和值域，考查周期函數(shù)的定義及運(yùn)用，考查函數(shù)的對稱性以及最值的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)．（）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，證明：切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．參考答案：見解析（）當(dāng)時(shí)，，，令，則，令，則，∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．（），∵在區(qū)間上是減函數(shù)，∴對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，易知在上單調(diào)遞減，∴，∴．（）設(shè)切點(diǎn)為，，∴切線的斜率，又切線過原點(diǎn)，，∴，即，∴，存在性，滿足方程，所以是方程的根唯一性，設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，且，∴方程有唯一解．綜上，過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．19.（本小題滿分12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，PA平面ABCD，且AD=2PA，E、F、G、H分別是線段PA、PD、CD、BC的中點(diǎn)．(I)求證：BC∥平面EFG；(II)求證：DH平面AEG．參考答案：（Ⅰ）因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，所以∥，因?yàn)椤?所以∥，

……2分因?yàn)槠矫嫫矫妫?分所以∥平面.

………………6分（Ⅱ）因?yàn)椤推矫?，所以⊥，即⊥?/p>

………………8分因?yàn)椤鳌铡鳎浴?∠，∠+∠=90°，所以∠+∠=90°，所以⊥，又因?yàn)椤?，所以⊥平面.

………………12分20.（本小題滿分14分）已知三棱柱．若三棱錐的體積為，寫出三棱柱的體積；（不要求過程）若，分別是線段，的中點(diǎn)，求證：平面；若，且，求證：平面底面．參考答案：21.（本小題滿分14分）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且b2+c2-a2=bc．向量（Ⅰ）求角A的大?。唬á颍┰O(shè)函數(shù)，當(dāng)取最大值時(shí)，判斷△ABC的形狀．

參考答案：略22.（14分）如圖，某公園有三條觀光大道AB，BC，AC圍成直角三角形，其中直角邊BC=200m，斜邊AB=400m，現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB，BC，AC大道上嬉戲，所在位置分別記為點(diǎn)D，E，F(xiàn)．（1）若甲、乙都以每分鐘100m的速度從點(diǎn)B出發(fā)在各自的大道上奔走，到大道的另一端時(shí)即停，乙比甲遲2分鐘出發(fā)，當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后，求此時(shí)甲乙兩人之間的距離；（2）設(shè)∠CEF=θ，乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍，且∠DEF=，請將甲乙之間的距離y表示為θ的函數(shù)，并求甲乙之間的最小距離．參考答案：【考點(diǎn)】解三角形．【分析】（1）由題意，BD=300，BE=400，△BDE中，由余弦定理可得甲乙兩人之間的距離；（2）△BDE中，由正弦定理可得=，可將甲乙之間的距離y表示為θ