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文檔簡介

矢量三角形法

在力的平衡問題中的妙用

學(xué)生在解靜態(tài)平衡問題時,通常運(yùn)用平行四邊形定則運(yùn)算,難度不算大??梢坏┺D(zhuǎn)入多個力的求和問題,對于動態(tài)平衡問題,用正交分解法取代平行四邊形法則,雖然可以使問題簡化,但計(jì)算仍顯得繁瑣。如果遇上了動態(tài)平衡的問題,因疑點(diǎn)增多,解破起來頗感棘手,若用矢量三角形法則求解,卻能一改平行四邊形法則和正交分解法繁瑣的計(jì)算程序,可謂之柳暗花明。下面讓我們上起來學(xué)習(xí)矢量三角形法在靜態(tài)平衡、動態(tài)平衡和運(yùn)動的合成問題中的妙用.

。

?

θ?一、矢量三角形的建立矢量三角形1:兩分力的合力為,構(gòu)成平行四邊形,如圖1甲,該平行四邊形含有兩個全等的三角形,每一個三角形都包含了三個矢量的大小和方向,因此,如果我們只取其中的一個三角形,如圖1乙,利用三角形知識求力的問題,則很多力學(xué)問題就會變的簡單的多了。圖1乙中矢量三角形的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:矢量三角形2:三個力使物體處于平衡狀態(tài),如圖2甲,由力的平衡知識知道,F(xiàn)1、F2合力與力F3等大、反向,如果把F3平移到F3/的位置上,則構(gòu)成如圖2乙的三角形。圖2乙中矢量三角形的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:結(jié)論:三力合力為零的條件:1.矢量三角形在力的靜態(tài)平衡問題中的應(yīng)用二、矢量三角形的解題應(yīng)用若物體受到三個力(不只三個力時可以先合成三個力)的作用而處于平衡狀態(tài),則這三個力一定能構(gòu)成一個力的矢量三角形。三角形三邊的長度對應(yīng)三個力的大小,夾角確定各力的方向例1.如圖所示,一個物體受到七個力的作用,其中構(gòu)成一個等六邊形,已知,則求物體受到的合外力的大小。解析:根據(jù)矢量三角形1可以知道力F1、F2合力大小等于力F8,力F8與力F3合力大小等于力F7,即合力的大小等于力F7;同理可知F6

、

F5

、

F4合力的大小等于力F7,所以物體受到的合外力的大小等于例2.如圖所示,光滑的小球靜止在斜面和木版之間,已知球重為G,斜面的傾角為θ,求下列情況下小球?qū)π泵婧蛽醢宓膲毫???)、擋板豎直放置(2)、擋板與斜面垂直

分析與解答:小球受力如圖所示,小球在重力、斜面的支持力和擋板的支持力三個力共同的作用下處于平衡狀態(tài),因其中兩力之和恰好與第三力大小相等方向相反,故這三個力可構(gòu)成力的三角形:G N1

N2

G N2

N1

由矢量三角形的邊角關(guān)系可知:當(dāng)擋板豎直放置時,N1=GtgθN2=G/cosθ當(dāng)擋板與斜面垂直放置時,N1=GsinθN2=Gcosθ這樣比我們建立直角坐標(biāo),再利用正交分解法來求解就簡單多了。2.矢量三角形在力的動態(tài)平衡問題中的應(yīng)用例3.如圖所示,光滑的小球靜止在斜面和豎直放置的木板之間,已知球重為G,斜面的傾角為θ,現(xiàn)使木板沿逆時針方向繞O點(diǎn)緩慢移動,求小球?qū)π泵婧蛽醢宓膲毫υ鯓幼兓??分析與解答:分析小球受力如圖所示,小球受重力、斜面的支持力和擋板的支持力,在者三個力的作用下處于平衡狀態(tài),這三個力可構(gòu)成力的三角形(如右圖所示)擋板繞O點(diǎn)緩慢移動,可視為動態(tài)平衡。因擋板對小球的支持力N1的方向與水平方向之間的夾角由900緩慢變小,重力的大小和方向都不變,斜面的支持力N2的方向也不變,由矢量三角形知斜面的支持力N2必將變小,而擋板的支持力N1將先變小后變大G N2

N1

θ G N2

N1

θ G N1

N2

θ

O 例4.如圖4所示,電燈懸掛于O點(diǎn),三根繩子的拉力分別為TA、TB、TC,保持O點(diǎn)的位置不變,繩子的懸點(diǎn)B也不變,則懸點(diǎn)A向上移動的過程中,下列說法正確的是()A、TA、TB一直減少;B、TA一直增大,TB一直減少;C、TA先增大后減少,TB先減少后增大;D、TA先減少后增大,TB一直減少;A O B C 圖4 析:對于這道題,若用常規(guī)的正交分解法,先求出TA、TB的表達(dá)式,再分析當(dāng)θ角(TA與水平方向所成的夾角)改變時TA、TB的大小變化,問題自然會變得相當(dāng)復(fù)雜,而且也不能一眼就可看出正確的結(jié)果。若利用矢量三角形,可作如下的分析:若O點(diǎn)始終處于平衡狀態(tài),且只受TA、TB、TC三個力作用,則這三個力構(gòu)成如下圖所示的矢量三角形。在A點(diǎn)位置向上移動的過程中,因TC的大小和方向始終不變,TB的方向也不變,即在力的三角形中,TC的長度和方向不變,TB與TC的夾角大小不變,A點(diǎn)向上移動,且TA與水平方向的夾角由90度逐漸變小,由矢量三角形圖的變化可知,TA先減少后增大,而TB則一直減少。答案為D。TB

TA

TC=G 圖5 例5.如圖所示,兩個光滑的球體,直徑均為d,置于直徑為D的圓桶內(nèi),且d<D<2d,在相互接觸的三點(diǎn)A、B、C受到的作用力分別為F1、F2、F3,如果將桶的直徑加大,但仍小于2d,則F1、F2、F3的變化情況是()A.F1增大,F(xiàn)2不變,F(xiàn)3增大;B.F1減少,F(xiàn)2不變,F(xiàn)3減少;C.F1減少,F(xiàn)2減少,F(xiàn)3增大;D.F1增大,F(xiàn)2減少,F(xiàn)3減少;分析:由整體法易知F2的大小不變,再隔離分析上面的小球,小球受重力G、桶向左的支持力F和下面小球斜向上的支持力N三個力的作用,且處于平衡狀態(tài),這三個力構(gòu)成矢量三角形,G的大小和方向都不變,F的方向始終水平向左,當(dāng)桶的直徑增大時,N與水平方向的夾角變小,由矢量三角形圖知F增大,所以答案為A。F G N 3.構(gòu)建矢量三角形,處理最值問題

:例6.

如圖所示,在輕質(zhì)細(xì)線的下端懸掛一個質(zhì)量為m的物體,若用力F拉物體,使細(xì)線偏離豎直方向的夾角為α角,且保持α角不變,求拉力F的最小值。解析:以m物體為研究對象,繩的張力與對m的拉力F的合力F”與物體A的重力等大反向,由于繩的張力的方向不變,根據(jù)圖解可以看出,當(dāng)F垂直于力時,F(xiàn)取最小值。,4.構(gòu)建矢量三角形,找出幾何三角形,利用三角形相似解題正確作出力的三角形后,如能判定力的三角形與圖形中已知長度的三角形(幾何三角形)相似,則可用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出三角形中力的比例關(guān)系,從而達(dá)到求未知量的目的。例7、半徑為的球形物體固定在水平地面上,球心正上方有一光滑的小滑輪,滑輪到球面的距離為,輕繩的一端系一小球,靠放在半球上的點(diǎn),另一端繞過定滑輪后用力拉住,使小球靜止,如圖1-1所示,現(xiàn)緩慢地拉繩,在使小球由到的過程中,半球?qū)π∏虻闹С至屠K對小球的拉力的大小變化的情況是()解析:如圖所示,對小球:受力平衡,由于緩慢地拉繩,所以小球運(yùn)動緩慢視為始終處于平衡狀態(tài),其中重力不變,支持力,繩子的拉力一直在改變,但是總形成封閉的動態(tài)三角形(圖中小陰影三角形)。由于在這個三

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