高中數(shù)學(xué)蘇教版第一章立體幾何初步 學(xué)業(yè)分層測評10

學(xué)業(yè)分層測評(十)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1．下列有四個結(jié)論，其中正確的是________．(1)各個側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；(2)三條側(cè)棱都相等的棱錐是正棱錐；(3)底面是正三角形的棱錐是正三棱錐；(4)頂點在底面上的射影既是底面多邊形的內(nèi)心，又是外心的棱錐必是正棱錐．【解析】(1)不正確，正棱錐必備兩點，一是底面為正多邊形，二是頂點在底面內(nèi)的射影是底面的中心；(2)缺少第一個條件；(3)缺少第二個條件；而(4)可推出以上兩個條件，故正確．【答案】(4)2．一個正四棱柱的對角線的長是9cm，全面積等于144cm2，則這個棱柱的側(cè)面積為________cm2.【解析】設(shè)底面邊長，側(cè)棱長分別為acm，lcm，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋a2＋l2)＝9，,2a2＋4al＝144，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,l＝7，))∴S側(cè)＝4×4×7＝112cm2.【答案】1123．斜三棱柱的底面是邊長為5的正三角形，側(cè)棱長為4，側(cè)棱與底面兩邊所成角都是60°，那么這個斜三棱柱的側(cè)面積是________.【導(dǎo)學(xué)號：60420237】【解析】由題意可知S側(cè)＝2×5×2eq\r(3)＋5×4＝20＋20eq\r(3).【答案】20＋20eq\r(3)4．一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是32π，則母線長為________．【解析】∵l＝eq\f(R＋r,2)，∴S側(cè)＝π(R＋r)l＝2πl(wèi)2＝32π，∴l(xiāng)＝4.【答案】45．已知正三棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為4，高為eq\f(\r(15),3)，則正三棱臺的側(cè)面積S1與底面積之和S2的大小關(guān)系為__________．【解析】斜高h(yuǎn)′＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)))2＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×4－2))2)＝eq\r(2)，S1＝eq\f(1,2)×(3×2＋3×4)×eq\r(2)＝9eq\r(2)，S2＝eq\f(\r(3),4)×22＋eq\f(\r(3),4)×42＝5eq\r(3)，∴S1>S2.【答案】S1>S26．圓錐側(cè)面展開圖的扇形周長為2m，則全面積的最大值為________【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，母線為l，則有2l＋2πr＝2∴S全＝πr2＋πrl＝πr2＋πr(m－πr)＝(π－π2)r2＋πmr.∴當(dāng)r＝eq\f(πm,2π2－π)＝eq\f(m,2π－1)時，S全有最大值eq\f(πm2,4π－1).【答案】eq\f(πm2,4π－1)7．正六棱柱的高為5，最長的對角線為13，則它的側(cè)面積為__________．【解析】如圖，連結(jié)A1D1，AD1，則易知AD1為正六邊形最長的對角線，由棱柱的性質(zhì)，得AA1⊥A1D1，在Rt△AA1D1中，AD1＝13，AA1＝5，A1D1＝eq\r(132－52)＝12，由正六棱柱的性質(zhì)A1B1＝eq\f(1,2)A1D1＝6，S棱柱側(cè)面積＝6×6×5＝180.【答案】1808．如圖1-3-2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為圖1-3-2【解析】設(shè)正方體棱長為1，則其表面積為6，三棱錐D1-AB1C為四面體，每個面都是邊長為eq\r(2)的正三角形，其表面積為4×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(6),2)＝2eq\r(3)，所以三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為1∶eq\r(3).【答案】1∶eq\r(3)二、解答題9.如圖1-3-3所示，正六棱錐被過棱錐高PO的中點O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺OO′和較小的棱錐PO′.圖1-3-3(1)求大棱錐、小棱錐、棱臺的側(cè)面積之比；(2)若大棱錐PO的側(cè)棱為12cm，小棱錐底面邊長為4cm，求截得棱臺的側(cè)面積和全面積．【解】(1)設(shè)正六棱錐的底面邊長為a，側(cè)棱長為b，則截面的邊長為eq\f(a,2)，∴S大棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)c1h1＝eq\f(1,2)×6a×eq\r(b2－\f(a2,4))＝3aeq\r(b2－\f(a2,4))，S小棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)c2h2＝eq\f(1,2)×3a×eq\f(1,2)eq\r(b2－\f(a2,4))＝eq\f(3,4)aeq\r(b2－\f(a2,4))，S棱臺側(cè)＝eq\f(1,2)(c1＋c2)(h1－h(huán)2)＝eq\f(1,2)(6a＋3a)×eq\f(1,2)eq\r(b2－\f(a2,4))＝eq\f(9,4)aeq\r(b2－\f(a2,4))，∴S大棱錐側(cè)∶S小棱錐側(cè)∶S棱臺側(cè)＝4∶1∶3.(2)S側(cè)＝eq\f(1,2)(c1＋c2)(h1－h(huán)2)＝144eq\r(2)(cm2)，S上＝6×eq\f(1,2)×4×4×sin60°＝24eq\r(3)(cm2)，S下＝6×eq\f(1,2)×8×8×sin60°＝96eq\r(3)(cm2)，∴S全＝S側(cè)＋S上＋S下＝144eq\r(2)＋120eq\r(3)(cm2)．10．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，軸截面的面積為392cm2，母線與軸的夾角為45°，求這個圓臺的高、母線長和底面半徑．【解】法一：圓臺的軸截面如圖所示，根據(jù)題意可設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為xcm和3xcm.即A′O′＝xcm，AO＝3xcm(O′，O分別為上、下底面圓心)，過A′作AB的垂線，垂足為點D.在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，AD＝AO－A′O′＝2xcm，所以A′D＝AD＝2xcm，又S軸截面＝eq\f(1,2)(A′B′＋AB)·A′D＝eq\f(1,2)×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.綜上，圓臺的高OO′＝14cm，母線長AA′＝eq\r(2)OO′＝14eq\r(2)cm，上、下底面的半徑分別為7cm和21cm.法二：圓臺的軸截面如圖所示，根據(jù)題意可設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為xcm和3xcm，延長AA′，BB′交OO′的延長線于點S(O′，O分別為上、下底面圓心)．在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，所以SO＝AO＝3xcm，又SO′＝A′O′＝xcm，所以O(shè)O′＝2xcm.又S軸截面＝eq\f(1,2)×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.綜上，圓臺的高OO′＝14cm，母線長AA′＝eq\r(2)OO′＝14eq\r(2)cm，上、下底面的半徑分別為7cm，21cm.[能力提升]1．用長、寬分別是3π和π的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，則圓柱的表面積是________．【解析】S＝3π2＋2·π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＝3π2＋eq\f(9,2)π或S＝3π2＋2·π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝3π2＋eq\f(1,2)π.【答案】3π2＋eq\f(9,2)π或3π2＋eq\f(1,2)π2．如圖1-3-4，三棱錐S-ABC中底面△ABC為正三角形，邊長為a，側(cè)面SAC也是正三角形，且側(cè)面SAC⊥底面ABC，則三棱錐的側(cè)面積為________.【導(dǎo)學(xué)號：60420238】圖1-3-4【解析】取AC的中點M，連結(jié)SM，MB.∵△SAC，△ABC為全等正三角形，∴SM⊥AC，BM⊥AC，且SM＝BM＝eq\f(\r(3),2)a，△SAB≌△SCB.又∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC.SM?平面SAC，∴SM⊥平面ABC.過M作ME⊥BC于點E，連結(jié)SE，則SE⊥BC.在Rt△BMC中，ME·BC＝MB·MC，∴ME＝eq\f(\r(3),4)a，可求SE＝eq\r(SM2＋ME2)＝eq\f(\r(15),4)a.∴S△SBC＝eq\f(1,2)BC·SE＝eq\f(\r(15),8)a2，∴S側(cè)＝S△SAC＋2S△SBC＝eq\f(\r(3)＋\r(15),4)a2.【答案】eq\f(\r(3)＋\r(15),4)a23．一個四棱錐和一個三棱錐恰好可以拼成一個三棱柱，這個四棱錐的底面為正方形，且底面邊長與各側(cè)棱長相等，這個三棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長也都相等，設(shè)四棱錐，三棱錐，三棱柱的高分別為h1，h2，h，則h1∶h2∶h＝__________.【解析】由題意可把三棱錐A1-ABC與四棱錐A1-BCC1B1拼成如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1.不妨設(shè)棱長均為1，則三棱錐與三棱柱的高均為eq\f(\r(6),3).而四棱錐A1-BCC1B1的高為eq\f(\r(2),2)，則h1∶h2∶h＝eq\f(\r(2),2)∶eq\f(\r(6),3)∶eq\f(\r(6),3)＝eq\r(3)∶2∶2.【答案】eq\r(3)∶2∶24．如圖1-3-5所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4